1、杨老师班一元二次方程单元学习密卷（共 6 页）知识点一：认识一元一次方程（一）一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元）并且未知数的次数是 2（二次）的整式方程，这样的方程叫一元二次方程。（注意：一元二次方程必须满足以下三个条件：是整式方程；一元；二次）（二） 一元二次方程的一般形式：把 （a、b、c 为常数，a0）称为一元二次方程的一般20ax形式。其中 a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。【例题】1、一元二次方程 3x 25x1 的一般形式是 ，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。2、一元二次方程（x+1）(3x2)=10 的一般形式是 。3、当 m= 时，关于 x
2、 的方程 是一元二次方程。5)3(72xm4、下列方程中不一定是一元二次方程的是( )A.(a-3)x2=8 (a3) B.ax 2+bx+c=0C.(x+3)(x-2)=x+5 D. 057x知识点二：求解一元一次方程（一）一元二次方程的根定义：使得方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。【例题】例 1、关于 的一元二次方程 的一个根是 0，则 值为（ ）x22110axaaA、 B、 C、 或 D、 12（二）解一元二次方程的方法：1.配方法 2()0xm配方法解一元二次方程的基本步骤：把方程化成一元二次方程的一般形式；将二次项系数化成
3、 1；把常数项移到方程的右边；两边加上一次项系数的一半的平方；把方程转化成 的形式；2()0xm两边开方求其根。【例题】例 2 一元二次方程 x2-8x-1=0 配方后可变形为（ ）A（x+4） 2=17 B（x+4） 2=15 C（x-4） 2=17 D（x-4） 2=15例 3 用配方法解一元二次方程 x2-6x-4=0，下列变形正确的是（ ）A（x-6） 2=-4+36 B（x-6） 2=4+36 C（x-3） 2=-4+9 D（x-3） 2=4+9例 4 x2-6x-4=0； x 2-4x=1； x 2-2x-2=02.公式法 （注意在找 abc 时须先把方程化为一般形式）24bac【
4、例题】例 5 若一元二次方程 x2+2x+a=0 的有实数解，则 a 的取值范围是（ ）Aa1 Ba4 Ca1 Da1例 6 已知一元二次方程 2x2-5x+3=0，则该方程根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C两个根都是自然数 D无实数根例 7 已知关于 x 的方程 x2+2x+a-2=0（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数 a 的取值范围；（2）当该方程的一个根为 1 时，求 a 的值及方程的另一根3.分解因式法 把方程的一边变成 0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）【例题】例 8 一元二次方程 x2-2x=0 的解是
5、（ ）A0 B2 C0，-2 D0，2例 9 方程 3（x-5） 2=2（x-5）的根是 例 10 x2-3x+2=0； x 2+2x=3； （x-1） 2+2x（x-1）=0知识点三：一元二次方程的根与系数的关系1.根与系数的关系：如果一元二次方程 的两根分别为 x1、x2，则有：20axbc.1212,bcxxaa2.一元二次方程的根与系数的关系的作用：（1）已知方程的一根，求另一根；（2）不解方程，求二次方程的根 x1、x2 的对称式的值。（3）对比记忆以下公式： 22111()xx1212x22111()()4xxx 21211|4x 21112(|)()| 其他能用 或 表达的代数式
6、。33121212()()xx12x12x（3）已知方程的两根 x1、x2，可以构造一元二次方程： 1212()0x（4）已知两数 x1、x2 的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程 12212()0xx的根【例题】例 11 已知关于 x 的方程 x2+2x+a-2=0（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数 a 的取值范围；（2）当该方程的一个根为 1 时，求 a 的值及方程的另一根例 12 已知关于 x 的一元二次方程 x2-4x+m=0（1）若方程有实数根，求实数 m 的取值范围；（2）若方程两实数根为 x1，x 2，且满足 5x1+2x2=2，求实数 m 的值知识点四：应
7、用一元一次方程在利用方程来解应用题时，主要分为两步：设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为 x；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。【例题】例 13 某校准备修建一个面积为 180 平方米的矩形活动场地，它的长比宽多 11 米，设场地的宽为 x 米，则可列方程为（ ）Ax（x-11）=180 B2x+2（x-11）=180Cx（x+11）=180 D2x+2（x+11）=180例 14 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件市场调查反映：每降价 1 元，每星期
8、可多卖出 20 件已知商品的进价为每件 40 元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得 6080 元的利润，应将销售单价定位多少元？经典习题练题平台：（请认真审题，我一定行！）1、填空题：1.已知两个数的差等于 4，积等于 45。则这两个数为 和 。2.当 m 时，方程（m 2-1）x 2-mx+5=0 不是一元二次方程。当当 m 时，上述方程是一元二次方程。3.用配方法解方程 x2-4x-6=0，则 x2-4x+ =6+ 。所以 x1= ，x 2= 。4.如果 x2-2（m+1 ）x+4 是一个完全平方式，则 m= 。5.当 0时，一元二次方程 ax2+bx+c=0 的求根公式为 。6.如果
9、x1、x 2 是方程 2x2-3x-6=0.那么 x1+x2= ，x 1x2= 。7.若方程 x2-3x+m=0 有两个相等的实数根。则 m= ，两根分别为 。8.若方程 kx2-9x+8=0 的一个根为 1，则 k= ，另一个根为 。9.以-3 和 7 为根且二次项系数为 1 的一元二次方程是 。10.关于 x 的一元二次方程 mx2+x+m2+3m=0 有一个根为零，则 m 的值等于 。二、选择题：1.下列方程中，一元二次方程是（ ）（A）. （B） ax2+bx （C）（x-1 ）（x+3）=1 （D ）3x 2-2xy-5y2=02.方程（2x+3）（x-1）=1 的解的情况是（ ）（
10、A） 有两个不相等实数根 （B）没有实数根 （C）有两个相等的实数根 （D ）有一个实数根3.如果一元二次方程 x2+（m+1 ）x+m=0 的两个根是互为相反数，那么有（ ）（A ）m=0 (B) m=-1 (C ) m=1 (D)以上结论都不对4.已知 x1，x 2 是方程 x2=2x+1 的两个根， 则 的值为（ ）（A） （B ） 2 （C）-2 （D）5.不解方程 2x2+3x-1=0 的两根的符号为（ ）（A） 同号 （B） 异号 （C）两根都为正 （D ）不能确定6.已知一元二次方程 mx2+n=0 （m0 ），若方程有解，则必须（ ）（A）n=0 （B ）mn 同号 （ C）n
11、 是 m 的整数倍 （D ）mn 异号7.若 a 为方程 x2+x-5=0 的解，则 a2+a+1 的值为（ ）（A）12 （B） 6 （C ）9 （D）1621x1x8.某超市一月份的营业额为 200 万元，三月份的营业额为 288 万元，如果每月比上月增长的百分数相等，则平均每月增长率为（ ）（A） 10% （B）15% （C）20% （D ）25%解 三、解下列方程 1. x2-5x+1=0 (用配方法解) 2. 3（x-2） 2=x（x-2）3. 2x2- x-5=0 4. （y+2） 2 = （3y-1） 24、当 m 为何值时，一元二次方程 x2+（2m-3）x+（m 2-3）=0
12、 有两个不相等的实数根？5、不解方程，求作一个新的一元二次方程，使它的两个根分别是方程 x2-7x=2 的两根的2 倍。6、已知方程 x2+2（k-2）x+k 2+4=0 有两个实数根，且这两个实数根的平方和比两根的积大 21，求 k 的值。七、解答题1. 将进货单价 40 元的商品按 50 元出售，能卖出 500 个，已知这种商品每涨价 1 元，就会少销售 10 个。为了赚的 8000 元利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？2. 如图在 ABC 中，B=90，点 P 从 A 开始沿边 AB 向点 B 以 的速度移动，与此同时， 点 Q 从点B 开始沿边 BC 向点 C 以 的速度移动。如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，经过几秒，BPQ 的面积等于 8cm2？（AB=6cm，BC=8cm）1.scm1scm21.
