1、第 1 页（共 42 页）0319 动点产生的等腰三角形问题1如图所示，矩形 ABCD 中，AB=4，BC= ，点 E 是折线段 ADC 上的一个动点（点 E 与点 A 不重合） ，点 P 是点 A 关于 BE 的对称点使PCB 为等腰三角形的点 E 的位置共有（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个2如图，抛物线 y=x2 与直线 y=2x 在第一象限内有一交点 A（1）你能求出点 A 的坐标吗？（2）在 x 轴上是否存在一点 P，使AOP 为等腰三角形？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由3如图，直线 y=ax+b 与双曲线 y= 有一个交点 A（1，2）且与 x 轴、y
2、轴分别交于 B，C 两点，已知AOB 的面积为 3（1）求双曲线和直线的解析式；（2）在 x 轴上是否存在一点 P，使ABP 是等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的 P 点坐标；如果不存在，说明理由第 2 页（共 42 页）4如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 y 轴交于点 A（0，3） ，与 x 轴交于点B（4 ，0） （1）求抛物线的解析式；（2）连接 AB，点 C 为线段 AB 上的一个动点，过点 C 作 y 轴的平行线交抛物线于点 D，设 C 点的横坐标为 m，线段 CD 长度为 d（d0）求 d 与 m 的函数关系式（不要求写出自变量 m 的取值范围） ；（3）在（2）的条件
3、下，连接 AD，是否存在 m 值，使ACD 是等腰三角形？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由5如图，在矩形 ABCD 中，AB=3cm，BC=4cm设 P，Q 分别为 BD，BC 上的动点，在点 P 自点 D 沿 DB 方向作匀速移动的同时，点 Q 自点 B 沿 BC 方向向点C 作匀速移动，移动的速度均为 1cm/s，设 P，Q 移动的时间为 t（0t 4） （1）当 t 为何值时， PBQ 为等腰三角形？（2）PBQ 能否成为等边三角形？若能，求 t 的值；若不能，说明理由第 3 页（共 42 页）6如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，C=90，AB=BC=10，AD=16动点
4、 P、Q分别从点 D、 B 同时出发，动点 P 沿射线 DA 的方向以每秒 2 个单位长的速度运动，动点 Q 在线段 BC 上以每秒 1 个单位长的速度向点 C 运动，当点 Q 运动到点 C 时，点 P 随之停止运动设运动的时间为 t（秒） （1）直接用含 t 的代数式表示： PA= ；（2）当 t= 秒时，PQAB ；（3）设射线 PQ 与射线 AB 相交于点 E，AEP 能否为等腰三角形？如果能，请求出 t 的值；如果不能，请说明理由7如图，在ABC 中，AB=AC=5，BC=6 ，D、E 分别是边 AB、AC 上的两个动点（D 不与 A、 B 重合） ，且保持 DEBC，以 ED 为边，
5、在点 A 的异侧作正方形DEFG（1）试求ABC 的面积；（2）当边 FG 与 BC 重合时，求正方形 DEFG 的边长；（3）设 AD=x，当BDG 是等腰三角形时，求出 AD 的长第 4 页（共 42 页）8如图，在ABC 中，已知 AB=AC=5，BC=6 ，且 ABC DEF ，将DEF 与ABC 重合在一起，ABC 不动，ABC 不动，DEF 运动，并满足：点 E 在边BC 上沿 B 到 C 的方向运动（E 不与 B、C 重合） ，且 DE 始终经过点 A，EF 与 AC交于 M 点（1）求证：ABEECM ；（2）探究：在DEF 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出B
6、E 的长；若不能，请说明理由9如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=8 ，BC=6，CD AB 于点 D点 P 从点 D 出发，沿线段 DC 向点 C 运动，点 Q 从点 C 出发，沿线段 CA 向点 A 运动，两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度，当点 P 运动到 C 时，两点都停止设运动时间为 t 秒（1）求线段 CD 的长；（2）当 t 为何值时， CPQ 与ABC 相似？（3）当 t 为何值时， CPQ 为等腰三角形？第 5 页（共 42 页）10如图甲，在ABC 中， ACB=90 ，AC=4cm， BC=3cm如果点 P 由点 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动
7、，同时点 Q 由点 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，它们的速度均为 1cm/s连接 PQ，设运动时间为 t（s） （0t4） ，解答下列问题：（1）设APQ 的面积为 S，当 t 为何值时，S 取得最大值？S 的最大值是多少？（2）如图乙，连接 PC，将PQC 沿 QC 翻折，得到四边形 PQPC，当四边形PQPC 为菱形时，求 t 的值； （3）当 t 为何值时， APQ 是等腰三角形？11如图，正方形 OABC 的边 OA，OC 在坐标轴上，点 B 的坐标为（4 ，4） 点P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴向点 O 运动；点 Q 从点 O 同时出发，以相同
8、的速度沿 x 轴的正方向运动，规定点 P 到达点 O 时，点 Q 也停止运动连接 BP，过 P 点作 BP 的垂线，与过点 Q 平行于 y 轴的直线 l 相交于点 DBD 与 y 轴交于点 E，连接 PE设点 P 运动的时间为 t（s） （1）PBD 的度数为 ，点 D 的坐标为 （用 t 表示） ；（2）当 t 为何值时， PBE 为等腰三角形？（3）探索POE 周长是否随时间 t 的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值第 6 页（共 42 页）12在 RtABC 中，A=90，AB=6 ，AC=8 ，点 D 为边 BC 的中点，DEBC 交边 AC 于点 E，点 P 为射线
9、AB 上的一动点，点 Q 为边 AC 上的一动点，且PDQ=90（1）求 ED、 EC 的长；（2）若 BP=2，求 CQ 的长；（3）记线段 PQ 与线段 DE 的交点为点 F，若PDF 为等腰三角形，求 BP 的长13如图，已知一次函数 y=x+7 与正比例函数 y= x 的图象交于点 A，且与 x 轴交于点 B（1）求点 A 和点 B 的坐标；（2）过点 A 作 ACy 轴于点 C，过点 B 作直线 ly 轴动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长的速度，沿 OCA 的路线向点 A 运动；同时直线 l 从点 B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线 l 交 x 轴于点 R，
10、交线段 BA 或线段AO 于点 Q当点 P 到达点 A 时，点 P 和直线 l 都停止运动在运动过程中，设动点 P 运动的时间为 t 秒当 t 为何值时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8？是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由第 7 页（共 42 页）第 8 页（共 42 页）2017 年 03 月 19 日马 赛的初中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共 1 小题）1 （2010济南）如图所示，矩形 ABCD 中，AB=4，BC= ，点 E 是折线段ADC 上的一个动点（点 E 与点 A 不重合） ，点 P 是点 A 关于
11、BE 的对称点使PCB 为等腰三角形的点 E 的位置共有（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个【分析】根据题意，结合图形，分情况讨论：BP 为底边；BP 为等腰三角形一腰长【解答】解：BP 为等腰三角形一腰长时，符合点 E 的位置有 2 个，是 BC 的垂直平分线与以 B 为圆心 BA 为半径的圆的交点即是点 P；BP 为底边时，C 为顶点时，符合点 E 的位置有 2 个，是以 B 为圆心 BA 为半径的圆与以 C 为圆心 BC 为半径的圆的交点即是点 P；以 PC 为底边，B 为顶点时，这样的等腰三角形不存在，因为以 B 为圆心 BA为半径的圆与以 B 为圆心 BC 为半径的圆没有交点
12、故选：C第 9 页（共 42 页）【点评】本题综合考查等腰三角形的判定，需对知识进行推理论证、运算及探究二解答题（共 12 小题）2 （2016 秋黄州区校级月考）如图，抛物线 y=x2 与直线 y=2x 在第一象限内有一交点 A（1）你能求出点 A 的坐标吗？（2）在 x 轴上是否存在一点 P，使AOP 为等腰三角形？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 （1）利用解方程组 可得到 A 点坐标；（2）需要分类讨论：AP=AO、OA=OP 、AP=OP ，根据等腰三角形的性质来求点P 的坐标【解答】解：（1）解方程组 得 或 ，所以 A 点坐标为（2，4） ；（2）当 AP
13、=AO 时，作 ABx 轴于 B 点，如图 1，当 PB=OB 时， AOP 是以 OP 为底的等腰三角形，而 A（2，4 ） ，所以 P 点坐标为（ 4，0） 当 OA=OP 时，A（2，4） ，OA= =2 ，则 P（ 2 ，0） ；第 10 页（共 42 页）当 AP=OP 时，如图 2，过点 P 作 PQAO 于点 Q设 P（ t，0 ） 则 Q（ 1，2） 故 OAPQ= OP4，即 2 = t4，解得 t=5，即（5，0） 综上所述，符合条件的点 P 的坐标是（4，0）或（2 ，0）或（ 2 ，0）或（5，0） 【点评】本题考查了二次函数综合题，同时在两个函数解析式上，应是这两个函
14、数解析式的公共解答案较多时，应有规律的去找不同的解是解题关键3 （2010 秋本溪月考）如图，直线 y=ax+b 与双曲线 y= 有一个交点A（1 ，2 ）且与 x 轴、y 轴分别交于 B，C 两点，已知AOB 的面积为 3（1）求双曲线和直线的解析式；（2）在 x 轴上是否存在一点 P，使ABP 是等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的 P 点坐标；如果不存在，说明理由第 11 页（共 42 页）【分析】 （1）根据双曲线 y= 过点 A（1，2） ，利用待定系数法，可得双曲线解析式，根据AOB 的面积为 3，可得 B 点坐标，根据直线过 A、B 两点，利用待定系数法，可得直线解析式；（2
15、）根据两边相等的三角形是等腰三角形，分类讨论，AB=AP，AB=BP，AP=BP，可得答案【解答】解：（1）双曲线 y= 过点 A（1，2） ，2= ，k=2 ，双曲线的解析式是 y= ，AOB 的面积为 3，底是 OB 的长，高是 A 点的纵坐标，2OB=3，B 点坐标是（3，0） ，直线 y=ax+b 过点 A、B，2=a+b ，0=3a+b，得a=1，b=3，一次函数的解析式是 y=x+3；（2）设 P 点坐标为（x，0） ，AB= ，当 AP=PB 时， ，x=3（不合题意，舍）或 x=1，第 12 页（共 42 页）P 点坐标（1，0） ，当 AB=BP 时， PB=2 ，P 点坐标
16、为（32 ，0）或（3+2 ，0） ，当 AP=BP 时， ，x= ，P 点坐标是（ ，0） 故 P（ 1，0） ， （32 ，0） ， （3+2 ，0） ， （ ，0） 【点评】本题考查了反比例函数的综合题， （1）利用待定系数法求解是解题关键；（2）分类讨论是解题关键4 （2015 秋道外区期末）如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 y 轴交于点 A（0，3） ，与 x 轴交于点 B（4，0） （1）求抛物线的解析式；（2）连接 AB，点 C 为线段 AB 上的一个动点，过点 C 作 y 轴的平行线交抛物线于点 D，设 C 点的横坐标为 m，线段 CD 长度为 d（d0）求 d 与 m
17、的函数关系式（不要求写出自变量 m 的取值范围） ；（3）在（2）的条件下，连接 AD，是否存在 m 值，使ACD 是等腰三角形？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由【分析】 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得 C、D 点坐标，根据平行于 y 轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，可得关于 m 的方程，根据因式分解法解方程，第 13 页（共 42 页）可得答案【解答】解：（1）将 A、B 点坐标代入，得，解得 ，抛物线的解析式为 y= x2+ x+3；（2）如图：设 AB 的解析式为 y=k
18、x+b，将 B、A 的坐标代入，得，解得 ，AB 的解析式为 y= x+3，C 在直线 AB 上，C （m， m+3） ，D（m， m2+ m+3） CD 的长为 m2+ m+3（ m+3）= m2+2m，即 d= m2+2m；（3）AC 2=m2+（ m） 2，CD 2=（ m2+2m） 2，AD 2=m2+（ m2+ m） 2，当 AC=AD 时， m2+（ m） 2=m2+（ m2+ m） 2，化简，得（ m2+2m） （ m2+ m）=0，解得 m=0（不符合题意，舍） ，m=4 （不符合题意，舍） ，m=1；当 AC=CD 时，m 2+（ m） 2=（ m2+2m） 2，化简，得第
19、14 页（共 42 页）（ m2+ m） （ m2+ m）=0，解得 m=0（不符合题意，舍） ，m= （不符合题意，舍） ，m= ；当 AD=CD 时，m 2+（ m2+ m） 2=（ m2+2m） 2，化简，得m2（ m ）=0，解得 m= 综上所述：m 的值为 1、 或 【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用平行于 y 轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出函数解析式；利用等腰三角形的定义得出关于 m 的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏5如图，在矩形 ABCD 中，AB=3cm，BC=4cm设 P，Q 分别为 BD，BC 上的动点，在点 P
20、 自点 D 沿 DB 方向作匀速移动的同时，点 Q 自点 B 沿 BC 方向向点C 作匀速移动，移动的速度均为 1cm/s，设 P，Q 移动的时间为 t（0t 4） （1）当 t 为何值时， PBQ 为等腰三角形？（2）PBQ 能否成为等边三角形？若能，求 t 的值；若不能，说明理由【分析】 （1）此题由 3 种情况，从假设BPQ 是等腰三角形入手求证BMPBCD，利用对应边成比例即可求得 t 的值在 RtBMP 中，利用 cosDBC= ，解得 t如图，当 BQ=PQ 时，自点 Q 向 BD 引垂线，垂足为 N利用 RtBNQRtBCD 其对应边成比例即可求得 t（2）若PBQ 为等边三角形
21、，则 BQ=BP=PQ由，知当 BQ=BP 时， 由第 15 页（共 42 页），知当 BP=PQ 时， 而 BQ=BP 与 BP=PQ 不能同时成【解答】解：（1）若BPQ 是等腰三角形如图，当 PB=PQ 时，自点 P 向 BC 引垂线，垂足为 M，则有 BM=MQ方法一：由BMPBCD，得 ， ，解得 方法二：在 RtBMP 中， ，解得 当 BQ=BP 时，有 t=5t，解得 如图，当 BQ=PQ 时，自点 Q 向 BD 引垂线，垂足为 N由 RtBNQ RtBCD，得 ，解得 （2）不能若PBQ 为等边三角形，则 BQ=BP=PQ由（2），知当 BQ=BP 时， 由（2），知当 BP
22、=PQ 时， BQ=BP 与 BP=PQ 不能同时成立，PBQ 不可能为等边三角形第 16 页（共 42 页）【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，是一道难题6 （2013 春邢台期末）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，C=90，AB=BC=10，AD=16动点 P、Q 分别从点 D、B 同时出发，动点 P 沿射线 DA 的方向以每秒 2 个单位长的速度运动，动点 Q 在线段 BC 上以每秒 1 个单位长的速度向点 C 运动，当点 Q 运动到点 C 时，点 P 随之停止运动设运动的时
23、间为t（秒） （1）直接用含 t 的代数式表示： PA= 16 2t ；（2）当 t= 秒时，PQAB ；（3）设射线 PQ 与射线 AB 相交于点 E，AEP 能否为等腰三角形？如果能，请求出 t 的值；如果不能，请说明理由【分析】 （1）根据已知求出即可；（2）根据平行四边形的性质和判定得出 BQ=AP，求出即可；第 17 页（共 42 页）（3）求出 CD 和 PN，分为三种情况：PE=AP，AE=AP，PE=AE，根据勾股定理和等腰三角形的性质得出方程，求出方程的解即可【解答】解：（1）AD=16，DP=t，AP=162t ，故答案为：162t（2）当 BQ=AP，BC AD，四边形
24、PABQ 是平行四边形，此时 PQ AB，即 t=162t，t= ，故答案为： （3）设射线 PQ 与射线 AB 相交于点 E，AEP 能为等腰三角形，理由是：过 B 作 BM AD 于 M，BMA=90，C=90，D=BMA ，CDBM，四边形 CDMB 是矩形，CD=BM，BC=DM=10，AM=16 106，在 RtBMA 中，AB=10，由勾股定理得：BM=8 ，第 18 页（共 42 页）分为三种情况：当 PE=AP=162t 时，如图 1，过 P 作 PNBC 于 N，则四边形 CDPN 是矩形，PN=CD=8，CN=DP=2t，PE=AP，A=E，BC AD，EBQ=A，E=EB
25、Q，EQ=BQ=t，在 RtPNQ 中，由勾股定理得：8 2+（102tt） 2=（162tt） 2，t= ；如图 1，当 AE=AP 时，AE=AP，E=EPA，BC AD，EPA=CQP，EQB=CQP，E=EQB，EB=QB=t，AE=AP，BC=10，10+t=16 2t，t=2；第 19 页（共 42 页）如图 1，当 PE=AE 时，BCAD，EQB=EPA，EBQ=A，AE=PE ，A=EPA，EQB=EBQ，QE=BE，AE=PE ，BC=PQ=10，在 RtPNQ 中，NQ=102tt=103t，pn=8，PQ=BC=10由勾股定理得：8 2+（103t ） 2=102，t=
26、 ；当 p 在 DA 的延长线上时，若 PA=AE，则 2t16=10t，解得：t= ，而点 Q 运动到点 C 所用时间是 10 秒， 10，符合题意即设射线 PQ 与射线 AB 相交于点 E，AEP 能为等腰三角形， t 的值是 秒或2 秒或 秒或 秒【点评】本题考查了矩形的性质和判定，梯形的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生的推理能力，注意要进行分类讨第 20 页（共 42 页）论啊7 （2012 秋宝安区期中）如图，在ABC 中，AB=AC=5，BC=6，D、E 分别是边 AB、AC 上的两个动点（D 不与 A、B 重合） ，且保持 DEBC ，以 ED
27、为边，在点 A 的异侧作正方形 DEFG（1）试求ABC 的面积；（2）当边 FG 与 BC 重合时，求正方形 DEFG 的边长；（3）设 AD=x，当BDG 是等腰三角形时，求出 AD 的长【分析】 （1）作底边上的高，利用勾股定理求出高就可以求出面积（2）根据 DEBC，得到ADEABC ，再根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求出边 DE 的长度（3）根据ADE ABC 得 = ，求出 AD 的长【解答】解：（1）过 A 作 AHBC 于 H，AB=AC=5，BC=6，BH= BC=3，AH= = =4，S ABC = BCAH= 64=12（2）令此时正方形的边长为 a，DEBC，
28、，a= 第 21 页（共 42 页）（3）当 AD=x 时，由ADEABC 得 = ，即 = ，解得 DE= x，当 BD=DG 时，5x= x，x= ，当 BD=BG 时， = ，解得 x= ，当 BG=DG 时， = ，解得 x= ，当BDG 是等腰三角形时，AD= 或 或 【点评】本题考查了正方形、等腰三角形的性质，相似比等相关知识综合性较强，解题时要仔细8 （2013金城江区三模）如图，在ABC 中，已知 AB=AC=5，BC=6，且ABCDEF，将DEF 与ABC 重合在一起，ABC 不动，ABC 不动，DEF运动，并满足：点 E 在边 BC 上沿 B 到 C 的方向运动（ E 不与
29、 B、C 重合） ，且DE 始终经过点 A，EF 与 AC 交于 M 点（1）求证：ABEECM ；（2）探究：在DEF 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由第 22 页（共 42 页）【分析】 （1）由 AB=AC，根据等边对等角，可得B=C，又由ABCDEF与三角形外角的性质，易证出CEM=BAE，从而可证得ABEECM；（2）首先由AEF=B=C，且AME C，可得 AEAM，然后分别从AE=EM 与 AM=EM 去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案【解答】 （1）证明：AB=AC，B= C，ABCDEF，AEF=B，又
30、AEF+CEM=AEC= B+BAE，CEM=BAE ，ABEECM；（2）能解：AEF=B=C，且AMEC，AMEAEF，AE AM；当 AE=EM 时，则 ABE ECM，CE=AB=5，BE=BCEC=6 5=1，当 AM=EM 时，则 MAE=MEA，MAE+BAE= MEA+CEM，第 23 页（共 42 页）即CAB=CEA，又C=C，CAE CBA， = ，CE= ，BE=6 = ；BE=1 或 【点评】此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，此题难度较大，注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解此题的关键9 （2016 秋芦
31、溪县期中）如图，在 RtABC 中， ACB=90 ，AC=8，BC=6 ，CDAB 于点 D点 P 从点 D 出发，沿线段 DC 向点 C 运动，点 Q从点 C 出发，沿线段 CA 向点 A 运动，两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度，当点 P 运动到 C 时，两点都停止设运动时间为 t 秒（1）求线段 CD 的长；（2）当 t 为何值时， CPQ 与ABC 相似？（3）当 t 为何值时， CPQ 为等腰三角形？【分析】 （1）先根据勾股定理求出 AB 的长，再由三角形的面积公式即可得出结论；（2）先用 t 表示出 DP， CQ，CP 的长，再分 PQCD 与 PQAC 两种情况进行讨
32、论；第 24 页（共 42 页）（3）根据题意画出图形，分 CQ=CP，PQ=PC ，QC=QP 三种情况进行讨论【解答】解：（1）ACB=90，AC=8，BC=6 ，AB=10CDAB，S ABC = BCAC= ABCDCD= = =4.8线段 CD 的长为 4.8（2）由题可知有两种情形，设 DP=t，CQ=t则 CP=4.8t当 PQCD 时，如图 aQCPABC = ，即 = ，t=3；当 PQAC，如图 bPCQABC = ，即 = ，解得 t= ，当 t 为 3 或 时，CPQ 与ABC 相似；（3）若 CQ=CP，如图 1，则 t=4.8t解得：t=2.4若 PQ=PC，如图
33、2 所示PQ=PC，PHQC，QH=CH= QC= 第 25 页（共 42 页）CHP BCA = = ，解得 t= 若 QC=QP，过点 Q 作 QECP，垂足为 E，如图 3 所示同理可得：t= 综上所述：当 t 为 2.4 秒或 秒或 秒时，CPQ 为等腰三角形第 26 页（共 42 页）【点评】本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质等知识，在解答此题时要注意进行分类讨论10 （2014娄底）如图甲，在ABC 中，ACB=90，AC=4cm，BC=3cm如果点 P 由点 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，同时点 Q 由点 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，
34、它们的速度均为 1cm/s连接 PQ，设运动时间为 t（s ）（0t4 ） ，解答下列问题：（1）设APQ 的面积为 S，当 t 为何值时，S 取得最大值？S 的最大值是多少？（2）如图乙，连接 PC，将PQC 沿 QC 翻折，得到四边形 PQPC，当四边形PQPC 为菱形时，求 t 的值； （3）当 t 为何值时， APQ 是等腰三角形？【分析】 （1）过点 P 作 PHAC 于 H，由APH ABC，得出 = ，从而求出 AB，再根据 = ，得出 PH=3 t，则AQP 的面积为： AQPH= t（3第 27 页（共 42 页）t） ，最后进行整理即可得出答案；（2）连接 PP交 QC 于
35、 E，当四边形 PQPC 为菱形时，得出 APEABC， =，求出 AE= t+4，再根据 QE=AEAQ，QE= QC 得出 t+4= t+2，再求 t 即可；（3）由（1）知，PE= t+3，与（2）同理得：QE= t+4，从而求出 PQ=，在APQ 中，分三种情况讨论：当 AQ=AP，即 t=5t，当 PQ=AQ，即=t，当 PQ=AP，即 =5t，再分别计算即可【解答】解：（1）如图甲，过点 P 作 PHAC 于 H，C=90，ACBC ，PH BC，APHABC ， = ，AC=4cm， BC=3cm，AB=5cm， = ，PH=3 t，AQP 的面积为：S= AQPH= t（3 t
36、）= （t ） 2+ ，当 t 为 秒时， S 最大值为 cm2（2）如图乙，连接 PP，PP交 QC 于 E，第 28 页（共 42 页）当四边形 PQPC 为菱形时， PE 垂直平分 QC，即 PEAC，QE=EC，APEABC， = ，AE= = = t+4QE=AEAQ t+4t= t+4，QE= QC= （4t）= t+2， t+4= t+2，解得：t= ，0 4，当四边形 PQPC 为菱形时， t 的值是 s；（3）由（1）知，PE= t+3，与（2）同理得：QE=AEAQ= t+4PQ= = = ，在APQ 中，当 AQ=AP，即 t=5t 时，解得：t 1= ；当 PQ=AQ，
37、即 =t 时，解得：t 2= ，t 3=5；当 PQ=AP，即 =5t 时，解得：t 4=0，t 5= ；0t4 ，t 3=5，t 4=0 不合题意，舍去，当 t 为 s 或 s 或 s 时，APQ 是等腰三角形第 29 页（共 42 页）【点评】此题主要考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式以及二次函数的最值问题，关键是根据题意做出辅助线，利用数形结合思想进行解答11 （2014咸宁）如图，正方形 OABC 的边 OA，OC 在坐标轴上，点 B 的坐标为（4，4） 点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴向点 O 运动；点 Q
38、 从点 O 同时出发，以相同的速度沿 x 轴的正方向运动，规定点 P 到达点 O时，点 Q 也停止运动连接 BP，过 P 点作 BP 的垂线，与过点 Q 平行于 y 轴的直线 l 相交于点 DBD 与 y 轴交于点 E，连接 PE设点 P 运动的时间为 t（s） （1）PBD 的度数为 45 ，点 D 的坐标为 （ t，t） （用 t 表示） ；（2）当 t 为何值时， PBE 为等腰三角形？（3）探索POE 周长是否随时间 t 的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值【分析】 （1）易证BAPPQD，从而得到 DQ=AP=t，从而可以求出PBD 的第 30 页（共 42 页）度数
39、和点 D 的坐标（2）由于EBP=45，故图 1 是以正方形为背景的一个基本图形，容易得到EP=AP+CE由于 PBE 底边不定，故分三种情况讨论，借助于三角形全等及勾股定理进行求解，然后结合条件进行取舍，最终确定符合要求的 t 值（3）由（2）已证的结论 EP=AP+CE 很容易得到POE 周长等于 AO+CO=8，从而解决问题【解答】解：（1）如图 1，由题可得：AP=OQ=1t=t（秒）AO=PQ四边形 OABC 是正方形，AO=AB=BC=OC，BAO= AOC=OCB=ABC=90 DPBP ，BPD=90BPA=90DPQ=PDQ AO=PQ，AO=AB，AB=PQ在BAP 和PQD 中，BAPPQD（AAS） AP=QD，BP=PDBPD=90，BP=PD，PBD=PDB=45AP=t，
