1、第十七章空间向量与立体几何,高考数学,知识清单,2.设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);a=(a1,a2,a3);ab=a1b1+a2b2+a3b3;ab(b0)a1=b1,a2=b2,a3=b3;aba1b1+a2b2+a3b3=0.3.设A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2),则=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).这就是说,一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标.,4.两个向量的夹角及两点间的距离公式(1)已知a=(a
2、1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则|a|=,|b|=,cos= (a,b0).(2)已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|=,这就是空间两点间的距离公式.5.空间距离(1)点面距离公式:P为平面外一点,a、n分别为平面的斜向量(O)和法向量,d为P到的距离,则d=|a|cos|=;,(2)线面距离转化为点面距离;(3)面面距离转化为点面距离;(4)异面直线的距离公式:设n为异面直线l1、l2的公垂线上的方向向量,a为l1、l2上两点的连线向量(a与n不共线),d为l1、l2的距离,则d=|a|cos|=.6.空间角的计算(1)异面直线所成角公式:设a、b分别为异面
3、直线l1、l2的方向向量,为异面直线所成的角,则cos =|cos |=.,(2)线面角公式:设l为平面的斜线,a为l的方向向量,n为平面的法向量,为l与成的角,则sin =|cos|=.(3)面面角公式:设n1、n2分别为平面、的法向量,二面角为,则=或=-(需要根据具体情况判断相等或互补),其中cos=.,用空间向量求解空间角的方法用空间向量求角的大小的常用方法:(1)线线角:设两异面直线a,b所成的角为,m,n分别是a,b的方向向量,则有cos =|cos|=.(2)直线与平面所成的角:设直线AB与平面所成的角为,平面的法向量为n,则有sin =|cos|=.注意,直线和平面所成角的取值
4、范围为.,方法技巧,(3)二面角:设二面角的平面角为,两个半平面的法向量分别为m,n,求出cos=,根据图形判断是锐角、直角,还是钝角,从而得出与是相等还是互补.,例(2017江苏苏北四市期中)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,ABC=BAD=90, AD=AP=4,AB=BC=2,M为PC的中点.(1)求异面直线AP,BM所成角的余弦值;(2)点N在线段AD上,且AN=,若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,求的值.,解析(1)因为PA平面ABCD,且AB,AD平面ABCD,所以PAAB,PAAD,又因为BAD=90,所以PA,AB,AD两两互相垂直.以A为坐标原点,AB,A
5、D,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4),因为M为PC的中点,所以M(1,1,2).则=(-1,1,2),=(0,0,4),所以cos=,所以异面直线AP,BM所成角的余弦值为.,(2)因为AN=,所以N(0,0)(04),则=(-1,-1,-2),易得=(0,2,0),=(2,0,-4),设平面PBC的法向量m=(x,y,z),则 即,令x=2,解得y=0,z=1,所以m=(2,0,1)是平面PBC的一个法向量.因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,所以|cos|=,解得=1,所以的值为1.,
