1、建立模型巧求最值第 1 页 共 8 页建立模型，巧求最值引言：最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，解决这类问题的基本依据有：（1） “两点之 间线段最短”， （2） “垂垂 线线 段最短段最短” ，（3） “三角形两边之差小于第三边” 。一、常用几何模型： “将军饮马”模型： （1）、在一条直线 m 上，求一点 P，使 PA+PB 最小；（1）点 A、B 在直线 m 两侧：（2）、点 A、B 在直线 m 同侧。A、 关于直线 m 的对称。2、在直线 m、n 上分别找两点 P、Q，使 PA+PQ+QB 最小。又区分为（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3
2、）两个点都在内侧：台球两次碰壁模型已知点 A 位于直线 m，n 的内侧，在直线 m、n 分别上求点 P、Q 点，使 PA+PQ+QA 周长最短.变式：已知点 A、B 位于直线 m，n 的内侧，在直线m、n 分别上求点 D、E 点，使得围成的四边形 ADEB周长最短.A一B一一一A,B一一一P PAABABP一一一一一一一一A,B一一一一一一PQBAQ BQPABBAAB建立模型巧求最值第 2 页 共 8 页小例： 45AOB点 在 内，且 ,请在 上找 两点,使 的周长最小，并求出它的最小周长？P10P,OABRQPA平移、旋转加对称1、已知 A、B 是两个定点， P、Q 是直线 m 上的两个
3、动点， P 在 Q 的左侧，且 PQ 间长度恒定,在直线 m 上要求P、Q 两点，使得 PA+PQ+QB 最小（1）点 A、B 在直 线 m 两侧： （2）点 A、B 在直线 m 同侧：2、已知小河的宽度为 米，河的两岸有 两个村庄，现准备在河上建一座桥，使桥身下河岸垂直，问应该怎样a,AB选择桥址才能使两村间的路程最短？变式：如图在 两个村庄之间有互相平行的两条小河，河宽分别为 米、 米，如果我们要在小河上建两座与,AB ab小河河岸垂直的桥，应该怎样选择桥 址，才能使 两个村庄之 间的路程最短？,二、实例讲析解决这类问题的基本策略是：首先通过对题目的精确分析，寻找建立相关的几何模型，其次才
4、是适当添加辅助线，应用勾股定理等几何方法进行计算。QPBP QAAABABMQPNBAPQAABAB建立模型巧求最值第 3 页 共 8 页、 1、 在 中， ， ，点 是 的中点， 是 上一点，那么 的最ABC290ACBDBCEABECD小值是多少？分析：由题意，动点 只有一个 ,且在直线 上，定点 在直线 同侧，是典型的“将军饮马问题”，E,所以首先作点 关于直线 的对称点 ，连结 交 于 ，()D11A1那么线段 的长就是 的最小值，只 须连结 就可计算了。1CCB、 2、 在 ， ，试在 上分别找一AB5,3,4CB,点 使 的值最小？,PM分析：由于这里的动点有 两个，要 到 的距离
5、最短，只要作,PM的垂线就行，故而联想到先做 关于 的对称点 ，再过 作BCCAB1C1于 ，交 于 ，那么 的长就是 的最小值！1AB1P（垂线段最短与对称结合，属于 “将军饮马问题”的变化形式）例 3、 是正方形 对 角线 上一点， 试寻找使MD最小的点 的位置？AC模型应用：1如图，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，P 是 AC 上一动点则 PB+PE 的最小值是 2如图，O 的半径为 2，点 A、B、C 在O 上，OAOB，AOC=60，P 是 OB 上一动点，则 PA+PC 的最小值是 3如图，在锐角ABC 中，AB42，BAC 45 ，BAC 的平分线交 BC
6、于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是 4如图，在直角梯形 ABCD 中， ABC90， ADBC，AD4，AB5，BC6，点 P 是 AB 上一个动点，当PCPD 的和最小时，PB 的长为_第 1 题 第 2 题 第 3 题 第 4 题E1C1DAC BEPMC1 ACBEA MCMDADAB CMB建立模型巧求最值第 4 页 共 8 页5如图，等腰梯形 ABCD 中， ABAD CD1， ABC60， P 是上底，下底中点 EF 直线上的一点，则 PA+PB的最小值为 6如图，MN 是半径为 1 的O 的直径，点 A 在 O 上，AMN30，B 为
7、AN 弧的中点，P 是直径 MN 上一动点，则 PAPB 的最小值为 7已知 A(2，3) ，B(3，1)，P 点在 x 轴上，若 PAPB 长度最小，则最小值为 8已知： ，问在直线 上是否存在一点 P，使 的周长最小？1,0)3,(,)C2AC9、一次函数 y=kx+b 的图象与 x、y 轴分别交于点 A（2，0），B（0，4）（1）求该函数的解析式；（2）O 为坐标原点，设 OA、AB 的中点分别为 C、D，P 为 OB 上一动点，求 PCPD 的最小值，并求取得最小 值时P 点坐标10、正方形 ABCD 的面积为 12，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 A
8、C 上有一点 P，使PDPE 的和最小， 则这个最小 值为11、如图， 设正 的边长为 2， 是 边上的中点， 是 边上的任意一点， 的最大值ABCMABBCAM和最小值分别记为 和 求 的值stst12如图，AOB=45，P 是 AOB 内一点，PO=10 ，Q、R 分别是 OA、OB 上的动点，求PQR 周长的最小值13如图，已知平面直角坐标系，A ，B 两点的坐标分别为 A(2，3），B(4，1）设 M，N 分别为 x 轴和 y 轴上的动点， 请问：是否存在这样的点 M(m，0），N(0，n),使四边形 ABMN 的周长最短？若存在，请求出 m_，n _（不必写解答过程）；若不存在，请说
9、明理由14著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路 X 同侧，AB =50km、B 到直线 X 的距离分别为 10km 和 40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区 P，向 A、B 两景区运送游客小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意 图（AP 与直线 X 垂直，垂足为 P），P到 A、B 的距离之和 S1PA PB， 图（2）是方案二的示意图（点 A 关于直线 X 的对称点是 A，连接 BA交直线 X 于点 P），P 到 A、B 的距离之和S2PAPB第 5 题 第 6 题 第 7 题CEDMACDBA BCA BPPP建立模型巧求最值第 5 页 共 8
10、 页（1）求 S1、S2，并比较它们的大小；（2）请你说明 S2PAPB 的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路 Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系， B 到直线 Y 的距离为30km，请你在 X 旁和 Y 旁各修建一服务区 P、Q，使 P、A、B、Q 组成的四边形的周长最小并求出这个最小值15如图，抛物线 y x2 x3 和 y 轴的交点为 A，M 为 OA 的中点，若35 185有一动点 P，自 M 点处出发，沿直线运动到 x 轴上的某点（设为点 E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点 F），最后又沿直线运动到点 A，求使点 P 运动的总路程最短的点
11、E，点 F 的坐标，并求出这个最短路程的长16如图，已知平面直角坐标系，A ，B 两点的坐标分别为 A(2，3），B(4，1）若 C(a，0)，D(a+3，0)是 x 轴上的两个动点，则当 a _时，四边形 ABDC 的周长最短17如图，在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 O 在坐 标原点， 顶点A、B 分 别在 x 轴、y 轴的正半轴上， OA=3，OB=4，D 为边 OB 的中点.（1）若 E 为边 OA 上的一个动 点，当 CDE 的周长最小时，求点 E 的坐标； （2）若 E、F 为边 OA 上的两个动点，且 EF2，当四 边形 CDEF 的周长最小时，求点 E、F 的坐标.1
12、8如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，直角梯形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上，OC 在 x 轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点 B 作 BDBC，交 OA 于点 D将DBC 绕点 B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交 y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点 E 和 F（1）求经过 A、B、C 三点的抛物 线的解析式；（2）当 BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求 CF 的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点 P、Q（点 Q 在点 P 的上方），且 PQ1，要使四边形 BCPQ 的周长最小，求出 P、Q 两点的坐标19如图，已知点 A（ 4，8）和点 B（2，n）在抛物线
13、y ax 2 上（1）求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标，并在 x 轴上找一点 Q，使得AQQB 最短，求出点 Q 的坐标；（2）平移抛物线 y ax 2，记平移后点 A 的对应点为 A，点 B 的对应点为 B，点 C（ 2，0）和点 D（ 4，0）是 x 轴上的两个定点建立模型巧求最值第 6 页 共 8 页 当抛物 线向左平移到某个位置时，A CCB 最短，求此时抛物线的函数解析式； 当抛物 线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形 ABCD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由二求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)
14、几何模型：在一条直线 m 上，求一点 P，使 PAPB 的差最大；（1）点 A、B 在直 线 m 同侧： （2）点 A、B 在直线 m 异侧：模型应用：1. 如图，抛物线 y x 2x2 的顶点为 A，与 y 轴交于点 B14(1)求点 A、点 B 的坐标；(2)若点 P 是 x 轴上任意一点，求 证：PAPBAB；(3)当 PAPB 最大时，求点 P 的坐标.yOA2468-2-4-2-4 2 4 xBCDPBPABAB建立模型巧求最值第 7 页 共 8 页2. 如图，已知直线 y x1 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 D，2抛物线 y x 2bx c 与直线交于 A、E 两点，与
15、x 轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为(1 ，0)（1）求该抛物线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上找一点 M，使|AM MC|的值最大，求出点 M 的坐标3. 如图，直线 y x2 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，点 A 为 y 轴正半轴上的一点，A 经过点 B 和点3O，直线 BC 交A 于点 D（1）求点 D 的坐标；（2）过 O，C，D 三点作抛物线 ，在抛物 线的对称轴上是否存在一点 P，使线段 PO 与 PD 之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点 P 的坐标若不存在， 请说明理由4. 已知：如图，把矩形 OCBA 放置于直角坐标系中， OC 3，BC2，取 A
16、B 的中点 M，连接 MC，把 MBC 沿 x 轴的负方向平移 OC 的长度后得到DAOyxCBAD OEy建立模型巧求最值第 8 页 共 8 页（1）试直接写出点 D 的坐标；（2）已知点 B 与点 D 在经过原点的抛物 线上，点 P 在第一象限内的该抛物线上移动，过点 P 作 PQx 轴于点 Q，连接 OP若以 O、P、Q 为顶点的三角形与 DAO 相似，试求出点 P 的坐标；（3）试问在（2）抛物线的对称轴上是否存在一点 T，使得 的值最大？若存在，则求出点 T 点的坐标；若不存|TO TB|在，则说明理由好题赏析：（2010宁德）如图，四边形 ABCD 是正方形， ABE 是等边三角形
17、，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕 点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN、AM、CM（1）求证：AMBENB；（2）当 M 点在何 处时， AMCM 的值最小；当 M 点在何 处时， AMBMCM 的值最小，并说明理由；（3）当 AMBMCM 的最小值为 1 时，求正方形的边长3变式：如图四边形 ABCD 是菱形，且 ABC60， ABE 是等 边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆 时针旋转 60得到 BN，连接 EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的是（ ）若菱形 ABCD 的边长为 1，则 AMCM 的最小值 1；AMBENB；S 四边形 AMBE=S 四边形 ADCM；连接 AN，则 ANBE；当 AMBMCM 的最小值为 2 时，菱形 ABCD 的边长为 23A B C D
