1、1奥数：完全平方数1、把150这50个数的平方数从小到大排成一个多位数149162536，请问这个多位数共有（ ）位数字。分析与解答：1-3的平方只有一位数，共3个数字；4-9的平方有两位数字，共26=12个数字；10-31的平方有三位数字，共有322=66个数字；32-50的平方有四位数字，共有419=76个数字；合计：3+12+66+76=157个数字。2、46305乘以一个自然数 a，积是一个完全平方数， 则最小的 a 是（ ）。分析与解答：46305=5333777所以 a 最小是 537=105。3、祖孙三人，孙子和爷爷的年龄之积是1512，而爷爷，父亲，孙子三人的年龄之积是完全平方
2、数，父亲的年龄是（ ）岁。分析与解答：1512=33322272要使1521乘一个数的积是完全平方数，那么这个数最小是：327=42。所以父亲的年龄是42岁。4、把一个两位数的个位与十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数字加起来恰好是某个自然数的平方，这个和数是（ ）。分析与解答：我们设这个数原来为10a+b ，那么 现在是10b+a，它们的和为11（a+b ）是一个完全平方数，所以 a+b 必等于11，那么这个和数就为1111=121。5、已知 n/2是完全平方数，n/3是立方数， 则 n 的最小值为（ ）。分析与解答：根据 n/2是完全平方数，我们知道 n 里面有奇数个质因数2，而联系n
3、/3是立方数，所以我们知道 n 里至少有3个质因数2；同样的道理我们知道 n 里至少有4个质因数3，那么 n 最小值为2223333=648 。6、已知一个自然数的平方的十位数是8，这个完全平方数的个位数字是（ ）。分析与解答：一个整数的完全平方数的末两位数字只能由这个整数的末两位数字3所决定。我们设这个自然数 N 的末两位数字为10a+b，那么（10a+b)2=100a2+20a+b2=100a2+2ab10+b2因为2ab 是偶数，8也是偶数，那么 b2要么不进位，要么进位为偶数。如果不进位，那么只能是 b2=0，1，4，9，如果进位那么只能是 b2=25，49，64，81。我们又知道如果
4、一个完全平方数的末尾是0，那么必须是成对出现（偶数个），所以0可以排除；如果末尾是5，那么十位必须是2，所以5也可以排除。所以一个自然数的平方的十位数是8，这个完全平方数的个位数字是：1，4，9。比如：92=81；222=484；332=1089 。7、如 n 减58是完全平方数，n 加31也是完全平方数，则 n 是（ ）。分析与解答：这题目小学里有点麻烦，但是如果知道平方差公式，那么就非常简单了。平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)58+31=89，89是素数，只能是189 ，所以 a+b=89,a-b=1我们可以知道 a=45，所以 n=4545-31=1994。48、从1986，
5、1989，1992 ，1995，1998这五个数中挑出不能写成两个自然数的平方差的数是（ ）。分析与解答：我们从上题只知道了平方差公式，我们还可以知道 a+b 与 a-b 的奇偶性是相同的。1986=11986=2993=6331；1989=11989；1992=2996；1995=11995；1998=11998=2999=.从上面我们发现1986与1998不能写成两个奇偶性相同的数的乘积，所以1986和1998不能写成两个自然数平方差的形式。9、用240个5和若干个0组成的数，是否为完全平方数？分析与解答：我们知道240个5与若干个0组成的数的数字和是1200，1200能被3整除，所以这2
6、40个5和若干个0组成的数是3的倍数，如果它是完全平方数，那么它就必须是9的倍数，但是1200不能被9整除，所以用240个5和若干个0组成的数，不是完全平方数。10、是否存在自然数 a,b 使得2ab117是完全平方数？5分析与解答：由于2ab117是完全平方数，所以2ab11 必是一个完全平方数7，又由于37=21，所以这个完全平方数的尾数是3，而我们知道：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9，所以不存在自然数 a,b 使得2ab117是完全平方数。11一所小学开运动会，全体学生在操场上排队，如果每行24人，26行排不完，27行又有余；如果每行23人，27行排不完，28行又有余。后
7、来体育老师调整了队形，正好排成每行人数和行数相等的队形，问这所小学共有学生多少人？分析与解答：从“如果每行 24人，26行排不完，27行又有余 ”可以知道人数超过2426=624而小于2427=648；从“如果每行23 人，27行排不完， 28行又有余”知道人数超 过2327=621，小于2328=644 。所以人数在 624到644之间。又由于“ 正好排成每行人数和行数相等的队形” ，所以知道人数是一个完全平方数。我们知道2424=576，2525=625，2626=676 ，所以这所小学共有625人。612小东和小明一起到果园去栽树，准备好的树苗正好可以把这些果树栽成每行每列相同棵数的方阵
8、，每人栽好8棵就休息一次，当他们把300多棵树苗都栽好时，每人休息的次数相同，但最后一次小明栽的树不到8棵。问他们共栽了多少树？分析与解答 ：从“当他们把 300多棵树 苗都栽好时” ，我 们可以知道这个数是一个为300多的完全平方数，在300多的完全平方数里只有1818=324，1919=361符合条件。又从“每人休息的次数相同，但最后一次小明栽的树不到8棵” 知道比16的倍数少，但是少的部分比8小，而324=1620+（16-12），显然12比8大，所以不是324；361=1622+（16-7），7比8小，所以他们共栽了361棵。13小亮邀请小强一起玩弹子游戏，小亮拿出一盒弹子，弹子的数量
9、是一个完全平方数。他们每人10个、10个的轮流取出，但到最后一轮，小强只拿到6个。为了平均分配，小亮给了小强2个，这样两人拿到的弹子就一样多了。问这盒弹子共有多少个？分析与解答： 从“他们每人 10个、10个的轮流取出，但到最后一 轮，小强只拿到6个”7我们可以知道这个完全平方数的尾数为6，根据”如果一个完全平方数的个位是6，那么这个数的十位一定是奇数”， 这题目好象有点问题，只要尾数是6的完全平方数：16，36，196， 256，.都符合条件。14两个正整数的和比积小1997，并且其中一个是完全平方数，求较大数与较小数的差。分析与解答：我们设这两个数为 a,b(ab)，根据题意得：ab-a-
10、b=1997a(b-1)-b=1997a(b-1)-b+1-1=1997(a-1)(b-1)-1=1997(a-1)(b-1)=1998根据 ab-a-b=1997=ab-(a+b)，我们知道 a,b 的奇偶性肯定不同，所以 a-1与 b-1的奇偶性也不相同。1998=2999=3666=6333=9222=18111=5437由于有一个数是完全平方数，很显然只有3+1=4才是完全平方数，所以另一个数为667，那么较大数-较小数=667-4=663。15设 p,m,n 为一组勾股数，其中 p 为奇质数，且 np, nm。求证：2n-1必为完全平方数。分析与解答：8由于 p,m,n 为一组勾股数
11、，且 np, nm，所以 n2=m2+p2n2-m2=p2(n+m)(n-m)=p2又由于 p 为奇质数，所以 n+m=p2,n-m=1那么(n+m)+(n-m)=p2+12n-1=p2所以设 p,m,n 为一组勾股数，其中 p 为奇质数，且 np, nm。那么2n-1必为完全平方数。16设平方数 y2是11个相继整数的平方和，求 y 的最小值。分析与解答：我们设这11个数分别为（x-5),(x-4),(x-3),(x-2),(x-1),x,(x+1),(x+2),(x+3),(x+4),(x+5)那么他们的平方和就是（x-5)2+(x-4)2+(x-3)2+(x-2)2+(x-1)2+x2+
12、(x+1)2+(x+2)2+(x+3)2+(x+4)2+(x+5)2=11x2+110=11（x2+10)要使11（x2+10) 是完全平方数，那么 x2+10最小是11，即x=1，y=1+10=11 。但是如果在小学里显然 x 不能等于1，那么 x 至少等于23，即 y=77。 17求自然数 n，使 Sn=9+17+25+（8n+1）=4n2+5n 为完全平方9数。分析与解答：4n2+5n=n(4n+5)若4n2+5n=n(4n+5)是完全平方数，那么4n+5就必是 n 的倍数，并且还是完全平方倍，我们设它为 k2倍（k 为自然数），即4n+5=k2n,4n+5=k2n(k2-4)n=5由于
13、5是素数，所以 k2-4与 n 里必有一个为5，一个为1，若 k2-4=1，那么 k2=5，显然 k 就不能为自然数，不符合；那么 k2-4=5,则 k2=9,k=3,符合条件，在这种情况下 n 只能等于1，所以只有 n=1时， Sn=9+17+25+（8n+1）=4n2+5n 才能为完全平方数。18是否存在一个2000位的整数，它是某整数的平方，且在十进制中至少有1999个数字是5?分析与解答：假如这2000位数字都是5，那么肯定不是完全平方数；假如有1999位是数字5，其他一位不是数字5，有如下情况：假如个位不是5，那么个位只能是0， 1，4，6，9。如果个位是0，那么必须至少是2个才有可
14、能是完全平方数，所以0可10以排除；如果个位是1，4， 9，那么必须十位是偶数才有可能是完全平方数，所以1，4，9也可以排除；如果个位是6，那么这2000个数的数字和为10001，可以写成3k+2的形式，而完全平方数只能是3k 或3k+1的形式，所以6也可以排除；假如个位数字是5，那么十位只能是2，否则就不可能是完全平方数；如果十位数字是2，个位数字是5，那么这数为一个末位是5的奇数的平方我们可以表示为(5k)2=25k2,我们知道奇数的平方都是8的倍数+1，所以25k2=25(8n+1)=200n+25,所以百位上是偶数，但是百位上是5，所以也不是完全平方数。综上所述，不存在一个2000位的
15、整数，它是某整数的平方，且在十进制中至少有1999个数字是5。19是否存在两个正整数 a,b，使得（a2+2b）与（b2+2a ）同为完全平方数？分析与解答:我们设 ab,那么 a2k, 且34233, 所以 k 最大为233=54.22若 a,b 为整数，且24a2+1=b2。求证：a,b 中有且仅有一个是5的倍数。分析与解答：这题目说实话我没找到好方法，想了一下，还是从尾数特征来说吧。假设 a,b 都是 5的倍数，我 们不妨设 a=5m,b=5n，则24a2=2425m2=600m2，那么24a2的尾数只能为1，而 b2=25n2的尾数只能为0或5，所以假设不成立；假设 a,b 都不是 5
16、的倍数，那么 a 只能是5m+1,5m+2,5m+3,5m+4;b 只能等于5n+1,5n+2,5n+3,5n+4。若 a=5m+1，那么24a2+1=24（25m2+10m+1)+1=600m2+240m+24+1，尾数为5；若 a=5m+2，那么24a2+1=24（25m2+20m+4)+1=600m2+480m+96+1，尾数为7；若 a=5m+3，那么24a2+1=24（25m2+30m+9)+1=600m2+720m+216+1，尾数为7；若 a=5m+4，那么24a2+1=24（25m2+40m+16)+1=600m2+960m+384+1，尾数为5；13若 b=5n+1,那么 b
17、2=（5n+1)2=25n2+10n+1,尾数只能是1或6；若 b=5n+2,那么 b2=（5n+2）2=25n2+20n+4,尾数只能是4或9；若 b=5n+3,那么 b2=（5n+3)2=25n2+30n+9,尾数只能是4或9；若 b=5n+4,那么 b2=（5n+4)2=25n2+40n+16,尾数只能是1或6。从上面看不可能两数都不是5的倍数。所以至少有一个是5的倍数，并且只有一个是5的倍数。23求证：若 a 是完全平方数，则 a 的正约数的个数一定是奇数；反之，若自然数 a 的正约数的个数 为奇数，则 a 是完全平方数。分析与解答：一个整数被它的约数除后，所得的商也是它的约数，这样的
18、两个约数可以配成一对.即：一个整数的约数和商是成对出现的，当商与约数不出现相同情况时，这个数的所有约数应该有偶数个。只有配成对的两个约数相同时，也就是这个数是完全平方数时，它的约数的个数就会减少一个，所以完全平方数的约数个数为奇数24求出满足下列条件的所有三位数：这个三位数的平方的末三位数就是原来的三位数。分析与解答:设 n=a100+b10+c 是这样的三位数，14则由题意， n（n1） 能被1000整除也就是能被53 23整除;由于 n 和 n-1是相邻的自然数，所以 n 和 n-1是互质的,且 na，b=a+1，那么 c=a2+aa2+b2+c2=a2+(a+1)2+(a2+a)2=a2
19、+a2+2a+1+(a2+a)2=(a2+a)2+2(a2+a)+1=(a2+a+1)2由于 a2与 a 的奇偶性相同，所以 a2+a 是一个偶数，那么 a2+a+1就必定为奇数。17命题得证。30使得 m2+m+7是完全平方数的所有整数 m 的积是多少？分析与解答:若 m2+m+7是完全平方数,那么我们设 m2+m+7=k2(k0, kN)m2+m+7=k2m2+m+1/4+27/4=k2(m+1/2)2+27/4=k2(m+1/2)2-k2=-27/4(m+1/2+k)(m+1/2-k)=-27/4(2m+2m+1)/2(2m-2k+1)/2=-27/4(2m+2k+1)(2m-2k+1)
20、=-27由于 k0,(2m+2k+1)(2m-2k+1),并且 m,n 都是整数;27=27(-1)=1(-27)=93=3(-9)2m+2k+1=27且2m-2k+1=-1,可以得到 k=7,m=6;2m+2k+1=1且2m-2k+1=27,可以得到 k=7,m=-72m+2k+1=9且2m-2k+1=-3,可以得到 k=3,m=12m+2k+1=3且2m-2k+1=-9,可以得到 k=3,m=-2所以使得 m2+m+7是完全平方数的所有整数 m 的积是6(-7)1(-2)18=84.由于本人只是小学数学老师，水平有限，难免有些错误或不简便的方法,如果有人有更好的方法和建议，请在题目下面留言
21、，谢谢支持！31设正整数 a,b,c,d 满足 a2+62=b2, d2+102=c2，求 c2+d2-a2-b2的值。分析与解答:这题目开始我还以为是用其他什么方法解答的,可是算了一通,发现不能化简到一个数值,所以就想了其他方法.其实就是一道使用奇偶性解答的问题.a2+62=b2,b2-a2=36,(b+a)(b-a)=36,由于 (b+a)与(b-a)的奇偶性相同,36又是偶数,所以 b+a=18,b-a=2,a=8,b=10;同样的方法可以得到 c=26,d=24.c2+d2-a2-b2=(c+a)(c-a)+(d+b)(d-b)=(26+8)(26-8)+(24+10)(24-10)=
22、3432=1088.32使28+211+2n 为 完全平方数的 n 的值 。分析与解答:28+211+2n=(24)2+22426+2n要使(24)2+22426+2n 为完全平方数,那么 n 必须为12.当 n=12时,28+211+212=(24+26)2. 1933若 A1,A2,A3,Ak 是 n 的全部正约数，求证 nk 是完全平方数。分析与解答: 若 k 为偶数,那么 nk 就肯定是完全平方数,如果 k 为奇数,那么 n 就有奇数个约数,所以 n 就必为完全平方数,所以 nk 也必是完全平方数.34设正整数 d 不等于2,5,13，求证在集合2,5,13,d中可以找到两个不同的元素
23、 a , b，使得 ab -1不是完全平方数。分析与解答:2d1、5d1、 13d1这三个数中至少有一个不是完全平方数即可用反证法， 设5d1x2 （1）5d1y2 （2）13d1z2 （3）其中 x、y、z 是正整数由（1）式知，x 是奇数，不妨设 x2n1代入有 2d1（2n1）2即d2n22n1 （4）（4）式说明 d 也是奇数于是由（2）、 （3）知 y、Z 是偶数，设 y2p， z 2q，代入（2）、 （3）相减后20除以4有2dq2p2（qp）（qp）因2d 是偶数，即 q2p2是偶数，所以 p、q 同为偶数或同为奇数，从而 qp 和 qp 都是偶数，即2d 是4的倍数，因此 d
24、是偶数这与 d是奇数相矛盾，所以命题得证35求一个三位数，使它等于一个自然数 n 的平方，且各位数字之积等于 n-1。分析与解答:这题目一直没找到好的方法，只能找到这个数为361=19 2.36接连写出偶数个1形成的数 A，再写出一半那么多个的 4形成的数B, 试 征：A+B+1 是完全平方数。分析与解答: 设 A=111.11(2n 个1),B=444.44(n 个4)那么 A+B+1=111.11(2n 个1)+444.44(n 个4)+1=111.11(2n 个1)+4111.11(n 个1)+1=111.11(n 个1)00000(n 个0)+5111.11(n 个1)+1=111.1
25、1(n 个1)00000(n 个0)-111.11(n 个 1)+6111.11(n 个1)+1=111.1(n-1个1)088.88(n-1个8)9+6111.11(n 个1)+1=333.3(n 个3)+2333.33(n 个3)+121=(333.3+1)所以 A+B+1是完全平方数。37若某整数为完全平方数，且末四位数字相同，求这种整数。分析与解答: 性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。根据
26、上面几条性质末4位数字只能是0000，4444若是0000，则有无数解。22若是4444，设4444前面的数为 X有 X10000+4444是一个完全平方数。X10000+4444=4（2500X+1111）因为4是平方数，要求2500X+1111也是平方数，而 2500X+1111末两位是11，不可能是平方数。23所以末4位如果是4444，无解。注:此解答由数学竞赛论坛上的朱世勇老师提供.38求使得2m+3n 为 完全平方数的所有正整数 m 和 n。分析与解答:设2m+3n =z,则 z 为奇数且 z1（mod 3）,所以 m 为偶数，性质7：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1设
27、m=2x，则4x+3n =z, 于是3n1（mod 4），所以 n 为偶数性质5：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1;另:3 的偶数次方是4的倍数+1,3 的奇数次方是34的倍数+3 设 n=2y，则4x+9y =z，4x=(z+3y)(z-3y)设 z+3y=2p, z-3y=2q, (p+q=2x,pq)则 z=2(p-1) 1+2(q-p), 又由于 z 为奇数，故 p=1,q=2x-1,z=1+2(m-2)于是 3y=2(q-1)=4(x-1)-1, 所以3 y3（mod 4），于是 y 为奇数4(x-1)=43(y-1)-3(y-2)+1，但3(y-1)-3(y-2)+1
28、是奇数个奇数的和，也是奇数于是 x=2， m=4，y=1，n=2，z=5。39求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得到一24个完全平方数（假定划掉的两个数字中有一个非零）。分析与解答:设 n2满足条件，令 n2100a2b，其中 0b100于是 n10a，即 n10a1因此bn-100a20a1由此得 :20a1100，所以 a4我们发现，只有当 a4时，n41满足条件若 n41则 n404240100因此，满足本题条件的最大的完全平方数为411681.40设有四个整数2， 5，13及 d，其中 d 不等于2，5， 13。证明：在四个数中存在两个数 a,b 使得 ab-1不是完全平方数。分析与解答: 见第34题41若 x,y 为正整数，使得 x2+y2-x 能被2xy 整除。求证：x 为完全平方数。25
