1、标准实用文案大全第 15 讲:极点与极线的性质 125 第 15 讲:极点与极线的性质极点与极线是高等几何中的基本且重要的概念,虽然中学数学没有介绍,但以此为背景命制的高考试题经常出现.掌握极点与极线的初步知识,可使我们“登高望远”,抓住问题的本质,确定解题方向,寻找简捷的解题途.定义:已知曲线 G:ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0,则称点 P(x0,y0)和直线 l:ax0x+b +cy0y+d +e +f=02yx20x0y是曲线 G 的一对极点与极线,点 P 称为直线 l 关于曲线 G 的极点;直线 l 称为点 P 关于曲线 G 的极线.称点 P 与直线 l 有“配极关系”,或
2、“对偶关系”,相互为对方的“配极元素”,或“对偶元素”.特别地,当点 P 在曲线 G 上时,点 P 关于曲线 G 的极线是曲线 G 在点 P 处的切线;圆锥曲线的焦点对应的极线是该焦点对应的准线;圆锥曲线的准线对应的极点是该准线对应的焦点.位置关系:已知点 P 关于圆锥曲线 G 的极线是直线 l,则三者的位置关系是:若点 P 在曲线 G 上,则直线 l 是曲线G 在点 P 处的切线;若点 P 在曲线 G 外,则直线 l 是由点 P 向曲线 G 引两条切线的切点弦;若点 P 在曲线 G 内,则直线l 是经过点 P 的曲线 G 的弦的两端点处的切线交点轨迹.如图:l l lP M P A D MP
3、N C NB配极原则:如果点 P 的极线通过点 Q,则点 Q 的极线也通过点 P.证明:设圆锥曲线 G:ax2+bxy+cy2+2dx+2ey+f=0,点 P(xp,yp),Q(xQ,yQ),则点 P、Q 关于曲线 G 的极线方程分别为p:axpx+b +cypy+d +e +f=0,q:axQx+b +cyQy+d +e +f=0,则点 P 的极线通过点2yxpxpy2yx2xyQ axpxQ+b +cypyQ+d +e +f=0 点 P(xp,yp)在直线 q:axQx+b +cyQy+d +e2p2x2x2y+f=0 上 点 Q 的极线也通过点 P.推论 1:两点连线的极点是此二点极线的
4、交点,两直线交点的极线是此二直线极点的连线;证明:设两点 A、B 连线的极点是 P,即点 P 的极线经过点 A、B,由配极原则知点 A、B 的极线均过点 P,即点 P 是此二点极线的交点;同理可证:两直线交点的极线是此二直线极点的连线.推论 2(共点共线 ):共线点的极线必共点;共点线的极点必共线.证明:设点 A、B 均在直线 l 上,直线 l 对应的极点为 P,由配极原则知点 A、B 的极线均过点 P,即点 A、B 的极线必共点;同理可证:共点线的极点必共线.标准实用文案大全推论 3(中点性质 ):若圆锥曲线 G 过点 P 的弦 AB 平行于点 P 的极线,则点 P 是弦 AB 的中点.证明
5、:设 P(x0,y0),曲线 G:ax2+bxy+cy2+2dx+2ey+f=0,则点 P 的极线方程:ax 0x+b +cy0y+d +e2yx20x0y+f=0,故可设 AB:ax0x+b +cy0y+d +e +=0,由点 P(x0,y0)在直线 AB 上yx0x20yax02+bx0y0+cy02+2dx0+2ey0+=0 =-(ax 02+bx0y0+cy02+2dx0+2ey0) 直线 AB:ax0x+b +cy0y+d +e2yx20x=ax02+bx0y0+cy02+2dx0+2ey0yax0x+b +cy0y+d +e +f=ax02+bx0y0+cy02+2dx0+2ey0
6、+f,而该直线为以为 P 中点的中点弦方程,即点 P 是xxy弦 AB 的中点.比例定理:若过点 P(x0,y0)的直线 l 与曲线 G:ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0 相交于 A、B 两点,与直线:ax0x+b +20yx126 第 15 讲:极点与极线的性质 cy0y+d +e +f=0 交于点 Q,则|PA|QB|=|QA|PB|.20x0y证明:设直线 l: (t 为参数),代入 ax0x+b +cy0y+d +e +f=0 得:sinco0tyx 2yx20x0y(2ax0cos+bx 0sin+by 0cos+2cy 0sin)t+2(ax 02+bx0y0+cy02+
7、dx0+ey0+f)=0 t0=-2;代入 ax2+bxy+sin2cosinco22ybyxafedxcy2+2dx+2ey+f=0 得:(acos 2+bcossin+csin 2)t 2+(2ax0cos+bx 0sin+by 0cos+2cy 0sin)t+(ax02+bx0y0+cy02+dx0+ey0+f)=0 t1+t2=- ,t1t2= t0= ;而22000sincosincoisbacyyx 20200sincosincobafeydxyx21t|PA|QB|=|QA|PB| |t1|t2-t0|=|t1-t0|t2| t0= 成立.21t面积定理:已知点 P 关于圆锥曲线
8、 G 的极线为 l,过点 P 的直线与圆锥曲线 G 相交于 A、B 两点,分别过点 A、B 的两条平行线与直线 l 交于点 D、C,记APD、CPD、BPC 的面积分别为 S1,S2,S3,则:S 22=4S1S2.证明:以椭圆 G: + =1(ab0)为例,设 P(x0,y0),则极线 l: .设 A(x1,y1),B(x2,y2),并分别过点2axby 0byaxA、B 作 l 的垂线,垂足分别为 D1、C 1,则 = = (注意到:|1BA|1|20byax |2021ayxa2b2=b2x12+a2y12,a2b2=b2x22+a2y2)= = (注意到: = =k)= .又因|201
9、a |)()(020211yaxb01xy02|021x|221xbkya标准实用文案大全= ,以下只需证 =1,即|a 2ky1+b2x1|=|a2ky2+b2x2|,由 b2(x1-x2)(x1+x2)|BPA|021x|221xbkya 21ayxb+a2(y1-y2)(y1+y2)=0 b2(x1+x2)+a2k(y1+y2)=0 a2ky1+b2x1=-(a2ky2+b2x2) |a2ky1+b2x1|=|a2ky2+b2x2| = ,由|BPA|1CDADD1BCC 1 = ,设 AC 与 BD 交于点 Q,由 ADBC = = PQBCAD SBAC =S|BCAD|P |BCA
10、D|Q|BPA|CQBDC,两边同减 SBQC 得 SQAB =SQDC ,又因 SPQA =SPQD ,SPQB =SPQC SPCD =SQCD +SPQD +SPQC =SQCD +SPQA +SPQB =SQCD +SQAB=2SQAB SQAD =SPAD =S1,SQBC =SPBC =S3,SQAB = SPCD = S2,注意到: = =1 =SQAD S21QABDS |2QABSQBC S22=4S1S2.例 1:极点与极线的位置关系.始源问题:(2010 年湖北高考试题 )已知椭圆 C: +y2=1 的两焦点为 F1 ,F2,点 P(x0,y0)满足 01(x00),直线
11、 l: + =1.4x3y420x3y40x3y()求直线 l 与椭圆 C 的公共点个数;()若射线 OP 与直线 l、椭圆 C 分别交于点 Q、M,求证:|OP|OQ|=|OM| 2.解析:()因椭圆 C: + =1 ,0,2),所以 ,直线 l 与椭圆 C 的公共点个数 关于 的方程42x3ysin3co2yx 第 15 讲:极点与极线的性质 127 cos+ sin=1 解的个数 直线: x+ y=1 与圆:x 2+y2=1 的公共点个数;由圆心 O(0,0)到直线:20x30y 20x3yx+ y=1 的距离 d= 0)的对称轴上一点 A(a,0)(a0),的直线与抛物线相交于 M、N
12、两点,自 M、N 向直线 l:x=-a 作垂线,垂足分别为 M1、N 1.()当 a= 时,求证:AM 1AN 1;2p标准实用文案大全()记AMM 1、AM 1N1、ANN 1的面积分别为 S1、S 2、S 3,是否存在 ,使得对任意的 a0,都有 S22=S 1S3成立.若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.解析:()当 a= 时,A( ,0),设 M(2pm2,2pm),N(2pn2,2pn),则 M1(- ,2pm),N1(- ,2pn),由 (2pm2-2p 2p2pAMN):(2pn2- )=2pm:2pn mn=- =p2+4p2mn=0 AM1AN 1;p411AMN第 15
13、 讲:极点与极线的性质 129 ()由 (2pm2-a):(2pn2-a)=2pm:2pn 2pmn+a=0;因 = ;当 MN x 轴时, = =AMN |1NM2pnam|ANM|2pnam;所以, = = 4p2m2n2=a2成立;当 MNx 轴时,显然有 = ;设 MN12pnam|1|AM2pnama|1|与 NM1交于点 Q(点 Q 即原点 O),由 MM1NN 1 = = AQMM 1NN 1;设MQM 1=,则|QNM|1|ANS1= |QM|QM1|sin,S 32= |QN|QN1|sin;又 SQMN = S2= +( + )= +(SAQM +SAQN )= +SQMN
14、 =2S1NQM1NQM1AS1QN1MS1NQMSQMN;S1S3= 2|QM|QM1|sin |QN|QN1|sin= |QM|QN|sin |QM1|QN1|sin=S QMN = S22 S22=4S1S3 存在 =4,使 221NQMS4得对任意的 a0,都有 S22=S 1S3成立.原创问题:已知抛物线 C:y2=4x,直线 l:y=2x+2,过点 P(1,1)的直线与抛物线 C 交于 A、B 两点,A、B 两点在直线 l 上的射影点分别为 N、M,记PAN、PMN、PBM 的面积分别为 S1、S 2、S 3.()当 AB直线 l 时,求证:P 是 AB 的中点;()求证:S 22
15、=4S1S3.解析:()设 A(x1,y1),则 y12=4x1;由 P 是 AB 的中点 B(2-x1,2-y1) (2-y1)2=4(2-x1) y1=2x1+1 点 A 在直线y=2x+1 上,同理可得点 B 也在直线 y=2x+1 上 直线 AB:y=2x+1 AB直线 l;由统一法知,当 AB直线 l 时, P 是 AB 的中点;()设直线 AB: (t 为参数),代入 y2=4x 得:t 2sin2+2(sin-2cos)t-3=0 t1+t2=2 ,t1t2=-sin1cotyx 2sinco;点 A(1+t1cos,1+t 1sin)到直线 l 的距离|AN|= ,点 B(1+
16、t2cos,1+t 2sin)到直线 l 的距2sin3 5|3sinco|1tt离|BM|= = (由点 A、B 在直线 l 的同侧 2t1cos-t 1sin+3 与5|3sinco|2tt|BMAN|3sinco221tt t2cos-t 2sin+3 同号)= ;而 = (点 A、B 在点 P 的异侧)=- ;所以, =3sinco21tt |PB|t 2t|BMAN|P3sinco21tt标准实用文案大全=- 2(2cos-sin)t 1t2+3(t1+t2)=0 2(2cos-sin)(- )+3 2 =0 成立;21tsin32sinco以下同例题可证:S 22=4S1S3.例
17、5:椭圆中的共线性质.始源问题:(2012 年北京高考试题 )已知曲线 C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(mR).()若曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆,求 m 的取值范围;()设 m=4,曲线 C 与 y 轴的交点为 A,B(点 A 位于点 B 的上方),直线 y=kx+4 与曲线 C 交于不同的两点 M、N,直线 y=1 与直线 BM 交于点 G.求证:A,G,N 三点共线.解析:()由曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆 m-25-m0 0 k2 ;且 x1+x2=- ,x1x2= ;又由直线 BM:y= x-2 G( ,1),即 G( ,1)36k4k1y31x631kxkA
18、G=-=- - ,kAN= = =k+ kAN-kAG= + + = +2 = +2 =0 A,G,N 三点共线.136x12x2xy2x3412x34k21x34k26第()问是本题的特色与亮点,其实质是共轭点的性质: 设点 P 与 Q 是二次曲线 G 的一对共轭点,过点 Q 的直线 AC 与曲线 G 相交于 A、C 两点,AP 与曲线 G 相交于另一点 B,BQ 与曲线 G 相交于另一点 D,则 P、C 、D 三点共线.其中共轭点的定义:130 第 15 讲:极点与极线的性质 若直线 PQ 与圆锥曲线 G 相交于 A、B 两点, 且 + =0,则称点 P 与 Q 是圆锥曲线 G 的一对共轭
19、点.PAQBA原创问题:已知椭圆 C: =1(ab0)过点 D(-1,e),其中,e 是椭圆 C 的离心率,椭圆 C 的左、右顶点分别为 A(-2,2byax0)、B(2,0).()求椭圆 C 的方程;()过点 E(4,0)的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点,求证:直线 AM 与 BN 的交点 P 在一条定直线上.解析:()由 a=2, + =1 1+ =a2 b2=1 椭圆 C: +y2=1;21abec4x()设 M(x1,y1),N(x2,y2),直线 l:y=k(x-4),由 (1+4k2)x2-32k2x+64k2-4=0 x1+x2= ,x1x2=)(2yxk43k246k
20、k2= ,x1x2(1+4k2)=64k2-4 x1x2 = 2x1x2=5(x1+x2)-8;又由直线)(312x)(821x)(85421xAM:y= (xy+2),直线 BN:y= (x-2) 直线 AM 与 BN 的交点 P 的横坐标 x 满足: (x+2)= (x-2) (x+2)=2xy21y2xy2)4(1xk(x-2) x= = =1 点 P 在一条定直线 x=1 上.2)4(xk 83261x8326)(5121x标准实用文案大全例 6:椭圆中的中点性质.始源问题:(2008 年全国高中数学联赛湖南初赛试题 )如图,过直线 l:5x-7y-70=0 上的点 P 作椭圆 + =
21、1 的两条25x9y切线 PM、PN,切点分别为 M、N.()当点 P 在直线 l 上运动时,证明:直线 MN 恒过定点 Q;()当 MNl 时,定点 Q 平分线段 MN.解析:()设 P(7t+7,5t-5),则直线 MN 的方程为: x+ y=1 ( x+ y)t+( x- y-1)=0,由 x+ y=0,且257t9t257925792579x- y-1=0 x= ,y=- 直线 MN 恒过定点 Q( ,- );2579142509140()MNl : =5:(-7) t= 直线 MN 的方程为:5x-7y- =0,代入椭圆方程 + =1 得: x2257t9t53923525x9y75
22、3-2 x+25( )2-9=0,设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2= 定点 Q 平分线段 MN.372573 7原创问题:过点 Q(1,1)作己知直线 l:3x+4y=12 的平行线交椭圆 C: + =1 于点 M、N.42x3y()分别过点 M、N 作椭圆 C 的切线 l1、l 2.证明:三条直线 l1、l 2、l 交于一点;()证明:点 Q 是线段 MN 的中点;()设 P 为直线 l 上一动点,过点 P 作椭圆 C 的切线 PA、PB,切点分别为 A、B,证明:点 Q 在直线 AB 上.解析:()设 M(x1,y1),N(x2,y2),切线 l1、l 2交于点 P(
23、x0,y0),由切线 l1: x+ y=1,切线 l2: x+ y=1 均过点4x31y4x32yP(x0,y0) x0+ y0=1, x0+ y0=1 直线 MN: x+ y=1;又由直线 MN 过点 Q(1,1) + =1 3x0+4y0=12 点41342340x3y 40x3yP 在直线 l 上 三条直线 l1、l 2、l 交于一点;()由直线 MN直线 l : = : ,又 + =1 x0=y0= 直线 MN:3x+4y=7 点 Q 是线段 MN 的中点;40x3y140x3y712()设 P(x0,y0),则直线 AB:3x0x+4y0y=12 3x0x+(12-3x0)y=12
24、点 Q 在直线 AB 上.第 15 讲:极点与极线的性质 131 例 7:椭圆中的比例性质.始源问题:(2011 年山东高考试题 )在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: +y2=1.如图所示,斜率为 k(k0)且不过3x原点的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 E,射线 OE 交椭圆 C 于点 G,交直线 x=-3 于点 D(-3,m).()求 m2+k2的最小值; D y()若|OG| 2=|OD|OE|. G A(i)求证:直线 l 过定点; E(ii)试问点 B,G 能否关于 x 轴对称？若能,求出 -3 O x此时ABG 的外接圆方程;若不能,请说明理
25、由.解析:()设 E(-3,m),A(-3+t,m+kt),标准实用文案大全则 B(-3-t,m-kt).由点 A、B 都在椭圆 C 上 ,两式相减得 mk=1 m2+k22mk=2,当且仅当3)(3)(22ktmtm=k=1 时等号成立,所以 m2+k2的最小值=2.()(i)设直线 OG 与椭圆 C 相交于另一点 T,则由椭圆 C 关于原点对称得:|OT|=|OG|.所以,|OG| 2=|OD|OE| +DTEG=0,由轨迹 1 知,点 E 在直线-x+my=1 上,即直线 l 的方程为:-x+my=1 直线 l 过定点(-1,0);DGET(ii)若点 B,G 关于 x 轴对称 点 G(
26、-3-t,-m+kt),由点 G 在直线 OE 上 (-3-t):(-3)=(-m+kt):m 6m+mt=3kt(注意到 mk=1) m2(6+t)=3t t= ,又由点 E 在直线 l 上 3+m 2=1 = B(- ,- )236m231m23m( )2+( )2=1 m=1,k=1,= ,t= A(0,1),B(- ,- ),G(- , ) ABG 的外接圆方程:(x+ )2+y2= .31m341231231145原创问题:已知椭圆 C: =1(ab0)内一点 P(2,1),射线 OP 与椭圆 C 交于点 N,与直线 l0:x+y-12=0 交于点 M,2byax满足|OP|OM|=
27、|ON| 2,且椭圆 C 在 N 处的切线平行于直线 l0.()求椭圆 C 的方程;()过点 P 的任意一条直线 l 与直线 l0交于点 Q,与椭圆 C 交于 A、B 两点(A 在 P 与 Q 之间),求证:|QA|PB|=|QB|PA|.解析:()由射线 OP:y= x(x0),直线 l0:x+y-12=0 M(8,4);设 N(2t,t)(t0),由|OP|OM|=|ON| 2 =4t221580+t2 t=2 N(4,2) + =1,椭圆 C 在 N 处的切线: + =1;由切线平行于直线6a4b24axbyl0 = a2=2b2 b2=12,a224b=24 椭圆 C: + =1;4x
28、1y()设直线 l: (t 为参数),代入 + =1 得:(2sin 2+cos 2)t 2+4(sin+cos)t-18=0 t1+t2=-sinco2ty24x1y ,t1t2=- ;代入 x+y-12=0 得:(sin+cos)t-9=0 tQ= ;而|QA|PB|=|QB|PA|2cosin)(42cosi18 cosin9(tQ-t1)(-t2)=(tQ-t2)t1 (t1+t2)tQ-2t1t2=0 - -2(- )=0 成立.2cosin)(4cosin92cossin18原创问题:已知椭圆 C: =1(ab0)内一点 P(2,1),过点 P 且平行于 x 轴直线被椭圆 C 截得
29、的弦长为 4 ,过2byax 6点 P 且平行于 y 轴直线被椭圆 C 截得的弦长为 2 .10()求椭圆 C 的方程;()过点 P 的任意一条直线 l 与直线 l0:x+y-12=0 交于点 Q,与椭圆 C 交于 A、B 两点,若 = , = .求证:QAPB+132 第 15 讲:极点与极线的性质 为定值.解析:()由 =1,令 y=1 得:|x|= ;令 x=2 得:|y|= ;由题知, =2 , =2byaxba12ab42ba126ab42标准实用文案大全a2= , (a2-4)=10 ( -4)=10 b2=12 a2=24 椭圆 C: + =1;1014ba241b224x1y(
30、)设直线 l: (t 为参数),代入 + =1 得:(2sin 2+cos 2)t 2+4(sin+cos)t-18=0 t1+t2=-sincotyxxy ,t1t2=- ;代入 x+y-12=0 得:(sin+cos)t-9=0 tQ= ;由 = , =2cosin)(42cosi18 cosin9QAPBBP= ,= +=2-t Q =2- =0.1tQ2t21tcosin99)cos(in2例 8:椭圆中的共线性质.始源问题:(2002 年澳大利亚数学奥林匹克试题 )己知ABC 为锐角三角形, R以 AB 为直径的K 分别交 AC、BC 于 P、Q,分别过 A 和 Q 作K 的两条切线
31、交 C于点 R,分别过 B 和 P 作K 的两条切线交于点 S.证明:点 C 在线段 RS 上. P Q S解析:设K:x 2+y2=r2,R(-r,a),S(r,b) 点 R,S 对应的极线分别为:AQ:-rx+ay=r2,BP:rx+by=r2 Q( , ),P(- , ) A K B2)(ra2ra2)(rb2rbAP:y= (x+r),BQ:y=- (x-r),由 C( r, )rbr)(rxbybayxba点 C 对应的极线为:(a-b)rx+2aby=(a+b)r 2,由三线:-rx+ay=r 2,BP:rx+by=r2,(a-b)rx+2aby=(a+b)r2共点于( r,ba)
32、 R,C,S 三点共线 点 C 在线段 RS 上.bar2该题是平面几何定理:“过非等腰三角形的三个顶点作其外接圆的切线, 顶点处的切线与其对边所在直线的交点共线.”的变形,以该定理为始源,取其特殊情况,并把圆压缩为椭圆得:原创问题:若对任意 0,2),直线 l:xcos+2ysin-2=0 与椭圆 C: =1(ab0)均只有一个交点 M.2byax()求椭圆 C 的方程;()当 (0, )时,若直线 l 与 x 轴交于点 N,椭圆 C 的左、右顶点分别为 A、B,直线 BM 上的点 Q 满足 QAx 轴,直线2AM 与 NQ 交于点 P,求点 P 的轨迹方程.解析:()由 (a2cos2+4
33、b 2sin2)y 2-8b2ysin+4b 2-a2b2cos2=0 =64b 4sin2-0sinco22bayxb4(a2cos2+4b2sin2)(4b 2-a2b2cos2)=0 a2-4+(4b2-a2)sin2=0 恒成立 a2-4=0,4b2-a2=0 a2=4,b2=1 椭圆 C: +y2=1;4x()由 xcos+2ysin-2=0 N( ,0);()知,M(2cos,sin) 直线 AM:y= (x+2),BM:y= (x-2)cos cosincosinQ(-2, ) 直线 NQ:y=-cot(x- );令 (x+2)=-cot(x- ) ( + )x= -cos1in222cosin22isiin21ix=2 点 P 的轨迹方程 x=2(0y2).标准实用文案大全
