1、下面我们来学习第二个知识点：,1、命题的符号化； 2、合式公式； 3、永真公式； 4、范式 5、推理理论。,2、合式公式；,2.2 合式公式,一、一阶逻辑的字母表,个体常元 个体变元 函数符号 谓词符号 联 结 词 量 词 辅助符号,二、一阶逻辑的合式公式,1、项,定义2.2.2 项的归纳定义如下： （1）个体常元和个体变元是项； （2）若t1, t2, , tn 是项，则f (n) (t1, t2, , tn )是项； （3）只有通过有限次使用(1)和(2)所得到的符号串是项。,例如：,2、原子公式,定义2.2.3 设 t1, t2, , tn 是项，则称 P (n) (t1, t2, ,
2、tn )为原子公式。,例如：,是原子公式。,3、合式公式,定义2.2.4 合式公式的归纳定义如下： （1）原子公式是合式公式； （2）若A, B 是合式公式，则（3）只有通过有限次使用(1)和(2)所得到的符号串是合式公式。,例如：,是合式公式。,4、合式公式去括号法则,一阶逻辑的合式公式去括号法则与命题逻辑中的去括号的约定相同。,三、辖域及其相关概念,1、辖域,定义2.2.5 在合式公式 Q x A中，称则 A是 Q 辖域，其中，Q为,例2.2.1,2、约束变元与自由变元,定义2.2.6 变元 x 在 Qx 及 Q 的辖域中的出现称为 x 的约束出现，并称 x 项为约束变元；x的非约束出现称
3、为 x 的自由出现，并称 x 项为自由变元。其中，Q为,例如：,3、换名规则,若要将约束变元 x 改为 y，则 （1）将 Qx 中的 x 及在 Q 的辖域中自由出现的 x均改为 y ； （2）y 不在限制 x 的量词的辖域中出现（最好选用公式中未出现的个体变元符号）。,例2.2.3,本节习题,P.40，习题2.21.(1)、(3)2.(2)3.(3),下面学习第三个知识点：,1、命题的符号化； 2、合式公式； 3、永真公式； 4、范式 5、推理理论。,3、永真公式；,2.3 永真公式,一、一阶逻辑公式真值的计算,类似于命题逻辑，谓词逻辑公式中涉及到的真正变化着的变元是命题变元和自由个体变元。因
4、此，要确定谓词逻辑公式的值，只要对所出现的命题变元和自由变元赋予确定的值即可，公式的值（即值域）为0或者1。,1、合式公式的解释,定义2.3.1 合式公式 G 的一个解释I是由一个非空集合DI（称为I的论域）和如下一组规则组成： （1）对 G 中的每个个体常元和自由个体变元指定DI中的一个元素； （2）对 G 中的每个 n 元函数符号，指定DI上的一个 n 元函数； （3）对 G 中的每个 n 元谓词符号，指定DI上的一个 n 元谓词（命题变元指定为1或0）。,2、合式公式真值的计算,（1）若 G 是原子公式，则可以直接由定义确定 G 的真值； （2）若 G 为 ，且A, B的真值已知，则根据
5、联结词的含义可计算出 G 的真值； （3）若 G 为 ，则 G 为真当且仅当对任何 ， A(a) 都为真；若 G 为 ，则 G 为真当且仅当有 ，使 A(a) 为真；其中 A(a) 表示在 A(x) 中用 a 取代 x 的所有自由出现所得到的公式。,例2.3.1,求,的真值，,其中 a 是个体常元。给定其解释 I 为,例2.3.2,试找出一个解释 I，使下列公式为假。,答案：,例2.3.3,试找出一个解释 I，使下列公式为假。,答案：,二、一阶逻辑公式的类型,类似于命题逻辑，一阶逻辑公式也有永真式、永假式和可满足式三种类型。其定义如下：,定义2.3.2 设 A 是一个合式公式。 (1) 若 A
6、 在任何解释下为真，则称 A 的是永真式； (2) 若 A 在任何解释下为假，则称 A 的是永假式； (3) 若至少有一个解释使 A 为真，则称 A 的是可满足式。,例2.3.4,证明： 是永真式。是非永真的可满足式。,三、一阶逻辑公式的永真公式,类似于命题逻辑，一阶逻辑公式也有一些基本的永真公式，它可以用来进行逻辑恒等变换，以实现一阶逻辑公式的证明演算或推理演算。,1、若 A 是没有 x 的自由出现的公式，则,例如：, ,2、量词与“ ”的联系,例如：P(x): x 今天到电影院看电影。,3、量词辖域的收缩与扩张,例如：, ,例2.3.5 证明下列等式：,证：左边,右边,4、量词与 和 的联
7、系,例如：A(x): x 今天上数学课； B(x): x 今天上语文课。解释公式（4）。又如： “有些人既喜欢打篮球又喜欢打乒乓球”解释公式（3）。,例2.3.6 试证明：,5、两个量词间的联系,例如对于公式（5）： “有些人看过所有离散数学的书”可推出“所有离散数学的书都有人看过”，但反过来就不一定正确了。,本节习题,P.45，习题2.31.(1)、(3) 、(5) 、(8)2.(1) 、(4)3.(4)4.(4)5.,下面学习第四个知识点：,1、命题的符号化； 2、合式公式； 3、永真公式； 4、范式; 5、推理理论。,4、范式;,2.4 范式,一、前束范式,1、前束范式的定义,例如:,由
8、定义可见：前束范式按其结构分为两部分，即：量词部分和逻辑公式部分。,定义2.4.2 设 A 是合式公式，B 是前束范式。若 ，则称 B 是 A 的前束范式。,该定义给了我们什么信息？,2、前束范式的求解,前束范是的求解步骤：,(1) 消去联结词 和 ； (2) 消去双重否定，利用德.摩根定律及量词与 的联系等，将 移至原子公式之前； (3) 若有必要将约束变元换名； (4) 利用基本永真式进行逻辑恒等变换，将量词移至公式的最左边。,例2.4.1 试求下式前束范式：,证明：原式,前束范式不唯一，与命题逻辑不同的是它也没有类似的主范式。,二、斯科林范式,Skolem范式是一种没有存在量词的范式。因此，Skolem范式可以通过前束范式消去存在量词而获得。,Skolem变换:,定义2.4.2 设前束范式为,若 ，那么,（1）当 Qtxt 左边无全称量词时，用 B 中未出现的个体常元 a 去代替 B 中 xt 的所有出现，并删去Qtxt。,（2）当 Qtxt 左边的所有全称量词为,时，取 B 中未出现的 s 元函数符号f (s)(x1, x2, , xs)，代替 B 中 xt 的所有出现，并删去Qtxt,例2.4.2 试求例2.4.1的Skolem范式。,本节习题,P.49，习题2.41. (1) 、(4)2.,
