1、材料力学,弯曲：杆件受到垂直于杆轴线的外力即横向力或 受到位于杆轴平面内的外力偶作用时，杆的轴线 由直线弯成曲线。,以弯曲为主要变形的杆件称之为梁。,弯曲内力/弯曲的概念和实例,第四章 弯曲内力 4.1 弯曲的概念和实例 一. 弯曲的概念,材料力学,M,梁弯曲后的轴线,梁所受外力和弯曲后的轴线都在纵向对称面上。,通过梁轴线和截面对称轴的平面。,弯曲内力/弯曲的概念和实例,纵向对称面：,平面对称弯曲：,概 念 图 解,材料力学,4.2 受弯杆件的简化,弯曲内力/受弯杆件的简化,材料力学,梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应对受弯杆件进行必要的简化，抽象出计算简图。,1.构件
2、本身的简化,2.载荷的简化,3.支座的简化,一.受弯杆件的简化,材料力学,1.构件本身的简化,通常取梁的轴线代替梁。,材料力学,2.载荷的简化,通常将载荷简化为集中载荷和均布载荷。,桥面板作用在钢梁的力,材料力学,均布载荷（设载荷为F，长度为L）：,q=F/L,q为单位长度内的载荷，称为载荷集度。,材料力学,3.支座的简化,（1）固定铰支座,两个约束，一个自由度,（2）可动铰支座,一个约束，两个自由度,材料力学,（3）固定端,三个约束，无自由度,材料力学,弯曲内力/受弯杆件的简化,二.静定梁的基本形式,静定梁：,支座反力可由静力平衡方程完全求出。,静定梁分类：,简支梁,外伸梁,悬臂梁,材料力学
3、,（a）简支梁,（c）悬臂梁,（b）外伸梁,弯曲内力/受弯杆件的简化,材料力学,弯曲内力/剪力和弯矩,4.3 剪力和弯矩,材料力学,一.弯曲内力的含义,设有一简支梁AB，受集中力F作用。现分析距A端为x处的横截面m-m上的内力。,x,材料力学,x,1.根据平衡条件求支座反力,2.求m-m截面上的内力,A,x,M,剪力 使截面不产生移动,弯矩M 使截面不产生转动,o,材料力学,注：弯曲时横截面上的内力既包括剪力又包括弯矩。,材料力学,弯曲内力/剪力和弯矩,为使同一位置处两侧截面上内力分量必须具有相同的正负号，根据梁的变形来规定内力的符号。,思考：,如截取m-m截面右段梁，则内力方向有何改变？,材
4、料力学,剪力FS 符号规定：,规定产生顺时针转动效果的剪力为正，反之为负。 概括为“左上右下，剪力为正”。,弯曲内力/剪力和弯矩,材料力学,使梁弯曲呈下凸的弯矩为正，反之则为负。概括为“左顺时针右逆时针，弯矩为正”。,压,拉,弯曲内力/剪力和弯矩,弯矩M 符号规定：,材料力学,二. 弯曲内力的计算练习,练习一：简支梁受力如图，试求C截面（跨中截面）上的内力。,材料力学,1.根据平衡条件求支座反力,材料力学,2.求C截面（跨中截面）上的内力,弯曲内力/剪力和弯矩,材料力学,如以右侧梁作为研究对象，则：,弯曲内力/剪力和弯矩,材料力学,弯曲内力/剪力和弯矩,总结：截面法求内力的注意事项,1.切一刀
5、：,2.取一段：,3.加内力：,4.列平衡：,按指定截面和指定要求切；,取简单的一段；,内力必须为正方向；,平衡方程中的正负号。,材料力学,练习二： 一外伸梁受力如图所示，试求,（1）C截面上的内力；,（2）B左和B右截面上的内力；,（3）分析B左和B右截面上内力的相互关系。,材料力学,1.根据平衡条件求支座反力,弯曲内力/剪力和弯矩,材料力学,2、求指定横截面上的剪力和弯矩,弯曲内力/剪力和弯矩,FSC() + q1() FAY() =0,FSC=1KN,M(逆) +q10.5 (逆) +Mo(逆) -FAY2 (顺) =0,M= 3KNm,（2）求C截面上的内力,材料力学,（3）求B左截面
6、上的内力,弯曲内力/剪力和弯矩,FSB左=3KN,M= 5KNm,材料力学,（4）求B右截面上的内力,弯曲内力/剪力和弯矩,FSB右=4KN,M= 5KNm,材料力学,弯曲内力/剪力和弯矩,（5） B左右截面内力的关系,材料力学,弯曲内力/剪力和弯矩,结论,在集中力作用处的截面两侧，剪力有突变，而弯矩没有变化。,材料力学,A,B,F,C,a,2a,练习三：一外伸梁受力如图，分析D左截面和D右截面上内力的相互关系 。,a/2,M0,D,材料力学,在集中力偶作用处的截面两侧，弯矩有突变，而剪力没有变化。,结论,材料力学,弯曲内力/剪力和弯矩,完成课本118页例4.1,材料力学,4.4 剪力方程和弯
7、矩方程 剪力图和弯矩图,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,材料力学,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,一.剪力方程和弯矩方程,在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩 随截面的位置而变化。（如图）,材料力学,因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即,称为剪力方程和弯矩方程。,FS=FS(x) M=M(x),弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,材料力学,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,思考：,一般情况下梁横截面上的剪力和弯矩随截面的位置而变化，在解题的时候，如何对梁进行分段？,利用控制截面分段,控制截面指外力规律发生变化的截面，例如集中力、集中力
8、偶的作用点、分布载荷的起点和终点对应的横截面。,以控制截面为分界线，将梁进行分段，各段单独列剪力方程和弯矩方程。,材料力学,A,B,1m,1m,1m,3m,P=2KN,E,D,F,练习：利用控制截面法将梁进行分段,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,5个控制截面，将梁分为段,材料力学,x,x,二.剪力图和弯矩图,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,用图示的方法表示剪力和弯矩沿轴线的变化情况。,剪力图：,弯矩图：,材料力学,绘制剪力图和弯矩图的注意事项：,1.横坐标要与杆件长度相对应；,2.纵坐标要标明数值大小及正负;,3.纵坐标大小要成比例；,4.是一条连续的图线，不能间断
9、；,5.在图上要画出阴影线.,材料力学,练习一：悬臂梁受力如图所示，列出梁的剪力方程和弯矩方程， 作出梁的剪力图和弯矩图，并求出梁的FSmax和Mmax 及其所在截面位置。,m=Pa,A,C,B,a,a,材料力学,m=Pa,A,C,B,a,a,1.列出梁的剪力方程和弯矩方程,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,不同截面上的内力是不同的，因此，先利用控制截面法将梁进行分段,材料力学,求AB段的剪力和弯矩：,m=Pa,A,C,B,a,a,(1) 切一刀,(2) 取一段,(3) 加内力,(4) 列平衡,材料力学,求BC段的剪力和弯矩：,m=Pa,A,C,B,a,a,(1) 切一刀,(2)
10、取一段,(3) 加内力,(4) 列平衡,材料力学,2.作梁的剪力图和弯矩图,-P,Pa,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,m=Pa,A,C,B,a,a,AB段：,BC段：,材料力学,3.求FSmax和Mmax,（在AB段的各横截面上）,（在BC段的各横截面上）,m=Pa,A,C,B,a,a,-P,Pa,材料力学,注意：,1. 在列梁的剪力方程和弯矩方程时，参数x可以从坐标原点算起，也可从另外的点算起，仅需要写清楚方程的适用范围（x的区间）即可。,2. 剪力、弯矩方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作用处，F S(x)应为开区间，因在该处剪力图有突变；而在集中力偶作用处，M(x)
11、应为开区间，因在该处弯矩图有突变。,3. 若所得方程为x的二次或二次以上方程时，则在作图时除计算控制截面的值外，应注意曲线的凹凸向及其极值。,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,材料力学,练习二：外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图。,材料力学,1.根据平衡条件求支座反力,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,材料力学,2.分段列剪力方程和弯矩方程,CA段:,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,材料力学,AB段 :,x,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,材料力学,3.作剪力图,-qa,CA段:,AB段 :,材料力学
12、,4.作弯矩图,-qa,CA段:,AB段 :,AB段的弯矩为二次函数，必须求极值，方法如下：,材料力学,弯矩为二次函数时,在剪力为零的位置,弯矩出现极值。,结论,弯矩的凹凸性由均布载荷的方向决定。,材料力学,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,相似题目课本119页 例4.2、例4.3、例4.4,材料力学,横梁、立柱与刚节点。,特点：,1.平面刚架简介,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,组成：,受力以后，刚节点处夹角保持不变。刚节点能承受力与力矩。,三.平面刚架内力图（专题讲座）,材料力学,2.根据刚架的外力特征，判断其变形形式,刚架在F1的作用下：,刚架在F1和F2共同作
13、用下：,AC杆产生弯曲变形；BC杆产生弯曲和拉压的组合变形。,同上。,材料力学,3.根据刚架的变形形式，判断其内力组成,刚架的变形：,拉压和弯曲,刚架的内力：,轴力、剪力和弯矩,回顾：轴力、剪力和弯矩的符号规定,思考：轴力、剪力和弯矩的正负号与观察者的位置是否有关？,材料力学,* 内力分量的正负号与观察者位置的关系：,轴力：,材料力学,剪力：,材料力学,弯矩：,材料力学,结论,轴力和剪力的符号与观察者的位置无关，而弯矩的符号与观察者的位置有关。,材料力学,4. 刚架内力图的规定,轴力FN图和剪力FS图,由于轴力和剪力的符号与观察者的位置无关，因此轴力和剪力的符号规定仍然适用于立柱；,刚架立柱横
14、截面上的轴力和剪力画在立柱的里侧和外侧均可，但必须标出正负号。,材料力学,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,弯矩图,压,拉,由于弯矩的符号与观察者的位置有关，所以立柱的弯矩不再规定为下凸为正，而是要求弯矩的数值标注在受压一侧（即凹入的一侧）。,材料力学,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,练习：求做刚架的剪力图和弯矩图,材料力学,1.分段列剪力方程和弯矩方程,首先将横梁和立柱分为两大段，再根据具体的受力情况分别将横梁和立柱分段。,材料力学,AC段（横梁）：,注：如题目没要求列方程，则可以不标注x的范围。,材料力学,BC段（立柱）：,加内力时注意：,3.立柱截面上除了剪力和
15、弯矩外还有轴力；,2.立柱的弯矩不再规定为下凸为正。,1.立柱的剪力符号规定仍然为左上右下为正；,材料力学,BC段（立柱）：,材料力学,2.根据剪力方程做剪力图,AC段（横梁）：,BC段（立柱）：,+,材料力学,3.根据弯矩方程做弯矩图,AC段（横梁）：,BC段（立柱）：,材料力学,4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,弯曲内力/载荷集度、剪力和弯矩间的关系,材料力学,弯曲内力/载荷集度、剪力和弯矩间的关系,了解载荷集度、剪力、弯矩之间相互关系的目的：,1. 剪力图和弯矩图的检验;,2. 在不列方程的情况下，根据关系直接绘制剪力图和弯矩图.,材料力学,在梁的某一段内若无载荷作用，即q(x)=0
16、，则剪力与x轴无关，剪力图是平行于x轴的直线，弯矩是x的一次函数，为斜直线。,2.在梁的某一段内若作用均布载荷，即q(x)=常数，则剪力是x轴的一次函数，为斜直线；弯矩为x轴的二次函数，为抛物线。,3.在梁的某一截面上，若剪力为0，则在这一截面上，弯矩有一极值。集中力作用处剪力有突变，弯矩图有尖角；集中力偶作用处，剪力无变化，弯矩图有突变。,4.两截面上的剪力之差，等于两截面间载荷图的面积；两截面上的弯矩之差，等于两截面间剪力图的面积。,载荷集度、剪力图和弯矩图的关系,材料力学,无荷载,集中力,F,C,集中力偶,M,C,水平直线,一般斜直线,在C处有尖角,一段梁上的外力情况,剪力图 的特征,弯
17、矩图 的特征,在C处有突变,在C处有突变,在C处无变化,根据载荷集度、剪力和弯矩的变化规律填空：,向下倾斜的直线,上凸的二次抛物线,向下的均布荷载,材料力学,弯曲内力/载荷集度、剪力和弯矩间的关系,练习一：外伸梁受力如图所示，试作梁的剪力图、弯矩图。,要求：不列剪力方程和弯矩方程，利用载荷集度、剪力和弯矩的关系绘图。,材料力学,1. 根据平衡条件求支座反力,弯曲内力/载荷集度、剪力和弯矩间的关系,材料力学,载荷,CA,DB,AD,斜直线,斜直线,水平线,水平线,斜直线,抛物线,q=常数,弯曲内力/载荷集度、剪力和弯矩间的关系,2. 判断各段的形状,材料力学,A,B,1m,1m,4m,F=3KN
18、,C,D,-3KN,4.2KN,-3.8KN,弯曲内力/载荷集度、剪力和弯矩间的关系,3.作剪力图,材料力学,A,B,1m,1m,4m,F=3KN,C,D,(-),-3KN,4.2KN,-3.8KN,(+),(-),-3KN.m,E,x,-2.2KN.m,3.8KN.m,弯曲内力/载荷集度、剪力和弯矩间的关系,4.作弯矩图,材料力学,练习二：外伸梁受力如图所示，试作梁的剪力图、弯矩图。,2.利用载荷集度、剪力和弯矩的关系绘图。,1.利用剪力方程和弯矩方程绘图；,要求：,材料力学,利用剪力方程和弯矩方程 绘图剪力图和弯矩图,要求一,材料力学,1.根据平衡条件求支座反力,材料力学,2.分段列剪力方
19、程和弯矩方程,AC段：,材料力学,CB段：,材料力学,BD段：,材料力学,A,B,2m,2m,4m,F=2KN,C,D,3.作剪力图和弯矩图,AC段：,CB段：,BD段：,材料力学,利用载荷集度、剪力和弯矩间的关系 绘图剪力图和弯矩图,要求二,材料力学,1.根据平衡条件求支座反力,材料力学,载荷,AC,BD,CB,抛物线,斜线,斜线,水平线,水平线,斜线,q=0,2. 分段，并判断各段的形状,材料力学,3.作剪力图和弯矩图,A,B,2m,2m,4m,C,D,F=2KN,材料力学,弯曲内力/载荷集度、剪力和弯矩间的关系,相似题目 课本126页例4.6,材料力学,加强题,材料力学,一静定组合梁受力如图所示。试作梁的剪力图和弯矩图（分析思路）。,材料力学,判断下列梁是否为超静定，如果是，为几次超静定。,材料力学,A,B,2m,3m,8m,C,D,3m,E,超静定,一次,材料力学,A,B,2m,3m,8m,C,D,3m,E,超静定,一次,
