1、1数列的前 n 项和的求法1.公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与 1 的关系，必要时需分类讨论.；常用公式：， ， .1123()2n 22()26 3332(1)12n例 1、已知 ，求 的前 n 项和.3logl3x nxx3解：由 21log32由等比数列求和公式得 （利用常用公式）nnxxS2 1n1)(2)(n2.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 例 2、 求数列的前 n 项和： ，31,7,412naa解：设 )2()()()112S nn将其每一项拆开再重新
2、组合得（分组）)374()1(2 aann当 a1 时， （分组求和）3(Sn2)当 时， )1(nan)13(1nan3.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 和公式的推导方法）.例 3、求 的值 89sini3sin2i1sin 222 解：设 . 2S将式右边反序得 （反序） 1iii8i9i 2222又因为 cos),90cos(xxx+得 （反序相加）89 )89cos(sin)in1(sin 222222 S S44.54.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个
3、等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前 和公式的推导方法）.例 4、 求和： 132)2(753nn xx解：由题可知， 的通项是等差数列2n1的通项与等比数列 的通项之积1)(n 1nx设 . （设制错位）nnxxS1422得 （错位相减 ）nnn xxxSx )12(221)( 143 再利用等比数列的求和公式得： nS1)( 21)()(xnn例 5、求数列 前 n 项的和.,264,3解：由题可知， 的通项是等差数列2n的通项与等比数列 的通项之积n n21设 nnS32 （设制错位）14261得 （错位相减 ）1432)21( nnS1n 14nn5.裂项相消
4、法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ； ；1()n1()()knk ， ；21(kk 211()kk ； ；()2()1(2)nnn()!nn .1 1)1例 6、 求数列 的前 n 项和.,32,n解：设 （裂项）nan 1则 （裂项求和）1321nS )()()( n例 7、 在数列a n中， ，又 ，求数列b n的前 n 项的和.11nan 12nnab解： 221 （裂项）)1(8nnb 数列b n的前 n 项和3（裂项求和）)1()413()21()(8 nSn 8n6.通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在
5、特征，再运用分组求和法求和。例 8 、求 之和.11个n解：由于 （找通项及特征）)0(991 kkk个个 1个n （分组求和）)1()()0()(9321 n 193 个nn 910)(9n 8n7、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 Sn.例 9、 求 cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.2014 年全国高考数学试题分类汇编（数列）1.【2014全国卷（文 5） 】等差数列 的公差为 2，若 ， ， 成等比数列，则 的前 n 项naa48a和 =nS（A） （B）
6、（C） (D) 11n11n【答案】A2.【2014全国大纲卷（理 10） 】等比数列 中， ，则数列 的前 8 项和等于 na452,algna（ ）A6 B5 C4 D3【答案】C3.【2014全国大纲卷（文 8） 】设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S2=3，S 4=15，则 S6=( )A. 31 B. 32 C. 63 D. 64【答案】C44.【2014北京卷（理 5） 】设 是公比为 的等比数列，则 是 为递增数列的（ ）naq“1q“na充分且不必要条件 必要且不充分条件 .A.B充分必要条件 既不充分也不必要条件CD【答案】D5.【2014天津卷（文 5） 】设 是
7、首项为 ，公差为-1 的等差数列， 为其前 项和.若 成na1 nS124,S等比数列，则 （ ）1a=（A）2 （B）-2 （C） （D）22【答案】D.6.【2014福建卷（理 3） 】等差数列 的前 项和 ，若 ，则 ( )nanS13,2aS6a.8.1014【答案】C7.【2014辽宁卷（文 9） 】设等差数列 的公差为 d，若数列 为递减数列，则（ ）n 1naA B C D dd10ad10a【答案】D8.【2014陕西卷（理文 4） 】根据右边框图，对大于 2 的整数 ，N得出数列的通项公式是（ ）.2na(1)B.nC12Da【答案】C9.【2014重庆卷（理 2） 】对任意
8、等比数列 ,下列说法一定正确的是（ na ）成等比数列 成等比数列139.,A236.,B成等比数列 成等比数列248a9D【答案】D10.【2014重庆卷（文 2） 】在等差数列 na中, 1352,10a，则 7（ ）.5.B .10C .4 【答案】B11.【2014全国卷（文 16） 】数列 n满足 1n= n， 2a=2，则 1=_.【答案】 2112.【2014安徽卷（理 12） 】数列 an是等差数列，若 1a， 3， 5a构成公比为 q的等比数列，则 q_.【答案】 。113.【2014北京卷（理 12） 】若等差数列 满足 ， ，则当 _时n7890710n的前 项和最大.n
9、a【答案】8514.【2014天津卷（理 11） 】设 是首项为 ，公差为-1 的等差数列， 为其前 项和.若na1 nS成等比数列，则 的值为_.124,S1【答案】 -15.【2014江西卷（文 13） 】在等差数列 中， ，公差为 ，前 项和为 ，当且仅当na17dnnS时 取最大值，则 的取值范围_.8nnSd【答案】 71816.【2014广东卷（理 13） 】若等比数列 na的各项均为正数，且 512910ea，则1220lnlnaa。【答案】5017.【2014广东卷（文 13） 】等比数列 的各项均为正数且 ，则n154a .212232425loglloglloga【答案】5
10、18.【2014全国卷（理 17） 】已知数列 的前 项和为 ， =1， ， ，其nnS10n1nnaS中 为常数.()证明： ；2na（）是否存在 ，使得 为等差数列？并说明理由 .na【解析】：()由题设 ， ，两式相减1S121nnaS，由于 ，所以 6 分12nna0n（）由题设 =1， ，可得 ，由() 知121a2131a假设 为等差数列，则 成等差数列， ，解得 ；n 3, 324证明 时， 为等差数列：由 知4n24na数列奇数项构成的数列 是首项为 1，公差为 4 的等差数列21m 213ma令 则 ，21,nn()数列偶数项构成的数列 是首项为 3，公差为 4 的等差数列2
11、ma24ma令 则 ，2,nn1n(2) （ ） ，1a*Nna因此，存在存在 ，使得 为等差数列. 12 分419.【2014全国卷（文 17） 】已知 是递增的等差数列， ， 是方程 的根。n 2a42560x（I）求 的通项公式；na6（II）求数列 的前 项和.2na【解析】：（I）方程 的两根为 2,3,由题意得 ， ，设数列 的公差为 2560x2a43nad,，则 ，故 d= ，从而 ，42ad1132a所以 的通项公式为： 6 分nn()设求数列 的前 项和为S n,由()知 ，2n12n则： 34152nS两式相减得521n34121232 4n n nn所以 12 分1nS
12、20.【2014全国卷（理 17） 】已知数列 满足 =1， .na113na（）证明 是等比数列，并求 的通项公式；2na（）证明： .132na+【解析】（1） 的 等 比 数 列 。公 比 为是 首 项 为 3,2121).(3a*N.,n11=+=+ann(2)由（1）知 ，故 ，nn-1nna，当 时， ；1a-113na所以 ，12-1123 31-32nnnn （ ）故 123naa21.【2014全国大纲卷（理 18） 】等差数列 的前 n 项和为 ，已知 ， 为整数，且 .anS10a24nS（I）求 的通项公式；n（II）设 ，求数列 的前 n 项和 .1nbabT7【解析
13、】 （I）由 ， 为整数知，等差数列 的公差 为整数又 ，故10a2nad4nS于是 ，解得 ，因此 ，故数列 的通项450,a3,104d10532-3d=-na公式为 （II） ，于是13n=-nbnn12111170470330013nnTb nn 22.【2014全国大纲卷（文 17） 】数列a n满足 a1=1，a 2=2，a n+2=2an+1-an+2.（1）设 bn=an+1-an，证明b n是等差数列；（2）求数列a n的通项公式 .【解析】 （1）由 an+2=2an+1-an+2 得 an+2- an+1=an+1-an+2，即 bn+1=bn+2,又 b1=a2-a1=
14、1.所以b n是首项为 1，公差为 2 的等差数列；（1） 由（1）得 bn=1+2（n-1） ，即 an+1-an=2n-1.于是 11()()kka于是 an-a1=n2-2n，即 an=n2-2n +1+a1.又 a1=1，所以a n的通项公式为 an=n2-2n +2.23.【2014山东卷（理 19） 】已知等差数列 的公差为 2，前 项和为 ，且 ， ， 成等比数S124S列。（I）求数列 的通项公式；n（II）令 = 求数列 的前 项和 。b,4)1(1nanbnT【解析】 （I） ,64,2,211daSdSd4421,S成 等 比解得 an（II） )12()(11nabn
15、)12()123(753( nnTn 为 偶 数 时 ，当 21n )()()1()()1n 为 奇 数 时 ，当 Tn为 奇 数为 偶 数n,12,24.【2014安徽卷（文 18） 】数列 满足 .na *11,()(1),nnaN()证明：数列 是等差数列；na8123+11+3()2nnnS()设 ，求数列 的前 项和 .3nbanbnS【解析】 （）证：由已知可得 ，即1a1na所以 是以 为首项，1 为公差的等差数列。n（）解：由（）得 ，所以 ，从而(1)nan2na3nb 1233n 243-S （ ） 得： 所以+1(2)34nnS25.【2014北京卷（文 15） 】已知
16、是等差数列，满足 ， ，数列 满足 ，na13a42nb14，且 是等比数列.40bna（1）求数列 和 的通项公式；b（2）求数列 的前 项和.n【解析】 （I）设等差数列 的公差为 ，由题意得： ，nad4123ad所以 ，1()3(1,2)nadL设等比数列 的公比为 ，由题意得： ，解得 .nbq341083bqa2q所以 ，从而 .11()2nna2(,)nnL（II）由（1）知， ，3(,)nL数列 的前 n 项和为 ，数列 的前 n 项和为 ，31)21n12n所以数列 的前 n 项和为 .b3(2n26.【2014福建卷（文 17） 】在等比数列 中， .a253,81a（）求
17、 ；na（）设 ，求数列 的前 项和 .3lognbnbnS9【解析】(1)设 的公比为 q，依题意得na，解得 ，1438q13因此， .n（2）因为 ，3logba所以数列 的前 n 项和 .21()nnbS27.【2014江西卷（理文 17） 】已知首项都是 1 的两个数列 （ ） ，满足.(1) 令 ，求数列 的通项公式；(2) 若 ，求数列 的前 n 项和 .【解析】 （1）因为 ，所以112,nnacb所以数列 是以首项 ，公差 的等差数列，故n12d21.nc（2）由 知13 1()3nnacb于是数列 前 n 项和0 1()3nS123()nnS相减得1213(2)(2)nnn 所以 ().28.【2014江西卷（文 16） 】已知数列 的前 项和 .naNnSn，23（1）求数列 的通项公式；na（2）证明：对任意 ，都有 ，使得 成等比数列.1Nmmna，1【解析】 （1）当 时S当 时 2n221332nna n检验 当 时 ，1na（2）使 成等比数列. 则 ， ，mn，1 21m=23n=即满足 ，所以223964则对任意 ，都有34nN所以对任意 ，都有 ，使得 成等比数列.1nmna，110
