1、第八章复数,高考数学,1.如果两个复数的实部和虚部分别相等这两个复数相等.即如果a、b、c、dR,那么a+bi=c+dia=c且b=d.2.3.复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行.加减法:(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i.,知识清单,乘法:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.除法:=(c+di0).4.复数的加法、乘法满足交换律、结合律及乘法对加减法的分配律,实数的正整数指数幂运算也能推广到复数集中,即zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=(m、nN*).5.i、常用的性质(1)i4k=1,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3
2、=-i,其中kN*.(2)(1i)2=2i;=i;=-i;in+in+1+in+2+in+3=0(nN*).(3)=-+i,则3=1,n+n+1+n+2=0(nN*).,6.复数z=a+bi(a,bR)的模,也就是向量的模,即有向线段的长度,计算公式|a+bi|=.当b=0时,复数a+bi就是实数.由上面的公式,有|a|=,这与实数的绝对值及算术平方根的规定一致,可见,复数的模就是实数的绝对值概念的扩充.7.共轭复数及其运算性质z=a+bi与=a-bi互为共轭复数,且z+=2a,z-=2bi,z=|z|2=|2,它的运算性质有=,=,=(z20).8.设z=a+bi,则|z|=r=且有(1)|
3、z1|-|z2|z1z2|z1|+|z2|;,(2)|z|2=z;(3)|z|=1z=1;(4)|z|2=|2=|z2|=| 2|=z.9.复平面内的两点间距离公式:d=|z1-z2|,其中z1、z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数,d为Z1和Z2间的距离.,复数的几何意义对于复数的代数形式a+bi(a,bR),a、b分别对应复平面上点的横坐标、纵坐标,复数z=a+bi(a,bR)还可以与复平面内以原点为起点的向量一一对应.因此,可根据需要把复数转化为复平面内的点或向量,借用“数形结合”可快速解决有关复数的几何意义的题目.例1(1)已知复数z的共轭复数=1+2i(i为虚数单位),则z在复
4、平面内对应的点位于第象限.(2)设i是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于第象限.,方法技巧,解析(1)由条件知:z=1-2i,其在复平面内对应的点为(1,-2),在第四象限.(2)=-1+i,复数在复平面内所对应的点是(-1,1),它位于第二象限.,答案(1)四(2)二,求解有关复数方程的常用方法1.化虚为实法:将复数问题等价转化为实数问题来求解.如设复数z=x+yi(x,yR,且y0),从而利用复数相等的条件将复数z的问题转化为有关x,y的实数问题来求解.复数问题实数化是解决复数问题最基本、最重要的思想方法.2.求根公式法:有关求一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,cR,且a0)的根的问题.其求解思路是先求判别式=b2-4ac,若0,则其根为x=,若0,则其根为x=.3.根与系数关系式法:一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,cR,且a0)的根x1,x2(实根或虚根)满足关系式x1+x2=-,x1x2=.,例2若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则b=,c=.,解题导引若虚数1+i是方程x2+bx+c=0的根,则1-i也是方程x2+bx+c=0的根,利用根与系数的关系,即可求出b,c的值.,解析因为1+i是实系数方程x2+bx+c=0的一个虚根,所以1-i也是此方程的根,则解得,答案-2;3,
