1、1 5.4 离散时间系统状态稳定性及判别法1. 离散时间系统的平衡状态(点)设(5.17)01)(),12,xkAxk称 的 为(5.17)的平衡状态( 点).e0e当 A 奇异时, 有无数个平衡状态.2. 平衡状态(点) 的稳定性(1)稳定： ,使当 时,有,0ex0；ekk(),2(2)渐近稳定： ,使当 时,有0ex0；klim()(3)全局渐近稳定：任意 ,都有 ；n0Rekxli()0(4)不稳定： , 无论 多小正数, 总有 , 使01exk10()对定常系统, 渐近稳定全局一致渐近稳定.3.稳定性判别对定常系统 ()()A3若 稳定(渐近稳定)，则其它 也稳定(渐近稳定) ；0e
2、xex若 渐近稳定，则 必为一致全局渐近稳定；ee简单介绍 稳定性条件0ex设(5.17)的解 kAx0(),12则渐近稳定 ( ), kkx0limli04 kAlim0kTJ1li0kJlimA 的所有特征值的模全小于 1A 的所有特征值都位于复平面上的单位圆内.其中 J 为 A 的若当形.如11kk krrJ且再如512110100kkk CJA 的所有特征值的模全小于 1A 的所有特征值都位于复平面上的单位圆内.例 设 A 有互不相同特征值 , 则 T, 使n12,6kkk kn nATTT1 12- -12 由此可得 ki i|1,2,lm0,12, .kAi定理 5.12 系统为(
3、5.17)的稳定性判定如下：(i) 稳定A 所有特征值的模全 s 小于 1 或等于0ex71, 且模等于 1 的特征值对应的约当块是一阶的；(ii) 渐近稳定A 的所有特征值模全小于 1.0ex对一般非线性系统(5.18)kFxk()(),0,12在 (设 )的稳定性判定方法有e定理 5.13 对(5.18), 若 的标量函数 ,满足(Vxk()(i) 为正定；Vxk()8(ii) 负定；VxkVxk()(1)()(iii) 当 时,有 .| 则 全局渐近稳定的.e0若无(iii), 则 是渐近稳定的；e再若(ii)中 为半负定, 则 仅是 稳定的.xk()ex0定理用于定常系统(5.17),
4、 即得定理 5.14 线性定常离散(5.17)的 为渐近稳定e对 Q 0, 李雅普诺夫方程 TAP9有唯一正定解 P证只证充分性, 即已有对Q 0, 有唯一解 , TAQ0P令 , 则有kkVx()TTkkVxx11)(,TkP显见 为负定, 故 渐近稳定.(e0例 5.6 设10axkxkb0(1)()试分析稳定的条件.解 选 Q = I, 则有 , 即TAPI ppaabb12120010整理且比较, 得 ,1)1(,0)1(,1)1( 2222 bpabpap要 P 为正定, 需满足11, (5.19)ab|1,|解出,ppb112221,0, 一致全局渐近稳定.ex0实质上： 所有特征值的模全小于 1.ab|,|
