1、 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值（注意定义域）2axy（ 轴）0xy（0,0） 当 x=0 时 y 最值 =0k（ 轴） (0, )k当 x=0 时 y 最值 =k2hxy hx( ,0)h当 x=-h 时 y 最值 =0ka( , )k当 x=-h 时 y 最值 =kcbxy2 abx2( )abc42， 当 时用代入、abx2公式或配方21a当 时0a开口向上当 时开口向下 1采用代入法或配方、公式当 时采用1代入法或配方、公式定义二次函数知识点框架图像与性质图像与性质2axy图像与性质k2图像与性 质2hxay图像与性质k2图像与性质cbxay2图像与性质21二次函数的应用
2、二次函数与方程、不等式反比例函数常用解题方法：1. 抛物线 中， 的作用cbxay2a,2. 求抛物线的顶点、对称轴3.二次函数最值的求法4.图像画法5.用待定系数法求二次函数的解析式6.直线与抛物线的交点7、二次函数图像对称8、构造二次函数解方程1.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法： ，顶点是abcxacbaxy4222 ，对称轴是直线 .），（ cb422（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，khxay2得到顶点为( , )，对称轴是直线 .hkhx（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对
3、称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.2.抛物线 中， 的作用cbxay2a,（1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.2axy（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴cbxay2是直线 ，故： 时，对称轴为 轴； （即 、 同号）abx200时，对称轴在 轴左侧； （即 、 异号）时，对称轴在 轴右侧.即ybaby“左同右异” 。（3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.ccx2y当 时， ，抛物线 与 轴有且只有一个交点（0，0xcybay）： ，抛物线经过原点; ,与 轴交于正半轴； ,与 轴0cy0
4、cy交于负半轴.3.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一cbxay2 xy般式.（2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.kh2（3）两根式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式：x1x2.21xay4.直线与抛物线的交点（1） 轴与抛物线 得交点为(0, ).cbxay2c（2）与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( ,hbxay2 h).cbha2（3）抛物线与 轴的交点x二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对cy2x1x2应一元二次方程 的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可0bxa以由
5、对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 抛物线与 轴相交；x有一个交点（顶点在 轴上） 抛物线与 轴相切；x没有交点 抛物线与 轴相离.0（4）平行于 轴的直线与抛物线的交点x同（3）一样可能有 0个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数kkcbxa根.（5）一次函数 的图像 与二次函数 的0nkxyl 02ay图像 的交点，由方程组 的解的数目来确定：方程组Gcbxaynk2有两组不同的解时 与 有两个交点; 方程组只有一组解时 与lGl只有一个交点；方程组无解时 与 没有交点.l（6）抛物线与 轴两交点之间的距离：若
6、抛物线 与 轴两交点x cbxay2为 ，由于 、 是方程 的两个根，故021， BA1x20xacbx12, acbaxx 4422212121215、二次函数图像对称关于 轴对称x关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 2yabcx 2yaxbc关于 轴对称后，得到的解析式是 ；xhk hk关于 轴对称y关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 2abcy 2yaxbc关于 轴对称后，得到的解析式是 ；yxhk hk关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是 ；2abc 2yaxbc关于原点对称后，得到的解析式是 ；yxhk hk6、构造二次函数解方程反比例函数 1、反比例函数的概念一般地，函数 （
7、k 是常数，k 0）叫做反比例函数。反比例函xy数的解析式也可以写成 的形式。自变量 x 的取值范围是 x 0 的一1 切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量 x 0，函数 y 0，所以，它的图像与 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。3、反比例函数的性质4、反比例函数解析式的确定确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数 中，只xky有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出 k 的值，从而确定其解析式。5、反比例函数中反比例系数的几何意义如下图，过反比例函数 图像上任一点 P 作 x 轴、y 轴的)0(kxy垂线 PM，PN，则所得的矩形 PMON 的面积 S=PM PN= 。 。kSxyk,
