1、 1 1 频率与概率 1 2 生活中的概率 1在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象，在一条件下，某一种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象叫 _；对于某个现象，如果能让条件实现一次就是进行了一次试验，而试验的每一种可能结果，都是一个 _.事件有 _， _， _. 2在相同的条件下重复 n次试验，观察某一事件 A是否出现，称 n次试验中事件 A出现的次数 m为事件 A出现的频数，事件 A出现的比例 f(A) 为事件 A出现的 _；在大量重复试验的情况下，事件 A发生的频率会在某个 “ 常数 ” 附近摆动并趋于稳定，我们常用这个较稳定的常
2、数来刻画该随机事件发生的可能性的大小，即频率的近似值稳定在某个常数上，把这个常数记作 P(A)，称为事件 A的 _. 参考答案 随机现象 事件 必然事件 不可能事件 随机事件 频率 概率 1随机事件的概率 (1)随机事件的概念 必然事件：我们把在条件 S下，一定会发生的事件，叫作相对于条件 S的必然事件，简称必然事件 例如 “ 导体通电时发热 ”“ 抛一石块，下落 ”“ 在一定条件下，发芽种子一定会分蘖 ” 等都是必然事件 不可能事件：在条件 S下，一定不会发生的事件，叫作相对于条件 S的不可能事件，简称不可能事件 例如 “ 在标准大气压下且温度低于 0时，冰融化 ”“ 在常温常压下，铁熔化
3、”“ 发芽的种子不分蘖 ” 等都是不可能事件 确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件 S的确定事件，简称为确定事件 随机事件：在条件 S下可能发生也可能不发生的事件，叫作相对于条件 S的随机事件，简称随机事件 例如 “ 李强射击一次，不中靶 ”“ 掷一枚硬币，出现反面 ”“ 在一定条件下，一粒发芽种子会分多少蘖， 1支、 2支、还是 3支， ” 都是随机事件 事件及其表示方法：确定事件和随机事件，一般用大写字母 A、 B、 C、 表示 (2)随机试验 对于随机事件，知道它发生的可能性大小是非常重要的，要了解随机事件发生的可能性大小，最直接的方法就是试验 一个试验如果满足下述条件： 试验
4、可以在相同的情形下重复进行； 试验的所有结果是明确可知的，但不止一个； 每次试验总是出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一个结果 像这样的试验是一个随机试验 如掷硬币这个试验，试验可以重复进行，每掷一次，就是进行了一次试验，但试验结果 “ 正面向上 ”“ 反面向上 ” 是明确可知的，每次试验之前不能确定出现哪个结果，但一定会出现这两种结果中的一个 ( 3 ) 随机事件的概率 频数与频率 ： 在相同条件下重复进行 n 次试验 ， 观察某一事件 A 是否出现 ， 称 n 次试验中事件 A 出现的次数nA为事件 A 出现的频数 ， 称事件 A 出现的比例 fn( A )
5、nAn为事件 A 出现的频率 由于 A 发生的次数至少为 0 ， 至多为 n ， 因此频率总在 0 到 1 之间 ， 即 0 nAn 1. 概率及其记法：对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作 P(A)，称为事件 A的概率，简称为 A的概率 例如 在相同条件下做抛掷硬币试验 ， 若抛掷 100次 ， 记正面向上这一事件为 A ， 此次试验中 ， 出现正面向上的次数为 47 次 ， 则 nA 47 ， fn( A ) 47100 0.47. 一般来说，随机事件 A在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验中，随着试
6、验次数的增加，事件 A发生的频率会逐渐稳定在区间 0,1中的某个常数上，这个常数可以用来度量事件 A发生的可能性的大小，定义为概率 (4)正确理解有关概念 正确理解 “ 频率 ” 与 “ 概率 ” 之间的关系 随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小我们给这个常数取一个名字，叫作这个随机事件的概率概率可看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率 要辩证地看待 “ 必然事件 ”“ 不可能事件 ”“ 随机事件 ” 及其
7、“ 概率 ” 一个随机事件的发生，既有随机性 (对单次试验来说 )，又存在着统计规律性 (对大量重复试验来说 )，这是偶然性和必然性的对立统一 就概率的统计定义而言，必然事件 U的概率为 1， P(U) 1；不可能事件 V的概率为 0，P(V) 0；而任意事件 A的概率满足0P(A)1.从这个意义上讲，必然事件和不可能事件可看作随机事件的两个极端情况由此看来，它们虽然是两类不同的事件，但在一定情况下又可以统一起来，这正说明了二者既对立又统一的辩证关系 2概率的意义 (1)概率的正确理解 抛掷硬币的结果出现正、反的概率都为0.5，则连续抛掷两次质地均匀的硬币，不一定出现 “ 一次正面向上，一次反
8、面向上 ” ，它可能 “ 两次正面都向上 ”“ 两次反面都向上 ”“ 一次正面向上，一次反面向上 ” 因为随机事件的发生有其随机性 随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性 例如 做连续抛掷两枚硬币的试验 100次，可以预见： “ 两个正面向上 ” 大约出现 25次； “ 两个反面向上 ” 大约出现 25次；“ 正面向上，反面向上各一个 ” 大约出现50次 若某种彩票的中奖概率为 ，那么买 1 000张这种彩票不一定能中奖，因为购买彩票是随机的，每张彩票可能中奖，也可能不中奖因此， 1 000张彩票中可能没有一张中奖，也可能有多张中奖 因为每张彩票中奖的概率为11 000，
9、则它不中奖的概率为9991 000.1 000 张彩票都不中奖的概率为9991 0001 0 0 0， 购买 1 0 00张彩票中奖的概率为 1 9991 0001 000 0.632 3 ， 任何一张都不中奖的概率为 1 0.632 3 0.367 7. 随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性认识了这种随机性中的规律性，就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性 (2)概率与生活 比赛中发球权的裁决、重大决策的选择、天气预报中的预测、各种试验结果的统计等，都涉及概率方面的知识，利用概率的统计与总结，可以使事情达到事半功倍的效果 3利用基本概念判断事件问题 (1)解决此类
10、问题必须明确基本概念的意义 (2)判断事件是必然事件、不可能事件还是随机事件，要在一定的前提条件下对所出现的某种结果进行判断 (3)此外还要注意实际情况及相应的综合知识，因为事件的背景相当丰富，涉及数学、物理、化学及日常生活中的许多知识，因此，对综合知识有一定的要求 (4)判断一个事件是哪类事件要看两点：一是看条件，二是看结果发生与否，在一定条件下事件发生与否是对应于这个条件而言的特别需要指出的是：对于一个事件，如果叙述不明确，则容易导致不同的理解 (5)随机事件、不可能事件、必然事件的概念判断问题的求解，主要依据是三类事件的概念，判断的关键是弄清事件的条件与结果 4 随机事件概率的求法 估算
11、法 (1)利用随机事件概率的定义，进行大量重复试验，寻找这个事件发生频率的近似值 (2)一般是先求出频率，根据频率的摆动情况估算出其概率 (3)如何正确理解随机事件 A发生概率与频率的关系？ 随机事件 A的概率是通过在相同条件下，大量重复进行同一试验，随机事件 A发生的频率的稳定值而得到的，一定要注意“ 在相同的条件下 ” 这一条件，如果条件发生了改变，事件也可能发生变化，从而事件发生的概率也会随之改变频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，例如一辆汽车在一年内出交通事故的概率是未知的，保险公司收取汽车的保险费应与此概率有关，一般以当地交通部门的统计数据为依据，得到该事件
12、发生的频率作为一年内出交通事故的概率的估计值 频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同，而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关又如：如果一枚硬币是均匀的，全班每人做了 10次抛币试验，得到正面朝上的频率可以是不同的，但抛硬币出现正面朝上的概率就是0.5，与做多少次试验无关 (4)在解决这类问题时，频率的计算公式是一个比值的形式试验次数越多，得到的频率值越接近于概率 (5)概率意义上的 “ 可能性 ” 是大量随机事件的客观规律，与我们日常所说的 “ 可能 ”“ 估计 ” 是不同的，也就是说，单独一次结果的不确定性与积累结果的有规律性，才是概率意义
13、上的 “ 可能性 ” ，事件A的概率是事件 A的本质属性 5 利用随机事件的概率解决实际问题 (1)“ 摸彩 ” 这种赌博是一种 “ 机会游戏 ” ，它不过是数学中 “ 概率论 ” 这门学科的低级表现形式而已，并不是什么新鲜玩意，事实上， “ 概率论 ” 就起源于 17世纪中叶风行欧洲的赌博活动，因而有人把概率学讥讽为 “ 赌徒之学 ” (2)现在人们热衷的 “ 体彩 ”“ 足彩 ”“ 福彩 ” 问题均可借助随机事件的概率来探讨其中奖率 (3)解决这类实际应用问题关键是将其转化为概率模型求解 (4)生活中实际问题的再认识 有人说，既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为 0.5，那么连续两次抛掷一枚质
14、地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上你认为这种想法正确吗？ 尽管每次抛掷硬币的结果出现正、反的概率都是 0.5，但连续两次抛掷硬币的结果不一定恰好是正面朝上、反面朝上各一次每个同学都连续抛掷两次硬币，统计全班同学的试验结果，可以发现有三种可能的结果： “ 两次正面朝上 ”“ 两次反面朝上 ”“ 一次正面朝上，一次反面朝上 ” 这正体现了随机事件发生的随机性 在一场乒乓球比赛前，要决定由谁先发球，你注意到裁判是怎样确定发球权的吗？这样的处理方法公平吗？ 下面就是常用的一种方法：裁判员拿出一个抽签器，它是一个像大硬币似的均匀塑料圆板，一面是红圈，一面是绿圈，然后随意指定一名运动员，要他猜
15、上抛的抽签器落到球台上时，是红圈那面朝上还是绿圈那面朝上如果他猜对了，就由他先发球，否则，由另一方先发球为什么要这样做呢？ 这样做体现了公平性，它使得两名运动员的先发球机会是等可能的用概率的语言描述，就是两个运动员取得发球权的概率都是 0.5.这是因为抽签器上抛后，红圈朝上和绿圈朝上的概率都是 0.5，因此任何一名运动员猜中的概率都是 0.5，也就是每个运动员取得发球权的概率均为 0.5，所以这个规则是公平的 (5)注意观察分析数据总数和某事件包含的数据个数，计算出概率，有时需要对试验可能出现的结果进行预测 题型一 随机现象的判断 【 例 1】 判断下列哪些是随机现象 (1)早晨，太阳从东方升
16、起； (2)某电话交换台在单位时间内收到用户呼唤的次数； (3)检查流水线上一件产品，是合格品还是不合格品； 分析： 理解随机现象及其特点 解： (1)是必然现象，早晨太阳必然从东方升起 (2)是随机现象，在单位时间内收到的呼唤次数可以是 0次， 1次，也可以是 2次， 3次， ，但是在这个时间之前，我们无法预料是哪一种结果，因而是一种随机现象 (3)是随机现象，每次试验即检查一件产品有两种可能的结果，合格和不合格，但在检查之前，我们无法预料是哪一种结果，因而是一种随机现象 评析： 随机现象具有这样的特点：当在相同条件下多次观察同一现象，每次观察到的结果不一定相同，事先很难预料哪一种结果会出现
