1、1 专题限时集训(十一) 直线与圆 (对应学生用书第99页) (限时：40分钟) 题型1 圆的方程 1,3,11,13 题型2 直线与圆、圆与圆的位置关系 2,4,5,6,7,8,9,10,12,14 一、选择题 1(2017豫北名校4月联考)圆(x2) 2 y 2 4关于直线y x对称的圆的方程是( ) 3 3 A(x ) 2 (y1) 2 4 3 B(x ) 2 (y ) 2 4 2 2 Cx 2 (y2) 2 4 D(x1) 2 (y ) 2 4 3 D 设圆(x2) 2 y 2 4的圆心(2,0)关于直线y x对称的点的坐标为(a，b)， 3 3 则有Error!解得a1，b ，从而所
2、求圆的方程为(x1) 2 (y ) 2 4.故选D. 3 3 2(2017陕西教学质量检测(一)圆：x 2 y 2 2x2y10上的点到直线xy2距离 的最大值是( ) A1 B2 2 C1 D22 2 2 2 A 将圆的方程化为(x1) 2 (y1) 2 1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心 到直线xy2的距离d ，故圆上的点到直线xy2距离的最大 |112| 2 2 值为d1 1，选A. 2 3(2017福建厦门4月联考)若a ，则方程 2，0，1， 3 4 x 2 y 2 ax2ay2a 2 a10 表示的圆的个数为( ) 【导学号：07804083】 A0 B1 C2 D3 B
3、 方程x 2 y 2 ax2ay2a 2 a10表示圆的条件为a 2 4a 2 4(2a 2 a1) 0，即3a 2 4a40，解得2a .又a ，仅当a0时， 2 3 2，0，1， 3 4 方程x 2 y 2 ax2ay2a 2 a10表示圆，故选B. 4(2017湖北七市联考)已知圆C：(x1) 2 y 2 r 2 (r0)设条件p：0r3，条件2 q：圆C上至多有2个点到直线x y30的距离为1，则p是q的( ) 3 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 C 圆C：(x1) 2 y 2 r 2 的圆心(1,0)到直线x y30的距离d 3 2. |1 3
4、 03| 12 32 当0r1时，直线在圆外，圆上没有点到直线的距离为1； 当r1时，直线在圆外，圆上只有1个点到直线的距离为1； 当1r2时，直线在圆外，此时圆上有2个点到直线的距离为1； 当r2时，直线与圆相切，此时圆上有2个点到直线的距离为1； 当2r3时，直线与圆相交，此时圆上有2个点到直线的距离为1. 综上，当0r3时，圆C上至多有2个点到直线x y30的距离为1，由圆 3 C上至多有2个点到直线x y30的距离为1可得0r3，故p是q的充分 3 必要条件，故选C. 5(2017安徽芜湖六校联考)在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y2x4， 设圆C的半径为1，圆心在l
5、上若圆C上存在点M，使MA2MO，则圆心C的横坐标 a的取值范围是( ) A. B0,1 0， 12 5 C. D 1， 12 5 ( 0， 12 5 ) A 因为圆心在直线y2x4上， 所以圆C的方程为(xa) 2 y2(a2) 2 1. 设点M(x，y)，因为MA2MO，所以 2 ，化简得 x2y32 x2y2 x 2 y 2 2y30，即x 2 (y1) 2 4， 所以点M在以D(0，1)为圆心，2为半径的圆上 由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|21|CD21， 即1 3. a22a32 由 1得5a 2 12a80，解得aR； a22a32 由 3得5a 2
6、12a0，解得0a . a22a32 12 5 所以点C的横坐标a的取值范围为 .故选A. 0， 12 5 6(2017武汉4月模拟)已知圆C：(x1) 2 (y4) 2 10和点M(5，t)，若圆C上存在 两点A，B，使得MAMB，则实数t的取值范围为( )3 A2,6 B3,5 C2,6 D3,5 C 由题意，圆C上存在两点使MAMB，则 |CM| 2t6，故选C. 512t42 20 7(2017石家庄一模)若a，b是正数，直线2axby20被圆x 2 y 2 4截得的弦长 为2 ，则ta 取得最大值时a的值为( ) 3 12b2 A. B 1 2 3 2 C. D 3 4 3 4 D
7、因为圆心到直线的距离d ，则直线被圆截得的弦长L2 2 2 4a2b2 r2d2 2 ，所以4a 2 b 2 4.ta (2 a) 4 4 4a2b2 3 12b2 1 2 2 2 (2 a) 2 ( ) 2 8a 2 12(44a 2 ) ，当且 12b2 1 2 2 1 2 2 12b2 1 4 2 9 4 2 仅当Error!时等号成立，此时a ，故选D. 3 4 8(2017安徽淮北一模)已知直线 l 1 与圆C：(x1) 2 (y2) 2 4相交于不同的A，B两 点，对平面内任意的点Q都有 (1) .设P为直线l 2 ：3x4y40上 QC QA QB 的动点，则 的最小值为( )
8、PA PB 【导学号：07804084】 A21 B9 C5 D0 C 由 (1) 可知，A，B，C三点共线，即弦AB为圆C的直径又 QC QA QB 因为P为直线l 2 ：3x4y40上的动点，且 ( )( ) PA PB PC CA PC CB 2 2 2 4，故 的最小值为 2 4的最小值又因为圆心C(1,2)到 PC CB PC PA PB PC 直线l 2 ：3x4y40的距离为 3，故| | min 3，所以 的最小值 384 5 PC PA PB 为945.故选C. 二、填空题 9(2017湖南五市十校联考)已知直线l：mxy 0与圆(x1) 2 y 2 2相交，弦长 3 为2，
9、则m_.4由已知可得圆心(1,0)到直线的距离d ，所以 12， 3 3 | 3m| m21 ( | 3m| m21 ) 2解得m . 3 3 10(2016承德二模)一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3) 2 (y2) 2 1相切，则反射光线所在直线的斜率为_ 或 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，3)，设反射光 4 3 3 4 线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线方程为y3k(x2)，即 kxy2k30. 又因为光线与圆(x3) 2 (y2) 2 1相切，所以 1， |3k22k3| k21 整理得12k 2 25k120，解得k 或k . 4 3 3 4
10、 11(2016郑州二模)已知M的圆心在第一象限，过原点O被x轴截得的弦长为6，且与 直线3xy0相切，则圆M的标准方程为_ 10 法一：(几何性质法)设M的方程为(xa) 2 (yb) 2 r 2 (a0，b0，r0)， 由题意知Error! 解得Error! 故M的方程为(x3) 2 (y1) 2 10. 法二：(待定系数法)因为圆M过原点，故可设方程为x 2 y 2 DxEy0，又被x轴 截得的弦长为6且圆心在第一象限，则 3 2 ，故D6，与3xy0相切， ( D 2 ) 2则 ，即E D2，因此所求方程为x 2 y 2 6x2y0. E 2 D 2 1 3 1 3 故M的标准方程为(
11、x3) 2 (y1) 2 10. 12(2017广东五校联考)两圆x 2 y 2 2axa 2 40和x 2 y 2 4by14b 2 0恰有三 条公切线，若aR，bR且ab0，则 的最小值为_ 1 a2 1 b2 1 两圆x 2 y 2 2axa 2 40和x 2 y 2 4by14b 2 0配方得，(xa) 2 y 2 4，x 2 (y2b) 2 1，依题意得两圆相外切，故 123，即 a24b2 a 2 4b 2 9， 2 1， 1 a2 1 b2 ( a2 9 4b2 9 )( 1 a2 1 b2 ) 1 9 a2 9b2 4b2 9a2 4 9 5 9 a2 9b2 4b2 9a2
12、当且仅当 ，即a 2 2b 2 时等号成立，故 的最小值为1. a2 9b2 4b2 9a2 1 a2 1 b25 三、解答题 13(2017河北衡水中学调研)已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(1,0)， B(3,0)求： (1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程 解 (1)法一：(直接法)设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y0. 因为ACBC，所以k AC k BC 1，又k AC ，k BC ，所 y x1 y x3 以 1，化简得x 2 y 2 2x30. y x1 y x3 因此，直角顶点C的轨迹方程为x 2 y 2 2x30(y0) 法二：(
13、定义法)设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质 知|CD| |AB|2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆 1 2 (由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点) 所以直角顶点C的轨迹方程为(x1) 2 y 2 4(y0) (2)设M(x，y)，C(x 0 ，y 0 )，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得 x ，y ，所以 x03 2 y00 2 x 0 2x3，y 0 2y. 由(1)知，点C的轨迹方程为(x1) 2 y 2 4(y0)，将x 0 2x3，y 0 2y代入得 (2x4) 2 (2y) 2 4，即
14、(x2) 2 y 2 1. 因此动点M的轨迹方程为(x2) 2 y 2 1(y0) 14(2016湖南六校联考)已知直线l：4x3y100，半径为2的圆C与l相切，圆心 C在x轴上且在直线l的右上方 (1)求圆C的方程； (2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是 否存在定点N，使得x轴平分ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说 明理由. 【导学号：07804085】 解 (1)设圆心C(a,0) ，则 2a0或a5(舍) ( a 5 2 ) |4a10| 5 所以圆C：x 2 y 2 4. (2)存在当直线ABx轴时，x轴平分ANB.当直线AB的 斜率存在时，设直线AB的方程为yk(x1)(k0)， N(t,0)，A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )，6 由Error!得(k 2 1)x 2 2k 2 xk 2 40， 所以x 1 x 2 ，x 1 x 2 . 2k2 k21 k24 k21 若x轴平分ANB，则 k AN k BN 0 02x 1 x 2 (t1)(x 1 x 2 ) y1 x1t y2 x2t kx11 x1t kx21 x2t 2t0 2t0t4， 2k24 k21 2k2t1 k21 所以当点N为(4,0)时，x轴平分ANB.
