1、10.3 多元函数微分法1、偏导数我们已经看到，一元函数的导数（或导函数）是研究函数性质的极为重要的工具。同样，研究多元函数的性质也需要类似于一元函数倒数这样的概念。由于多元函数的自变量不止一个，情况比较复杂。不难想到，可讨论多元函数分别关于每一个自变量（其余的自变量暂时看作常数）的导数。这就是本段的偏导数。定义 设二元函数 在区域 D 有定义， （ ， ）是 D 的内点。 ),(yxfz2R0Px0y若 y = （常数） ，一元函数 在 可导，即极限0 00x（ + ）xyffx ),(),(lim00 0y),0存在，则称此极限是函数 z = 在 （ ， ）关于 的偏导数，记为),(f0P
2、x0x或 ,)()(0,0,xfzyyx).,(),(00 yfxx类似地，若 x = （常数） ，一元函数 在 可导，即极限),(0f0（ ， ）yxffy ),(),(lim000 0xDy)存在，则称次极限是函数 在 （ ， ）关于 y 的偏导数，记为),(yxfz0Px0或 ,)()(0,0,yfzxx).,(),(00 fyy若二元函数 在区域 D 的任意点（x，y）都存在关于 x（关于 y）的),(fz偏导数，则称函数 在区域 D 关于 x（关于 y）的偏导函数，也简称偏导x数，记为或 ,fz),(),(00 yxfzx.,(yf),(),(00 yxfzy一般情况，n 元实值函数
3、 在点 关于),(21nxfu nRxQ),(21的偏导数 定义为),21(nkxkQ.),(),( 110limknknkxQxxfxfkku由此可见，多元函数的偏导数就是多元函数分别关于每一个自变量的导数。因此，求多元函数的偏导数可按照一元函数的求导法则和求导公式进行。例 1 设 ，求 )0(xuy .,yu解 （y 看作常数） 。1x（x 看作常数） 。uln例 2 设 求 ,1)()(222czbyar .,zuyx解 由复合函数的求到法则，有 3 2222 )()()(1rax axrdu czby 同法可得， .,33rczurbyu例 3 理想气态方程是 （R 是不为 0 的常数
4、） ，证明：TPV.1证明 ,有RT(T 看作常数）.2V，有PTV(P 看作常数）.R，有T(V 看作常数） .RVP于是， .12RVPTV注 偏导数的符号 不能像一元函数那样看成是两个微分的商，否则会出现,错误.例如，上式三个偏导数的乘积 不等于 1 而是-1.TV二元函数 在点 （ ， ）的两个偏导数明显的几何意义：在空间直角坐),(yxf0Px0y标系中，设二元函数 的图像是一个),(fz曲面 S.函数 在点 （ ， ）关于 x 的偏导函数 ，就是一元函),(yxf0Px0y),(0yxf数 在 的导数.由已知的一元函数导数的几何意义，偏导数 就是平,(0fz ,0fx面上曲线0y，
5、01),(yxfzC在点 的切线斜率 ，如图 10.6.),(),(00fxQtan同样，偏导数 是平面 上曲线0yx0x，02),(fzC在点 的切线斜率 ，如图 10.6.),(),(00yxfyxQtanxyzoz fx,yP0PExTx如图 10.6.我们知道，若一元函数 在 可导，则 在 连续可导.)(xfy0)(xfy0但是，二元函数 在点 （ ， ）存在关于 x 和 y 的两个偏导数，),(yxf0Px0y ),(yxf在点 （ ， ）去不一定连续，这是因为 在点 （ ， ）存在于关于 x0P0 ),(f0P0的偏导数 ，只能得到一元函数 （即图 10.6 中曲线 ）在 连续.)
6、,(yxf 0yxz1C0同样，由 存在，只能得到一元函数 （即图 10.6 中曲线 ）在0y ),(f 2连续.由此可见，两个偏导数 与 只是过点 （ ， ）平行 x 轴0 ),(0yxf0yx0Px0y与平行 y 轴的两个特殊路线的变化率.而二元函数 在点 （ ， ） 连续),(f是与他在点 （ ， ）的邻域有关的概念，即不仅与过点 的平行 x 轴与平行 y 轴的0Px0y 0线段上点的函数值变化有关，而且也与点 的邻域内其他点上的函数值的变化有关,例如，0P函数,1),(2yxf .,xxfoff xxx )(limli 200 ),(),(),(.0x同样 于是，函数 在点（0，0）存
7、在两个偏导数.但是，沿着直线 y=0.)0,(yf ),(yf有，lim),(li200xfx沿着直线 ，有y，1li),(li00xxf即函数 在点（0，0）不存在极限.当然，函数 在点（0，0）不连续.),(yf ),(yxf2、全微分我们已知，一元函数 在 可微，有)(xfy0， 且 ，xfdy)(0 )(xody即微分 是 的线性函数，并且 与 之差比 是高阶无穷小.一元函数微分 推dy广到多元函数就是全微分.定义 若二院函数 在 （ ， ）的全改变量),(yxfz0Px0y),(0f可表为， （1）)(oyBxAz其中 ，A 与 B 是与 和 无关的常数，则)(22xy称二元函数 在
8、 （ ， ）可微， （1）式的线性主要部分 称为二元),(yxf0Px0y yBxA函数 在 （ ， ）的全微分，记为 ，即dz.yBxAdz由全微分的定义不难看到全微分的两个性质： 是 与 的线性函数； 与zxydz之差比 是高阶无穷小.z显然，若函数 在 （ ， ）可微，则函数 在 连续.),(yxf0Px0y),(f),(0yxp如果二元函数 在 可微，全微分（2）中的常数 A,B 与二元函数,p有什么关系呢？有下面可微的必要条件:),(yxf定理 1 （可微的必要条件） 若二元函数 在 可微，则二元函),(yxfz),(0yp数 在 存在两个偏导数，且全微分（ 2)中的 A 与 B 分
9、别是),(yxfz),(0ypAx证明 已知二元函数 在 可微，即),(yxfz),(0yp， oBxdz 22当 是，有0y.)(),()(0xoAyxfxf 用 除上式等号两端，在取极限 ，有xxyffyxfx ),(),(lim),( 0000= .AoAxli0同法可证 dyfdyfdzyx ),(),(00 与一元函数相同，规定自变量的改变量等于自变量的微分，即 .于是，二dyzx,元函数 在点 的全微分),(yxf),(0yxP或 .dydxdzffpp注 这里的 , 是自变量 x，y 无关的独立变量，可取任意值.y类似地，n 元值函数 在点 的全微分),(21nfu),(21nx
10、Q.ndxfdxxfd21我们已知，一元函数的可微与可导是等价的.由定理 1，二元函数可微一定存在两个偏导数；反之，二元函数存在两个偏导数去不一定可微.例如，函数 |),(xyf在原点（0，0）存在两个偏导数，有偏导数定义，有 0lim)0,(,lim)0,(0 xfffxx.li),(),(li),( 00 yyfffyy两个偏导数都存在，但是，他在原点（0，0）不可微.事实上，假设他在原点（0，0）可微，有 ),(),( yfxfdyx .|00yx)(22yx特地，取， ，有，|.|2xyxf .|2)()(22 x于是， .01|2|limli00 xdfx即 比 不是高阶无穷小 ，与
11、可微定义矛盾，于是，函数f )(在原点（0，0）不可微.|),(xyf二元函数 在 的全微分),(fz),(0yxpfyxdy0涉及函数 在点 邻域内所有的函数值，而偏导数 与),(f),( ),(0yxf仅涉及二元函数 在过点 的直线 与 上的函数值.,0yxf yxf ),(0yxp因此，仅仅两个偏导数 与 存在并不能保证函数 在点),(0x0fy ),(yxf可微，那么在什么条件下可保证结案数在点 可微呢？有下面可微的),(0yxp ),(0x充分条件.首先证明一个引理.引理 若二元函数 在点 的邻域 G 存在两个偏导数，则),(yxf),(0yxp，全改变量Gyx),(00 ),(),
12、( 00yxfyxfz，yyx ),21 其中 ， .012证明 显然，若点 ，则点 与Gyx),(00 ),(0yx，并且连接两点 与 或Gyx),(00 ),(0与 的线段也属于 G，如图 10.7.为此，将全变量 改写如),(00yx),(00yx z下形式:图 10.7 ),(),( 000 yxfyxfz),(),(00ff 上述等式右端第一个方括号内， 是常数，只是 x 由 变到 ；第y0x二个方括号内， 是常数，只是 y 由 变到 .根据一元函数的微分中值定理，0x0有 ),(),( 000xffz，yyyxx )21 其中 ， .102这个引理亦称二元函数的中值定理.它是用一元
13、函数处理这类二元函数（一般是 n 元函数）问题的常用方法.定理 2 （可微的充分条件） 若二元函数 在点 的邻域 G 存在两),(yxf),(0yxp个偏导数，且两个偏导数在点 连续，则二元函数 在点 可微.),(0yxpf),(0证明 .根据引理，将全变量 写为Gx,(00 z),()0yxfyfz，yxyx ),( 2010 其中 ， .102已知偏导数在点 连续，有),(0yxp， .),(,( 0010 fxf x 0lim， . ),02 yy 0从而，有 .),(),(00 yxxfxfzy 而 y0)(或.)(oyx于是， ),(),( 000 yxffz,oxyyx )即函数
14、在点 可微.),(f,(0p注 偏导数连续是函数可微的充分条件，而不是必要条件.例如，函数，0,01sin)(),( 222yxyxyf在原点（0，0）可微.事实上，易求 有.0),(.),( yxff0 df),(),(fyx2222 )(1sin yx21si.)(22yx从而， .01sinlmsinllim201200 df即函数 在原点（0，0）可微.),(yxf而两个偏导数 与 在原点（0，0）却间断.),(fx),(yxf事实上， 有,:,2y 222 1cos1sin),( yxyxxfx 特别的，当 时，极限y2200 1cossinlim),(li xxxfx不存在，即 在
15、原点间断.同法可证， 在原点（0,0) 也间断.,yfx ),(yf3、可微的几何意义已知一元函数 在 可微的几何意义是平行曲线 在点)(xfy0 )(xfy存在切线 .我们将要证明，二元函数 在点 可微的)(,00fyx ,z),0y几何意义是空间曲面 在点),(yxfz),(0)(,(00xfyx(xfz存在切平面.这里首先要回答，何谓切平面？切平面是切线在三维空间的推广.因此认识切平面还得从切线说起.我们曾经定义，曲线 C 在点 P 的切线 PT 是割线 PQ 的极限位置（当点 Q 沿曲线 C 无限趋近于点 P） ，如图 10.8.这是切线的定性定义.由此不难给出与它等价的定量定义.设曲
16、线 C 上动点 Q 到直线 PT 的距离 ，点 P 到 Q 的距离 .二MhPd者之比是 .点 Q 沿曲线 C 无限趋近于点 P，即 .显然，dhsin 0dPT 是曲线 C 在点 P 的切线 limsnli00dd将这个切线的定量定义推广到三维空间就是切平面的定义.定义 设有曲面 S，M 是 S 上一点， 是过点 M 的一个平面.曲面 S 上动点 Q 到平面 的距离 ，点 M 到点 Q 的距离 ，如图 10.9.当动点 Q 在曲面 SRQhd上以任意方式无限趋近于点 M，即 ，若 则称平面 是曲面 S 在点 M 的0.0limhd切平面，M 是切点.定理 3 二元函数 在点 可微 曲面 S：
17、 在点),(yxfz),(0yxp),(yxfz存在切平面 ：)(,(000yxM)(,)(, 00 yxfxyfzyx 证明 已知 在点 可微，即)()(0p,),0 oyxfyxfzy.(22设 ， ， ，上式可改写为0x0y0z，)()(,)(, 0 oyxfxfzyx 或 )()(,)(, 00000 fyfyx PTd图 10.8 PxyzO图 10.9 其中 .)()(2020yx曲面 S 上任意点 到平面 的距离 h，有空间解析几何知，,zQ),(),(1)0202 000 yxfyxfzhx.),(),(0202 yxfyxfo点 M 到 Q 的距离 202020 )()()(
18、 zyxd.z于是， ).0()()(11)( 0202 dyxfyxfophdy即曲面 是曲面 S： 在点 的切平面 .,z,zM易证.)(将切平面 的方程改写为 0)()(,)(, 0000 zyxfxyfyx或.),()1,(),( 0000 ffyx即切平面 上过点 的任意向量zMzyx都与常向量 垂直.),(),(00 yxffnx过切点 与切平面 垂直的直线为曲面 在点 M 的法线.因,0zy),(:yxfzS此常向量 就是法线的方向向量.从而，过点)1,(),(0 yxffx的法线方程是),(0zyM.1),(),( 000 zyxfyxf设 分别是法向量 n 与 x，y，z 轴
19、正向的夹角，则法向量, )1,(),(00 fyxfn的方向余弦是， ， ， （3）),(cos0yxf),(cos0yxf1cos其中 ， “ ”表示法向量两个不同的方向.)()(10202 ffyx例 4 求曲面 在点（2，1，4）的切平面方程和法线方程以及法向量z的方向余弦.解 ， ，xyfx),(yfy),(， .412 21切平面方程是 )(,)(, 00000 yxfxyfzyx 即.)4(12)(4zx或 .06zy法线方程是.1424x法向量的方向余弦（有两组）是.1， ， .2cos21cos21cos注 二元函数 在点 可微的几何意义是曲面 在点),(yxfz),(0yxp
20、 ),(:yxfzS存在切平面，它为我们认识可微和全微提供了直观的几何模),(000yx型.例如，锥面 在顶点（0，0，0）不存在切面，因此二元函数2yxz在点（0，0）不可微.2yxz4、复合函数微分法定理 4 若二元函数 在（x,y)可微，而 ， 在 t 可导，则),(yxfz)(tx)(y复合函数( 一元函数） 在 t 也可导，且t.dtyztxdtz证明 给自变量 t 一个改变量 ，相应有 与 ，从而又有 .由可微定义，有txyz，yxfyxfzy),(),(其中 .因为在 的过程中， 与 可能同时为.)220lim0txy0，即 .规定当 时 .00上面等式两端 除之，有t.tyxf
21、tyxfzy),(),(等号两端取极限 ，有0t .limli),(lim),(li 0000 ttyxftyxftz tttt ，lili 2200 ttttt 即.dtyztxdtz类似地，若函数 在 可微，而 在 t 可导),(21nxf ),(21nx )(xk（k=1，2，3， ，n） ，则复合函数 在 t 也可导，且(tfz， （6）tyztxtz（7）.syxs证明 将 s 看作常数，应用定理 4，得（6）式.将 t 看作常数，在应用定理 4，得（7）式.若果中间变量的个数和自变量的个数多于 2，并满足相应的条件，则有类似的结果.例如，若 在 可微，而 ， ，),(zyxfu),
22、(z),(stx),(sty在 都存在偏导数，则),(stz,t，tzutytxut .szysx例 5 设函数 ，而 ， ，求 .)0(ztxintycosdtz解 由公式（4） ，有 dtytxdt.lnsico)i(1xttyty例 6 设函数 ，而 求 .xz2dz解 dtytdt= 222 11xyxx= .yxxy221例 7 设函数 ，而 ， ，求)ln(z2stesty2.,szt解 由公式（6）与公式（7）有=dtytxdttyxxst122= ).(22teyxst=szsz yxseyxt221= .)14(122steyx例 8 设 ，求 ， ， .),(xyzfFFy
23、z解 设 ， ， ，有 ，并用 ， ， 分别代替 ，uxvw),(vu1f23fuf， .于是vfw=xFtztytxt .321zfyfywfvfu.32xzffzwfvzuF.3xyf例 9. 证明：若 而 则),(u,sin,coryrx.12222 yuxur证明： yxu .sincoyux .coiryurx于是， 221r22cossinsinco yuxyux.22例 10. 设 ，而 求),(zyxfu),(),(xzy.du解： 由公式（5） ，有.dxzfyfxd五、 方向导数设三元函数 在点 存在三个偏导数),(f ),(0yP,0zyx,0zxfy ).,(0.zxf
24、z它们只是过点 P 沿着平行于坐标轴的方向的变化率. 函数 在点 P 沿着),(zyxf任意方向的变化率，就是方向导数.从点 任作射线 .设 的方向余弦是 在射线),(00zyxl .cos,cs上任取一点 .设l ),0zy .)()(222zyxP如图 10.10，有P0Py xzloxyz.cos,cos,cos x图 10.10定义 在过点 的射线 上任取一点 ，),(00zyxPl ),(000zyxP设 .若极限 存在，则此极限是函数 在点)(lim0ff ,(fP 沿着射线 的方向导数，表为 或 ，即l Plf),(0zyxl= .Plf)i0ff定理 5. 若函数 在点 可微，
25、则函数 在点 P 沿着任),(zyxf ),(zyx),(zyxf意射线 的方向导数都存在，且l,cosscoszfyfxfl 其中 是射线 的方向余弦.,cosl证明： 由可微定义，有),(),()( zyxfzyxfPff ,ff其中 .在等号两端除以 ，并令 ，有0lim,)()(222 zyx 0 zfyfxfPff00lilim,cosscoszfyfxf即 .fffl 定理 5 指出，若函数 在点 P 可微，则在点 P 沿任意方向的方向导),(zyxf数都可用偏导数表示出来.如果用 表示在点 P 与射线 反向的射线，则 的方向余弦与 的方向余弦llll相差一个符号.因此，若函数 在
26、点 P 可微，则有),(zyxf.ll注 定理 5 的条件只是结论成立的充分条件，即函数 在点),(zyxf不可微，函数 在点 P 沿任意射线 的方向导数都可能存在.),(zyxP),(zyxf l例如，二元函数 在点 两个偏导数都不存在，当然不2)0,(可微.事实上，当 时，0xxff ),(),(不存在极限，即函数 在点 不存在关于 的偏导数.同法可证，它在点 也),(yf)0,( )0,(不存在关于 的偏导数.y可是函数 在点 沿任意射线 的方向导数都存在.2),(xf),(l设在点 沿任意射线 的方向余弦是 .在射线 上任取一点0l )cos,l，其中 是点 到原点的距离.根据方向导数的定义，)cos,(), yx),(yx有 ,1lim0cos,(lim0 fff即在点 沿任意射线 的方向导数都是 1.),0(l
