1、玉林师范学院本科生毕业论文弹簧质量对振动系统的影响The Influence of Spring Quality on Vibration System院 系 物理科学与工程技术学院 专 业 物理学 学 生 班 级 2009 级 2 班 姓 名 戴石贵 学 号 200905401240 指导教师单位 物理科学与工程技术学院 指导教师姓名 关小蓉 指导教师职称 副教授 弹簧质量对振动系统的影响物理学 2009 级 2 班 戴石贵指导教师 关小蓉摘要弹簧振子是物理学中的一个典型模型,弹簧振子是指忽略质量的轻弹簧系一物体所组成的系统。在实验中得到的弹簧振子的振动频率和理论结果存在着较大的差异,其中有
2、很多原因,但主要是由于弹簧的质量对振动有一定的影响。人们在讨论弹簧振子的振动情况时，往往忽略弹簧本身的质量，实际弹簧振子由质量为 、弹性系数0m为 的弹簧和连接于弹簧一端质量为 的振动物体组成，为解决实际弹簧振子弹簧k m质量对振动系统的影响问题，采用研究系统的能量方法，建立了有弹簧质量时系统的动能和势能公式，从不同角度定量的分析了弹簧质量对振动系统的周期之间的影响，该研究对实际振动系统的振动问题具有一定的参考价值和指导意义。由于弹簧本身有质量，这种弹簧振子不是理想的振子，它的振动周期与弹簧的质量有着密切的联系，当我们把这种影响仅归于质量因素时，振子的周期可以写成与弹簧有效质量有关的表达式，实
3、际上处理这类问题的方法有很多种，像四阶龙格库塔法、瑞利法、传递矩阵法、求解波动方程法、试探法求解微分方程、机械能守恒近似法、迭代法等等，本文主要运用机械能守恒定律和迭代法分别近似求解实际弹簧振子的周期，并对结果做出详细的讨论。关键词：弹簧振子，弹簧质量，周期，动能，势能The Influence of Spring Quality on Vibration SystemPhysics2009-2 Dai Shi-guiSupervisor Guan Xiao-rongAbstractSpring oscillator is a typical model of physics, the spr
4、ing oscillator means to ignore the quality of the light spring an object composed of system. Experiment spring oscillator frequency of vibration and theoretical results there is a greater difference, there are many reasons, but mainly due to the quality of the spring have a certain impact on the vib
5、ration. In the discussion of the spring oscillator vibration case, people tend to ignore the quality of the spring itself, the actual child of spring vibration by the spring-mass for m0, elastic coefficient k for the spring and quality connection on one end of the spring to m vibrating object compos
6、ition, to address the actual spring oscillator spring-mass vibration system, energy research system, the establishment of the formula of kinetic and potential energy of the spring-mass system, a quantitative analysis of the quality of the spring between the period of the vibration system from differ
7、ent angles, the the actual vibration of vibration problems, the study has some reference value and significance.Spring quality, this spring vibration sub-vibration sub is not ideal, the quality of its vibration cycle with springs has close ties, when we put this effect is only attributed to the qual
8、ity factor, the oscillator cycle can be written as spring-effective quality-related expression, in fact, deal with such issues are many, like Runge - Kutta method, Rayleigh method, transfer matrix method for solving the wave equation method, heuristics for solving differential equations of conservat
9、ion of mechanical energy approximation , iterative method, etc. In this paper, the use of mechanical energy conservation law and the iterative method of approximate solution to the actual spring oscillator cycle, and the results make a detailed discussion.Key words：Spring oscillator，Spring-mass，Cycl
10、e，Kinetic energy，Potential energy 目录1 前言 .12 振动系统的动能和势能 .22.1 弹簧振动系统的动能分析概况 .22.2 弹簧振动系统势能分析概况 .42.3 弹簧振动系统的机械能 .52.3.1 弹簧振子放置水平位置（ ）弹簧振动系统的机械能 502.3.2 弹簧振子放置竖直位置（ ）弹簧振动系统的机械能 .62/2.3.3 弹簧振子放置倾斜程度为 位置（ ）弹簧振动系统的机械/能 63 弹簧质量对振动周期的影响 .73.1 机械能守恒近似法研究弹簧质量对振动周期的影响 .73.2 迭代法研究弹簧质量对振动周期的影响 .93.3 弹簧质量对振动周期影
11、响的分析 .11致谢 13参考文献 14玉林师范学院本科生毕业论文11 前言弹簧振动作为自然界中最普遍的最广泛的运动形式之一,在物理学的基础理论研究中同样是具有显著地位,正确理解并掌握其振动系统的客观规律对于今后深入研究并掌握自然界的普遍运动规律具有非常重要的理论上的意义和实践中的意义。作为自然界弹簧系统振动形式中最简单的抽象化的物理模型-简谐振子,它由质量为 的振子和弹m簧弹性系数为 的无质量的理想的弹簧所组成,则其弹簧振动系统的周期为：k kmT2简谐振子实际上是一个理想化的抽象化的物理模型,实际上弹簧的自身质量 相0比振子的质量 来说未必可以忽略不计,而一旦忽略了弹簧质量的影响,就必定会
12、造成m理论上计算值与实际测量值之间的不吻合,并且这种差异并非属于随机简单的计算误差,而是具有明显的系统误差性质,必要时还是应予以修正的。在实验中得到的弹簧振子的振动周期和理论结果存在着这些的差异,其中原因可能有很多,但主要是由于弹簧的质量对振动存在一定的影响；一般人们在讨论弹簧振子的振动情况时，通常不考虑弹簧的质量影响，而按照理想状态处理。但是在实际情况下，弹簧质量还是对弹簧振子的振动系统有一定的影响，而作为弹簧系统振动周期的一级近似,可以将弹簧质量 的三0m分之一有效质量加到振子的质量 上去,从而将弹簧质量为 、振子质量为 的实际m0m弹簧振动系统等效看作是一个具有质量为 的理想质量的弹簧振
13、动系统,弹簧系3/0统的振动周期为： kT20为解决实际弹簧振子弹簧质量对振动系统的影响问题，采用研究系统的能量方法，建立了有弹簧质量时系统的动能和势能公式，从不同角度定量的分析研究了弹簧质量对振动系统影响，并且结合运用机械能守恒定律和迭代法分别近似求解实际弹簧振子的周期，并对结果做出详细的讨论，该结论对于研究实际弹簧振动系统的振动问题具有一定的参考价值和指导意义。戴石贵 弹簧质量对振动系统的影响22 振动系统的动能和势能通常用弹簧振子来研究简谐振动问题，用到轻弹簧 13，这里考虑到弹簧质量，系统振动时弹簧不仅具有振动动能，而且弹簧在某一位置还具有重力势能。下面就从振动系统的能量开始，按弹簧的
14、动能与势能分两部分来研究，再对弹簧振动系统的机械能概括总结，同时也是针对其质量对整个弹簧系统振动状态的影响。2.1 弹簧振动系统的动能分析概况弹簧振子按照如下图 2.1 放置在一个光滑的倾斜程度为 斜面上，弹性系数为 ，k弹簧的原长为 ，达到平衡位置时弹簧伸长量 ，物体的质量为 ，弹簧的质量为 。L0xm0mk0mmL0x dl 图 2.1 弹簧振子Figure2.1 spring oscillator因为弹簧振子中的弹簧质量为 ，弹性系数为 ，振子质量为 ，若弹簧的振动0mkm方程为 ： tAxcos（2.1）玉林师范学院本科生毕业论文3那么弹簧振子在运动过程中其速度就可以通过求导来得到，那
15、么对（2.1）式进行求导可得弹簧振子任意时刻的速度 为：vtAxdtvsin.（2.2）因为考虑到弹簧的质量，所以振动系统的动能是由两部分组成，即振子的动能与弹簧动能之和，即：21kkE根据动能的表达式：21MvEk其中 为振子的动能为：k1EtAmvEk 2212sin1（2.3）而 则为弹簧的振动动能，如上图图 2. 1 所示，设弹簧总共绕匝数为 匝,任意 的k2E Ndl振幅为：00 xLAllxNA（2.4）由于 与振子的振动频率相同且相一致的，所以弹簧的振动方程为：dl0cosxLtAlX（2.5）所以弹簧的任意时刻的速度 为：vtxLAldtXvsin0（2.6）因此弹簧的振动动能
16、为： 2002kdxLAlxdlmE戴石贵 弹簧质量对振动系统的影响4（2.7）又 而 为振子的振动速度。dlxLvmt 2302sintAvsin所以在弹簧系统中弹簧本身的动能为：62122002000 vmdlxLvmvExLk （2.8）如图图 2.1，已知弹簧放在光滑的倾斜程度为 （ ）斜面上，所以综上所述，/考虑了弹簧质量的振动系统的总动能 为：KE2022161vmkk （2.9）2.2 弹簧振动系统势能分析概况弹簧振子按照如图图 2.2，放置在一光滑的斜面上，图 2.2 中弹簧水平放置时原长为 ，当系统达到平衡位置时，弹簧系统中弹簧伸长量为 。坐标原点、弹簧弹性势L 0x能以及重
17、力势能零点都选在平衡位置，任意时刻振子运动到位置为 考虑到弹簧的质量，因此弹簧的重力势能不能够忽略不计，那么弹簧振子系统的势能 等于弹簧的弹pE性势能 和弹簧振子的重力势能 以及弹簧的重力势能 之和，即为：p1E2pE3pk0mmL0x图 2.2 弹簧振子玉林师范学院本科生毕业论文5Figure2.2 spring oscillator321ppEE（2.10）因为弹簧的弹性系数为 ，根据弹簧的弹性势能的式子： ，而重力势能的式k 2kxP子为： ；又弹性势能和重力势能的零势能点选择在弹簧振动系统的平衡位置，mgHEp所以在平衡位置上的弹簧弹性势能、重力势能为零势能面。对于弹簧的弹性势能 ，又
18、根据微积分学，对其积分得到其表达式：P1Exkdxkxp 0201 （2.11）又因 ，所以弹簧的弹性势能 为：sin00gmkx 1pEsin20gxmkx（2.12）对于弹簧振动系统中振子的重力势能 为：2pEsingx（2.13）对于弹簧振动系统中弹簧的重力势能 为：P3E 0000003 2sinsinsinsin xLgmldxLgldxLgmldxLgExxp （2.14） 综上所述，弹簧振子振动系统的势能为：sin212sini00 002321xLgmkx xLgmEEPP （2.15）戴石贵 弹簧质量对振动系统的影响62.3 弹簧振动系统的机械能综上根据弹簧系统的动能与势能分
19、析情况，则弹簧振动系统的机械能 为弹簧系E统的动能与势能之和，即：sin21312 0020 xLgmkxvmEpk （2.16）弹簧振子是按照如图图 2.1 放置在一光滑的倾斜程度为 斜面上，弹性系数为 ，k弹簧的原长为 ，达到平衡位置时弹簧伸长量 ，物体的质量为 ，弹簧的质量为 L0x 0m。又因其倾斜程度为 ，且其范围在 之间，所以可以分为以下可能出现的2/情况 、 、 三种情况进行概括和总结系统的机械能。02/2/02.3.1 弹簧振子放置水平位置（ ）弹簧振动系统的机械能弹簧振子处于水平放置时，即 ，并且此时 ，弹簧的重力势能以及由00sin弹簧的重力引起的弹性势能不存在，不必考虑进
20、来了，只存在弹簧的弹性势能以及弹簧系统中弹簧振子和弹簧振动的动能，因此弹簧振动系统的机械能 为以上的动能与E势能之和，即：201321kxvmEpk （2.17）2.3.2 弹簧振子放置竖直位置（ ）弹簧振动系统的机械能/弹簧振子处于竖直放置时，即 ，并且此时的 ，不仅存在弹簧的弹21sin性势能以及弹簧系统中弹簧振子和弹簧振动的动能，而且弹簧的重力势能以及由弹簧的重力引起的弹性势能存在，必须是得考虑进来的，因此弹簧振动系统的机械能 为E整个弹簧振动系统里的动能与势能之和，即：00201312xLgmkxvmEpk （2.18）玉林师范学院本科生毕业论文72.3.3 弹簧振子放置倾斜程度为 位
21、置（ ）弹簧振动系统的机械能2/0弹簧振子处于竖直放置时，即 ，并且此时的 ，不仅存在弹1sin0簧的弹性势能以及弹簧系统中弹簧振子和弹簧振动的动能，而且弹簧的重力势能以及由弹簧的重力引起的弹性势能存在，必须是得考虑进来的，因此弹簧振动系统的机械能 E 为整个弹簧振动系统里的动能与势能之和，即：sin21312 0020 xLgmkxvmEpk （2.19）3 弹簧质量对振动周期的影响理想的弹簧振子系统是指弹簧的质量为零的振子系统,其振子的运动形式是简谐振动，振动是一种最简单的运动形式之一。大量实验数据表明，弹簧质量对振动系统的周期存在一定的影响，实际测出的数据振动系统的周期总是略大于理论上简
22、谐振动的理论公式得出的值：戴石贵 弹簧质量对振动系统的影响8kmT20弹簧质量对振动系统周期的影响已有文章研究 1,2,3,5,弹簧的质量会对振动系统周期产生影响,采用不同的方法分析计算周期,所得结果的精度也会有所不同,通过对其分析,将有助于对实际振动系统应用。对于需考虑弹簧质量的弹簧振子的振动这一经典问题,国内外已有许多文献从不同的角度加以研究 17，一般将弹簧视作均匀的弹性介质,从波动方程出发进行研究 1,2,或将弹簧离散化为一系列小的弹簧振子进行分析 6,7.在假定弹簧各点振动相位相同,且振幅与质点平衡位置成正比的条件下,文献 1,2,5,6均得出振动周期的公式： kmT320式中弹簧的
23、劲度系数为 ,振子的质量为 ,弹簧的质量为 。当把弹簧质量的 加k 0 3/1到振子质量上,即可以把弹簧振子系统视作理想的振子系统。这个附加到弹簧振动系统振子上的质量称为弹簧的有效质量(等效质量)，接下来主要运用机械能守恒近似方法和迭代法分别近似求解实际弹簧振子的周期，并对结果做出的讨论和总结。3.1 机械能守恒近似法研究弹簧质量对振动周期的影响如下图图 3.1，弹簧振动系统中振子水平放置在光滑的水平平面上，弹簧的弹性系数为 ，弹簧水平放置时的原长为 ，令达到平衡位置时弹簧伸长量 ，而物体的质kL0x量为 ，弹簧的质量为 ，m0m玉林师范学院本科生毕业论文9dl 0xLO k0mxl m图 3
24、.1 弹簧振子水平放置Figure3.1 Place the spring oscillator level设弹簧质量 比振子的质量 小，近似地我们假设弹簧的各截面位移是按线性的规律0m变化，因此，弹簧在某一质点离弹簧固定那端的距离为 ，即振子任意 时刻的位置，lt截面位移可表示为 ,其中 为弹簧振动物体离开弹簧平衡位置 O 的位移，又水Lxldx平面光滑，不计其在平面上的摩擦阻力等其他阻力引起的能量损失，弹簧系统振子的能量守恒。弹簧系统中弹簧为 时的动能 为：0mk1E622001xmdlLxk（3.1）弹簧系统振动振子的动能为：2xmEk（3.2）弹簧系统振子的弹性势能为：戴石贵 弹簧质量
25、对振动系统的影响102kxEp（3.3）弹簧系统弹簧在平衡位置时的弹性势能为： 20kxp又结合能量守恒定律，则有 ，且 c 为常数，将其对时间的求导后，xm260整理到 30kxm简谐振动的谐振子的振动的动力学方程相结合比较的弹簧系统振子的周期为：kmT320（3.4）由此可见，该结果可等效认为是轻弹簧时，即为轻弹簧时振子的等效质量，在弹簧系统振子 上附加了 m03 的弹簧质量的理想弹簧振子，显然真实弹簧振子的振动周期要比理想（轻质）弹簧振子的振动周期稍大些。利用机械能守恒近似法，比较简便，不过其前提条件是弹簧上的各个位置其振动是一致且按线性规律变化。3.2 迭代法研究弹簧质量对振动周期的影
26、响对于考虑弹簧质量对弹簧系统振子，已有许多文献从不同的角度予以研究 15，文献 1给出了弹簧系统的能量表达式,然后令能量的一阶导数等于零,得到运动方程,再通过该运动方程的求解得弹簧系统的周期;文献 9,10是从有质量弹簧的波动方程出发,并结合牛顿第二定律和胡克定律及微元分析法,给出定解问题,然后通过分离变量法,直接求解波动方程,得到弹簧系统所满足的本征值方程,并采解出弹簧振子的本征频率,导出弹簧的等效质量的渐进级数表达式,从而得到弹簧质量不可忽略的弹簧振子系统的振动解。设弹簧总共绕匝数为 匝，弹簧系统中，弹性系数为 ，弹簧水平放置时的原长Nk为 L，具体如上图图 3.1 所示的，实际弹簧系统振
27、子运动可归为不同频率的谐振动的合成，即 ，且使 ，又根据文献 11可知tAtXnncos0， 10nA玉林师范学院本科生毕业论文11nanaAn 2si1i2（3.5）其中 是描述弹簧系统弹簧的弹性系数 和有效质量 引入参数，由弹3,21na nkaebm0簧系统振子的本征方程：， Ncot 0（3.6）和本征值为：Nnan（3.7）来决定振子的各个阶段振动周期为：kmbTen02（3.8）其中21nabe（3.9）将式子（3.7）代入式子（3.6）有：nanancotcot（3.10）再利用级数的展开式 4531cotnna将式子（3.10）可以写成：戴石贵 弹簧质量对振动系统的影响1245
28、31nnnaa（3.11）为了简单方便，我们分析讨论了 时，弹簧系统振动周期。取式子 （3.11）右边前0两项有： 45312020aa（3.12）再取初始值 代人式子（3.12）有：313145120a（3.13）代人式子（3.9）得：31450b（3.14）因此由迭代法近似可以得出基频弹簧振动系统的周期为：kbmT002（3.15）所以由迭代法弹簧振动系统的振动周期就可表示为：kmbTen02（3.16）玉林师范学院本科生毕业论文133.3 弹簧质量对振动周期影响的分析通过对弹簧质量与弹簧振动系统之间的研究，在物理学中的基础理论研究中具有显著的重要地位,正确理解与掌握振动的客观规律对于深入
29、研究并掌握自然界的普遍运动规律具有十分重要的理论意义和实践指导，特别是弹簧质量对弹簧振动系统的周期的影响就非常有实践指导的意义。本节通过运用机械能守恒近似方法和迭代法分别近似求解实际弹簧振子的周期。第一种方法是机械能守恒近似法，此法主要结合了机械能守恒定律以及大学计算常用的微分求导，又结合振动系统的运动方程进行分析，得到了其振动周期与弹簧质量之间的关系为： kmT320这在很多的文献中也有相同的结论，也是通过多种方法到得一比较普遍的式子，显然弹簧系统振子 上附加了 的弹簧质量的理想弹簧振子，真实弹簧振子的振动周期m3/0要比理想（轻质）弹簧振子的振动周期稍大一些，因而得到了社会中广泛应用,其精
30、度可以满足一般工程应用领域的需要。但对于更高精度的应用领域或进行理论分析就需要考虑更准确的计算公式，第二种方法就是迭代法，很显然方法比较的复杂，中间涉及的知识内容、理论准备、计算方法等等都是比较繁杂，但是却能得到更准确且具有更加普遍意义的结果，对于一些更高精度的计算，显而易见是十分必要的；在弹簧振动中，基频的振幅是最大的，弹簧质量对基频的弹簧系统振动周期的影响也很大，所以在弹簧振动系统中弹簧质量与振子质量相对可比的情况下，讨论弹簧振动问题一般是不能够忽略弹簧其本身的质量，只是当弹簧质量远远小于弹簧振子的质量且对其结论要求不是十分精确的情况下是可忽略弹簧本身质量对振动系统的振动状况的影响。戴石贵
31、 弹簧质量对振动系统的影响14致谢在玉林师范学院四年的学习生活即将结束，时间匆匆而过，回首大学四年往事，难以忘怀在这四年的学习和生活中，以及给予我关怀、关爱和支持的老师和同学们，非常感谢你们。同时大学的四年里，也是我此生的一个重要的阶段，非常荣幸在大学四年结识这么多的老师、同学、朋友。四年的学业生活即将在这个季节划上一个句号，对我的人生却是一个短暂的重要的过程，我将又再一次踏上新的征程。四年的求学生涯在师长、亲友的大力支持下，我能够顺利地完成本科阶段学习，首先要感谢各位老师的辛勤教导，特别是关老师在论文前期指导，学生受益匪浅，在论文即将付梓之际，思绪万千， 纵然伟人、名人为我所崇拜，可是我更急
32、切地要把我最真诚的敬意和赞美献给一位平凡而伟大的灵魂工程师，我的导师关老师。我虽然不是您最出色的学生，但您却是我最尊敬的老师。您治学严谨，学识渊博，思想深邃，视野雄阔，授人以鱼不如授人以渔，耳濡目染，玉林师范学院本科生毕业论文15潜移默化，使我不仅接受了新的思想观念，领会了基本的思考方式，从论文题目的选定到论文写作的指导,经由您悉心的点拨,再经思考后的领悟。在论文即将完成之际，我始终怀着感恩的心，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚谢意！同时也感谢玉林师范学院为我提供良好的做毕业设计的环境。 最后再一次感谢所有在毕业设计中曾经帮助过我
33、的良师益友和同学，以及在设计中被我引用或参考的论著的作者。参考文献1马葭生.用最优化及多元线性回归方法总结弹簧振子周期经验公式.物理实验,1986,(1):4-6.2丁履成,司明扬.有质量的弹簧的振动问题.大学物理,1985,4(9):15-18.3刘大鹏，关荣华.弹簧质量对弹簧谐振子圆频率的影响.大学物理，1995,14（10）：11-24.4黄兆梁.弹簧质量对振动的影响J,大学物理,1998,17(3):12-16.5黄兆梁.弹簧质量对振动的影响J,大学物理,1998,17(3):14-15.6上海交通大学物理教研室.大学物理学（上）M.上海:上海交通大学出版社,2006.7张三慧.史田兰
34、.大学物理学（第四册）M.北京:清华大学出版社,1998.8赵近芳.大学物理学（上册）M.北京: 北京邮电大学出版社,2002.9戴宝印,代娜.有质量弹簧的振动解J.鞍山师范学院学报,2003,5(2):45-47.10康文秀.弹簧质量对振子运动的影响J.保定师范专科学校学报,2004,17(2): 戴石贵 弹簧质量对振动系统的影响1625-27.11徐延燕.弹簧振子近似作简谐振动的的条件J.河北师范大学学报,1997, 21(1):55-58.12谢利民.弹簧振子运动的实际动力学分析J.上海师范大学学报,2002,31(2): 91-95.13赵强,田蓬勃.弹簧振子佯谬J.物理与工程,2002,12(1):12-13.14虞福春.电动力学修订版.北京:北京大学出版社 2003.9:191.15姜泽辉,郑瑞华,赵海发等.完全非弹性蹦球的动力学行为J.物理学报,2007,56(7):3727-3732.
