1、1 2.5 直线与圆锥曲线 学习目标1.通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置 关系.2.会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题 知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系 观察图形，思考下列问题： 思考1 上面三个图象中直线l与椭圆、抛物线、双曲线的图象的位置关系是什么？ 思考2 直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？ 梳理 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax 2 bxc0. 方程特征 交点个数 位置关系 a0，0 2 相交 a0， 0 1 相切 直线与椭圆 a0，0 2 相交 a0， 0 1 相切 直线与
2、双曲线 a0，0 2 相交 直线与抛物线 a0， 0 1 相切2 a0，0)的准线的距 1 2 离为 .点M(t，1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB的中点Q(m，n)在直线 5 4 OM上 (1)求曲线C的方程及t的值； (2)记d ，求d的最大值 |AB| 14m2 反思与感悟 (1)求参数范围的方法 据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围 (2)求最值问题的方法 几何法 题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决 代数法 题目中给出的条件和结论几何特征不明显则可以建立目标函数，再求这个函数的最值，求最 值的常见方法是均值不等式法，单调性法等 跟踪训练3
3、 如图，过抛物线y 2 x上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物 线于B、C两点，求证：直线BC的斜率是定值4 1若直线ykx1与椭圆 1总有公共点，则m的取值范围是( ) x2 5 y2 m Am1 Bm1或0a0)， a2 c c a 求点P的轨迹 1解决直线与圆锥曲线的交点问题时，主要方法是构建一元二次方程，判断其解的个 数确定斜率与直线的倾斜角时，应特别注意斜率为0和斜率不存在的两种情形，以及在双 曲线和抛物线中，直线和曲线有一个公共点并不一定相切 2与弦中点有关的问题，求解的方法有两种： (1)一般方法：利用根与系数的关系及中点坐标公式来求解； (2)点差法：利用端
4、点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入曲线方程，然后作差 构造出中点坐标和斜率的关系 3在探求最值时，常结合几何图形的直观性，充分利用平面几何结论，借助于函数的单调 性、均值不等式等使问题获解同时，要注意未知数的取值范围、最值存在的条件 提醒：完成作业 第二章 2.55 答案精析 问题导学 知识点一 思考1 相交，相切，相离 思考2 不一定，当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线、 抛物线只有一个公共点，但此时直线与双曲线、抛物线相交 知识点二 |x 2 x 1 | 1k2 1k2x1x224x1x2 题型探究 例1 解 直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
5、Error! 将代入，整理得9x 2 8mx2m 2 40， 这个关于x的一元二次方程的判别式 (8m) 2 49(2m 2 4)8m 2 144. (1)由0，得3 3 . 2 2 从而当m3 时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线l 2 2 与椭圆C没有公共点 跟踪训练1 解 设直线l：y1k(x1)，即ykx(1k) 由Error! 得(k 2 2)x 2 2k(k1)xk 2 2k30. (*) 当k 2 20，即k 时，(*)式只有一解，直线l与双曲线相交，只有一个公共点 2 当k 2 20时，2416k， 若0，即k ，方程(*)只有一解，直线与双曲线相切，只有一个公共
6、点； 3 26 若0，即k ，方程(*)无解，直线与双曲线无公共点 3 2 综上，(1)当k 或k 时，直线l与双曲线只有一个公共点； 2 3 2 (2)当k 时，直线l与双曲线无公共点 3 2 例2 解 (1)设M(x，y)， 则k MA ，k MB (x1)， y x1 y x1 2， y x1 y x1 x 2 1(x1) y2 2 (2)当直线PQ的斜率不存在，即PQ是椭圆的长轴时，其长为2 ，显然不合题意，即直线 2 PQ的斜率存在， 设直线PQ的方程是ykx1， P(x 1 ，y 1 )，Q(x 2 ，y 2 )， 则y 1 y 2 k(x 1 x 2 )， 联立Error! 消去
7、y得(k 2 2)x 2 2kx10. 4k 2 4(k 2 2)8(k 2 1)0， kR， x 1 x 2 ，x 1 x 2 ， 2k k22 1 k22 |PQ| x1x22y1y22 1k2x1x224x1x2 2 ， 2 k21 k22 |PQ| 2 ， 3 2 2 2 k21 k22 k 2 2，k ， 2 直线PQ的方程是y x1. 2 跟踪训练2 解 设椭圆方程为ax 2 by 2 1 (a0，b0)7 设A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )，代入椭圆方程并作差得：a(x 1 x 2 )(x 1 x 2 )b(y 1 y 2 )(y 1 y 2 ) 0， 而 1，
8、 k OC ， y1y2 x1x2 y1y2 x1x2 2 2 代入上式可得b a， 2 再由|AB| |x 2 x 1 |2 ， 2 2 其中x 1 ，x 2 是方程(ab)x 2 2bxb10的两根，故 2 4 4， ( 2b ab ) b1 ab 将b a，代入得a ，b . 2 1 3 2 3 所求椭圆的方程是x 2 y 2 3. 2 例3 解 (1)y 2 2px(p0)的准线方程为x ， p 2 1( ) ，p ， p 2 5 4 1 2 抛物线C的方程为y 2 x. 又点M(t，1)在曲线C上，t1. (2)由(1)知，点M(1，1)，从而nm，即点Q(m，m)， 依题意，直线A
9、B的斜率存在，且不为0， 设直线AB的斜率为k(k0) 且A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 .y 2 )，由Error! 得(y 1 y 2 )(y 1 y 2 )x 1 x 2 ， 故k2m1， 直线AB的方程为ym (xm)， 1 2m 即x2my2m 2 m0. 由Error!消去x， 整理得y 2 2my2m 2 m0， 4m4m 2 0，y 1 y 2 2m，y 1 y 2 2m 2 m. 从而|AB| |y 1 y 2 | 1 1 k2 14m2 4m4m2 2 . 14m2mm2 d 2 |AB| 14m2 m1m m(1m)1，8 当且仅当m1m，即m 时，上式等号成立，又
10、m 满足4m4m 2 0.d的最大值 1 2 1 2 为1. 跟踪训练3 证明 设k AB k (k0)， 直线AB，AC的倾斜角互补， k AC k(k0)， AB的方程是yk(x4)2. 由方程组Error! 消去y后，整理得 k 2 x 2 (8k 2 4k1)x16k 2 16k40. A(4，2)，B(x B ，y B )是上述方程组的解 4x B ， 16k216k4 k2 即x B ， 4k24k1 k2 设C(x C ，y C )，以k代换x B 中的k， 得x C ， 4k24k1 k2 k BC yByC xBxC kxB42kxC42 xBxC kxBxC8 xBxC k ( 8k22 k2 8 ) 8k k2 . 1 4 直线BC的斜率为定值 当堂训练 1D 2.C 3. 5 3 43x2y160 5解 由题意得 . xc2y2 | a2 c x | c a 化简得(a 2 c 2 )x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 )， 因为ca0，令b 2 c 2 a 2 ，9 得b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 ，即 1(a0，b0)，表示焦点在x轴上的双曲线 x2 a2 y2 b2
