1、第二章 圆锥曲线与方程22 椭圆直线与椭圆的位置关系本节课我们主要解决了两个问题：一是运用方程的思想来判断直线与圆锥曲线公共点个数问题；二是圆锥曲线的弦长问题.一、判断直线与椭圆的位置关系将直线 的方程代入椭圆 的方程，消去一个变量，得到lC一个关于另一个变量的一元方程（如 ） 20AxBC（1）当 时0A 若 ，则 与 相交，有两个交点l 若 ，则 与 相切，有一个交点 若 ，则 与 相离，没有交点（2）当 时，方程为一次方程.若一次方程有解，则只有一解，直线与圆锥曲线只有一个交点. 二、利用相切求椭圆上的点到定直线的距离的最值成才 P27 例 5例 1、已知椭圆 ，直线 ，219xy:45
2、0lxy椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小？最小距离是多少？分析：和定直线距离最近的点，必是和定直线平行且和椭圆相切的点，两平行间的距离即为是小距离，此种方法叫做平行切线法）三、相交：经常用设而不求（设出两个交点坐标但不直接求出）的技巧借助韦达定理整体代入例 2、椭圆 ，2:184xyE（1）直线 与椭圆 E 有两个公共点，求实数 的:lmm取值范围（2）以椭圆 E 的焦点 为焦点，经过直线 上12,F:9lxy一点 P 作椭圆 C，当 C 的长轴最长时，求 C 的方程例 3、 F1、 F2分别是椭圆 的左、右焦点. 设过定点214xyM（0，2）的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、 B
3、，（1）若 AB 为直径的圆过原点 O，求直线 的斜率lk（2）若 AOB 为锐角（其中 O 为坐标原点） ，求直线 的斜率l的取值范围.k练习：已知圆 C： ，直线240xy lyb：（）若直线 与圆 C 相切，求实数 b 的值；l（）是否存在直线 ，使 与圆 C 交于 A、 B 两点，且以lAB 为直径的圆过原点如果存在，求出直线 的方程，如果不l存在，请说明理由2、弦长公式连结圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦，若该弦过圆锥曲线的焦点，则称为焦点弦，若焦点弦垂直于所在圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径常用弦长公式：其中 是交点坐标12(,),xy当直线斜率 存在时k弦长 222121
4、1|()4ABxkxx或 2212|()|ka或当直线斜率 存在时且不为零时 21211222|()4AByyykk例 4、如图，直线 与椭圆xb交于 两点，记21xyAB，的面积为 当 ，O S2时，求直线 的方程S解：由 214ykxb， ， AxOB得 ，2221104kxkb，221|ABkx241kbA设 到 的距离为 ，则Od，21|SdAB又因为 ，2|bk所以 ，代入式并整理，得21，40k解得 ， ，代入式检验， ，223b0故直线 的方程是AB或 或 ，或62yx62yx26yx例 3、 F1、 F2分别是椭圆 的左、右焦点. 设过定点214xyM（0，2）的直线 l 与椭
5、圆交于不同的两点 A、 B，（1）若 AB 为直径的圆过原点 O，求直线 的斜率lk（2）若 AOB 为锐角（其中 O 为坐标标原点） ，求直线 的斜l率 的取值范围.k解析： 显然 不满足题设条件可设 的方程为0xl，设 ， 2y1(,)Ay2(,)Bx联立 2224()4xxkyk2(1)610 ，224xk224kx由 (6)()， ，得 22130k23023k（1）若 AB 为直径的圆过原点 O则 ，即 ，OAB12xy又 212 112()()4ykkxx x212226()()44kk22124()0k 又代入 ， ，2k（2） 为锐角 ，AOBcos00AOB 12xy又 21
6、2 112()()4ykkxx x212226()()44kk22124()0k 综可知 ，234k 的取值范围是 k3(,)(,2)练习：已知圆 C： ，直线240xy lyb：（）若直线 与圆 C 相切，求实数 b 的值；l（）是否存在直线 ，使 与圆 C 交于 A、 B 两点，且以lAB 为直径的圆过原点如果存在，求出直线 的方程，如果不l存在，请说明理由周练 139直线 y kx k1 与椭圆 1 的位置关系x29 y24为A相切 B相交 C相离 D不确定分析：直线 y kx k1 恒过一定点 ，(1,)点 与椭圆 的位置关系判断:0(,)x2,(0xab当 ，则点在椭圆上20ab当 ，则点在椭圆外21xy当 ，则点在椭圆内0ab周练 1310已知以 F1(2,0)， F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x y40 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )3A3 B2 C2 D42 6 7 2周练 1314椭圆 的一条弦被 平分, 那么19xy()A这条弦所在的直线方程是 分析：关于弦中点问题：点差法
