1、1 32.1 常见函数的导数 学习目标 1.能用导数的定义求比较简单的幂函数的导数.2.准确记忆基本初等函数的导数 公式，并灵活运用公式求某些函数的导数 知识点一 幂函数与一次函数的导数 思考1 函数ykx(k0)增(减)的快慢与什么有关？思考2 你能结合x1，(x 2 )2x，(x 1 )x 2 及(x 1 2 ) x 1 2 归纳出f(x)x n 1 2 的导数有怎样的规律吗？梳理 (1)(kxb)k(k，b为常数)，特别地C0(C为常数) (2)(x )x 1 (为常数) 知识点二 基本初等函数的求导公式 思考1 计算过程(cos )sin 正确吗？ 6 6 1 2思考2 如何利用(ln
2、 x)推出(log a x)？2 梳理 原函数 导函数 f(x)sin x f(x)cos x f(x)cos x f(x)sin x f(x)a x (a0，且a1) f(x)a x ln a f(x)e x f(x)e x f(x)log a x(a0，且a1) f(x) 1 xln a f(x)ln x f(x) 1 x f(x)x (为常数) f(x)x 1 类型一 利用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1)yx 12 ；(2)y ；(3)y ； 1 x4 5 x3 (4)y2sin cos ；(5)ylog 1 2 x；(6)y3 x . x 2 x 2反思与感悟 若
3、题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行 化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导3 跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)y(1 )(1 ) ； x 1 x x (2)y2cos 2 1. x 2类型二 导数公式的综合应用 命题角度1 利用导数公式解决切线问题 例2 已知点P(1,1)，点Q(2,4)是曲线yx 2 上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线， 若有，求出切线方程；若没有，说明理由 引申探究 若本例条件不变，求与直线PQ平行的曲线yx 2 的切线方程反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用： (1)切点处的导数是切线的斜率； (2)切点在切
4、线上； (3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决 跟踪训练2 已知两条曲线ysin x，ycos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在 这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由4 命题角度2 利用导数公式求最值问题 例3 求抛物线yx 2 上的点到直线xy20的最短距离反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x 0 ，y 0 )处的切线方程， 可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关解题时 可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算 跟踪训练3 已知直线l: 2xy40与抛物线yx 2 相交于A、B两点，O是坐
5、标原点， 试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧 A AOB上求一点P，使ABP的面积最大1设函数f(x)log a x，f(1)1，则a_. 2下列结论：(sin x)cos x； ； ( 1 x ) 1 x2 (log 3 x) ；(ln x) . 1 3ln x 1 x 其中正确的结论是_ 3在曲线y 上求一点P，使得曲线在该点处的切线倾斜角为135，则点P的坐标为 4 x2 _ 4设正弦函数ysin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范 围是_ 5求下列函数的导数 (1)ycos ；(2)y ；(3)y ； 6 1 x5 x2 x (4)ylg x；(5)y
6、5 x ；(6)ycos( x) 251利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数 公式解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归 2有些函数可先化简再应用公式求导 如求y12sin 2 的导数因为y12sin 2 cos x， x 2 x 2 所以y(cos x)sin x. 3对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化 提醒：完成作业 第3章 3.2 3.2.16 答案精析 问题导学 知识点一 思考1 当k0时，函数增加的快慢与系数k有关，k越大，增加的越快； 当k0时，函数减少的快慢与|k|有关，|k|越大，函数减
7、少的越快 思考2 f(x)(x n )nx n1 . 知识点二 思考1 不正确因为cos 为常数，其导数为0. 6 3 2 思考2 (log a x) (ln x) . ( ln x ln a ) 1 ln a 1 ln a 1 x 1 xln a 题型探究 例1 解 (1)y(x 12 )12x 121 12x 11 . (2)y(x 4 )4x 41 4x 5 . 4 x5 (3)y( )(x 3 5 ) x 3 1 5 5 x3 3 5 x 2 5 . 3 5 3 5 5 x2 (4)y2sin cos sin x， x 2 x 2 ycos x. (5)y(log 1 2 x) . 1
8、 xln 1 2 1 xln 2 (6)y(3 x )3 x ln 3. 跟踪训练1 解 (1)y(1 )(1 ) x 1 x x x 1 2 ， 1x x x 1 x y x 3 2 . 1 2 (2)y2cos 2 1cos x， x 27 y(cos x)sin x. 例2 解 因为y(x 2 )2x，假设存在与直线PQ垂直的切线 设切点为(x 0 ，y 0 )，则PQ的斜率为k 1， 41 21 而切线与PQ垂直，所以2x 0 1， 即x 0 . 1 2 所以切点为( ， ) 1 2 1 4 所以所求切线方程为 y (1)(x )， 1 4 1 2 即4x4y10. 引申探究 解 因为
9、y(x 2 )2x， 设切点为M(x 0 ，y 0 )， 则y| 0 x x 2x 0 ， 又因为PQ的斜率为k 1， 41 21 而切线平行于PQ，所以k2x 0 1， 即x 0 . 1 2 所以切点为M( ， ) 1 2 1 4 所以所求切线方程为y x ， 1 4 1 2 即4x4y10. 跟踪训练2 解 设存在一个公共点(x 0 ，y 0 )，使两曲线的切线垂直， 则在点(x 0 ，y 0 )处的切线斜率分别为k 1 y| 0 x x cos x 0 ，k 2 y| 0 x x sin x 0 . 要使两切线垂直，必须有k 1 k 2 cos x 0 (sin x 0 )1， 即sin
10、 2x 0 2，这是不可能的 所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直 例3 解 依题意知抛物线yx 2 与直线xy20平行的切线的切点到直线xy20 的距离最短，设切点坐标为(x 0 ，x ) 2 0 y(x 2 )2x，2x 0 1，8 x 0 ， 1 2 切点坐标为( ， )， 1 2 1 4 所求的最短距离d . | 1 2 1 4 2| 2 7 2 8 跟踪训练3 解 设M(x 0 ，y 0 )为切点，过点M与直线l平行的直线斜率k y2x 0 ， k2x 0 2，x 0 1，y 01. 故可得M(1,1)， 切线方程为2xy10. 由于直线l: 2xy40与抛物线yx 2 相交于A、B两点， AB为定值，要使ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大， 故点M(1,1)即为所求弧 A AOB上的点，使ABP的面积最大 当堂训练 1. 2. 3.(2,1) 1 e 40， ，) 4 3 4 5解 (1)y0. (2)y x 5 ， 1 x5 y(x 5 )5x 6 . 5 x6 (3)y x 3 2 ， x2 x y(x 3 2 ) x 1 2 . 3 2 3 2 x (4)y . 1 xln 10 (5)y5 x ln 5. (6)ycos( x)sin x， 2 y(sin x)cos x.
