1、1,3.2 线性微分方程的基本理论,线性微分方程是常微分方程中一类 很重要的方程，它的理论发展十分完善， 本节将介绍它的基本理论.,2,及其各阶导数,均为一次的n阶微分方程称为n阶线性微分方程.,未知函数,一般形式为:,3,n阶线性齐次微分方程:,n阶线性齐次微分方程，简称齐线性方程,（3.2.1）称非齐线性方程。,4,上面两个方程分别为齐次和非齐次的线性方程。,关于高阶方程同一阶方程一样, 也有相类似的 解的存在惟一性定理.,5,满足下列初始条件,方程（3.2.1）存在惟一的解,则对任一个 及任意的,6,线性微分算子:,例如:,7,二、齐次线性方程解的性质和结构,定理3.2 (叠加原理),则
2、它的线性组合,8,例1 验证,是方程 的解.,解: 分别将,代入方程, 得,所以为方程的解.,9,基本解组:,如果方程（3.2.2）的任意一个解,都可以表示为 ,则称,线性相关:,对定义在区间(a, b)上的函数组,如果存在不全为0的常数 , 使得,在(a, b)上恒成立,称这些函数在所给的区间上线性相关，不然称这些函数线性无关.,10,只有当所有的 时才成立.,(3.2.5),事实上, 如果至少有一个,11,则在（a, b）上线性无关的充要条件为,12,事实上,例3:,在任何区间上都线性无关.,在任何区间上都线性相关.,13,Wronskian 行列式:,14,依次将此恒等式对 t 微分,
3、得到 n 个恒等式,15,16,17,事实上, 假设存在恒等式,注: 定理3.3的逆定理不一定成立.例,18,19,其系数行列式,故它有非零解,现以这组解构造函数,20,即这个解满足初始条件,21,则该解组在（a, b）上线性相关.,22,线性无关解组, 基本解组及通解的关系?,23,定理3.6 如果 是n阶齐次方程,（3.2.2）的 n 个线性无关的解。,则它一定是该方程的基本解组，,24,考虑方程组,因而上面的方程组有惟一解,即,25,定理3.7 (通解结构定理),26,(1) 方程（3.2.2）的通解为,(2) 是方程的基本解组.,(3) 在(a, b)上线性无关.,27,定理 3.9
4、(刘维尔公式),设 是（3.2.2）的任意n个解，,是它的Wronskian行列式，则对(a, b)上任意,都有,一点，,上述公式我们称为刘维尔(Liouville)公式.,28,注2：对二阶微分方程,设 是与 不同的解，则由刘维尔公式推得,用 乘以上式两端可得,由此得,29,30,例5 求方程 的通解.,解：易知 为一特解，所以,31,三、非齐次线性方程解的结构,定理3.10,n阶线性非齐次方程的通解等于它的一个特解 与它所对应的齐次方程的通解之和.,32,所以,事实上,(3.2.10),33,于是,事实上， 因为,34,定理 3.11 设 与 分别是非齐次线性方程,和,则 是方程,的解。,
5、的解,证明：,35,常数变易法求特解,(3.2.11),(3.2.12),36,我们还需要另外 n-1个条件来求出,在理论上这些条件是任意给出的,为了运算的方便, 我们按下面的方法来给出这 n-1 个条件.,对 (3.2.12) 式两边对 t 求导得,令,得到,(3.2.12),37,对上式两边继续对t 求导, 重复上述做法,令,继续上述做法, 直到获得第 n-1 个条件,令,38,最后, 将上式两边对 t 求导得,(3.2.10),39,该方程组的系数行列式恰好是齐线性方程的,n 个线性无关解的 Woolskin 行列式, 故它不等于零,因而该方程组有惟一解.,从而非齐线性方程的通解,40,例6 求方程 的通解，,已知它的对应齐次线性方程的两个解为,解：利用常数变易法，令,将它代入方程，可得关于 的方程,原方程通解:,解得,41,作业: P127, 1，3, 7, 8，10,
