1、第六章 微分方程 知识总结,一. 微分方程的基本概念 二. 一阶微分方程 三. 可降阶的微分方程 四. 线性微分方程解的结构 五. 常系数线性微分方程,一. 微分方程的基本概念, 积分问题, 微分方程问题,推广, 使方程成为恒等式的函数.,通解, 解中所含独立的任意常数的个数与方程,的阶数相同.,特解,微分方程的解, 不含任意常数的解,其图形称为积分曲线.,n 阶方程的初始条件(或初值条件):,说明: 通解不一定是方程的全部解 .,有解,后者是通解 , 但不包含前一个解 .,例如, 方程,y = x 及 y = C,例 ： 求以,为通解的微分方程.,提示:,消去 C 得:,例:,为特解的 4
2、阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解 .,解: 根据给定的特解知特征方程有根 :,因此特征方程为,即,故所求方程为,其通解为,二. 一阶微分方程,关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤,1.可分离变量方程 2.齐次方程 3. 一阶线性方程 4. 伯努利方程 5. 变量代换,1.可分离变量方程,分离变量,然后两边同时积分,2.齐次方程:,令,代入原方程得,解法:,注: 可化为齐次方程的方程,3. 一阶线性方程:,解法：用通解公式,4. 伯努利方程,化为线性方程求解.,5. 变量代换,注: 通过适当的变换(函数变换或自变量变换)将一个微分方程化为已知求解步骤的方程,例. 求下述微分方程的通解:,解
3、: 令,则,故有,即,解得,( C 为任意常数 ),所求通解:,例: 判别下列方程类型:,提示:,可分离 变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,例.,设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(,+),内满足以下条件:,(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;,(03考研),(2) 求出F(x) 的表达式 .,解: (1),所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:,(2) 由一阶线性微分方程解的公式得,于是,三. 可降阶的微分方程,逐次积分,令,令,例:设二阶非齐次方程,有特,而对应齐次方程有解,微分方程的通解 .,解:,故所给二阶非齐次方程为,
4、方程化为,一阶线性非齐次方程,故,再积分得通解,复习: 一阶线性微分方程通解公式,四. 线性微分方程解的结构,定理 .,是对应齐次方程的 n 个线性,无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,常数, 则该方程的通解是 ( ).,设线性无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的解,是任意,例.,提示:,都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证),(89 考研 ),五. 常系数线性微分方程,常系数线性齐次微分方程2. 常系数线性非齐次微分方程3. 欧拉方程,1. 常系数线性齐次微分方程:,(1)写出特征方程:,实根,(3
5、)根据根的不同情况写出通解,若特征方程含 k 重复根,若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项,则其通解中必含,对应项,特征方程:,推广:,2. 常系数线性非齐次微分方程：, 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,则设特解为,为特征方程的 k (0, 1 )重根,则设特解为,(3). 上述结论也可推广到高阶方程的情形.,特征根:,齐次方程通解:,令非齐次方程特解为,代入方程可得,思 考,若其中非齐次项改为,提示:,原方程通解为,特解设法有何变化 ?,例.,解: (1) 特征方程,有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2) 特征方程,有根,利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为,设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:,例.,且满足方程,提示:,则,问题化为解初值问题:,最后求得,四.欧拉方程,欧拉方程,常系数线性微分方程,第五节,欧拉方程的解法:,则,则由上述计算可知:,用归纳法可证,转化为常系数线性方程:,例.,解:,则原方程化为,亦即,其根,则对应的齐次方程的通解为,特征方程, 的通解为,换回原变量, 得原方程通解为,设特解:,代入确定系数, 得,
