1、1 31.1 平均变化率 学习目标 1.通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率(重点).2. 了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的环境中，说明平均变化率的实际意义(难点).3.了 解平均变化率的正负(易混点) 知识点一 函数的平均变化率 在吹气球时，气球的半径r(单位：dm)与气球空气容量(体积)V(单位：L)之间的函数关系是 r(V) . 3 3V 4 思考1 当空气容量V从0增加到1 L时，气球的平均膨胀率是多少？思考2 当空气容量从V 1 增加到V 2 时，气球的平均膨胀率是多少？梳理 一般地，函数yf(x)在区间x 1 ，x 2 上的平均变化率为_，其中 _是函
2、数值的改变量 知识点二 平均变化率的意义 思考 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？梳理 平均变化率的几何意义：设A(x 1 ，f(x 1 )，B(x 2 ，f(x 2 )是曲线yf(x)上任意不同 的两点，函数yf(x)的平均变化率 _为割线AB的斜率 y x2 类型一 求函数的平均变化率 例1 (1)已知函数f(x)2x 2 3x5. 求：当x 1 4，x 2 5时，函数增量y和平均变化率 ； y x 求：当x 1 4，x 2 4.1时，函数增量y和平均变化率 . y x (2)求函数yf(x)x 2 在x1,2,3附近的平均变化率，取x都为 ，哪一点附近的平均 1 3 变化率最大？反思与感
3、悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量yf(x 2 )f(x 1 )； (2)再计算自变量的改变量xx 2 x 1 ； (3)得平均变化率 . y x fx2fx1 x2x1 跟踪训练1 (1)已知函数f(x)x 2 2x5的图象上的一点A(1，6)及邻近一点 B(1x，6y)，则 _. y x (2)如图所示是函数yf(x)的图象，则函数f(x)在区间1,1上的平均变化率为 _；函数f(x)在区间0,2上的平均变化率为_ 类型二 平均变化率的应用 例2 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存3 在函数关系h(t)4.9t 2 6.
4、5t10. (1)求运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率； (2)求高度h在1t2这段时间内的平均变化率反思与感悟 (1)结合物理知识可知，在第一个0.5 s内高度h的平均变化率为正值，表示 此时运动员在起跳后处于上升过程；在1t2这段时间内，高度h的平均变化率为负值， 表示此时运动员已开始向水面下降事实上平均变化率的值可正、可负也可以是0. (2)平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量) 的平均变化率等等解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量 跟踪训练2 2012年冬至2013年春，我国北部某省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部 门统计，该市小
5、麦受旱面积如图所示，据图回答： (1)2012 年11月至2012年12月间，小麦受旱面积变化大吗？ (2)哪个时间段内，小麦受旱面积增幅最大？ (3)从2012年11月至2013年2月间，与从2013年1月至2013年2月间，试比较哪个时间 段内，小麦受旱面积增幅较大？1若函数f(x)x 2 的图象上存在点P(1,1)及邻近的点Q(1x,1y)，则 的值为 y x _ 2圆的半径r从0.1变化到0.3时，圆的面积S的平均变化率为_ 3如图，函数yf(x)在A，B两点间的平均变化率是_4 4如图，函数yf(x)在x 1 ，x 2 ，x 2 ，x 3 ，x 3 ，x 4 这几个区间内，平均变化率
6、最大的 一个区间是_ 5甲企业用2年时间获利100万元，乙企业投产6个月时间就获利30万元，如何比较和评 价甲、乙两企业的生产效益？(设两企业投产前的投资成本都是10万元)1准确理解平均变化率的意义是求解平均变化率的关键，其实质是函数值增量y与自变 量取值增量x的比值涉及具体问题，计算y很容易出现运算错误，因此，计算时要注 意括号的应用，先列式再化简，这是减少错误的有效方法 2函数的平均变化率在生产生活中有广泛的应用，如平均速度、平均劳动生产率、面积体 积变化率等解决这类问题的关键是能从实际问题中引出数学模型并列出函数关系式，需注 意是相对什么量变化的 提醒：完成作业 第3章 3.1 3.1.
7、15 答案精析 问题导学 知识点一 思考1 平均膨胀率为 0.62 (dm/L) r1r0 10 0.62 1 思考2 平均膨胀率为 . rV2rV1 V2V1 梳理 fx2fx1 x2x1 yf(x 2 )f(x 1 ) 知识点二 思考 如图，表示A、B之间的曲线和B、C之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜 率来量化 如用比值 近似量化B、C这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在x B ，x C 上的 yCyB xCxB 平均变化率 梳理 fx2fx1 x2x1 fx1xfx1 x 题型探究 例1 解 (1)因为f(x)2x 2 3x5， 所以yf(x 1 x)f(x 1 ) 2(x
8、 1 x) 2 3(x 1 x)5(2x 3x 1 5) 2 1 2(x) 2 2x 1 x3x 2(x) 2 (4x 1 3)x. y x 2x24x13x x 2x4x 1 3. 当x 1 4，x 2 5时，x1， y2(x) 2 (4x 1 3)x21921， 21. y x6 当x 1 4，x 2 4.1时，x0.1， y2(x) 2 (4x 1 3)x 0.021.91.92. 2x4x 1 319.2. y x (2)在x1附近的平均变化率为 k 1 f1xf1 x 1x21 x 2x； 在x2 附近的平均变化率为 k 2 f2xf2 x 2x222 x 4x； 在x3 附近的平均变化率为 k 3 f3xf3 x 3x232 x 6x. 当x 时，k 1 2 ， 1 3 1 3 7 3 k 2 4 ，k 3 6 . 1 3 13 3 1 3 19 3 由于k 1 k AB ，即s B s C ， sBsC 1 sBsA 37 所以在2013年1月至2013年2月间，小麦受旱面积增幅较大8 当堂训练 12x 2.0.4 3.1 4.x 3 ，x 4 5解 甲企业生产效益的平均变化率为 . 10010 12 20 15 4 乙企业生产效益的平均变化率为 . 3010 60 10 3 ， 15 4 10 3 甲企业的生产效益较好
