1、控制测量学,第七章 椭球面上的测量计算本章学习主要内容：地球椭球、椭球基本参数、坐标系及其相互关系、椭球面上曲率半径及弧长，大地线定义与微分方程，本章是后续课程的基础。 7-1地球椭球的基本几何参数及相互关系 一、地球椭球的基本几何参数地球椭球参考椭球 具有一定的几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地球椭球叫做参考椭球。地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在该面上进行计算，它是大地测量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地图投影的参考面。,控制测量学,有关元素：O为椭球中心；NS为旋转轴；a为长半轴；b为短半轴；子午圈（或径圈或子午椭圆）；平行圈（或纬圈）；赤道。旋转椭球
2、的形状和大小是由子午椭圆的五个基本几何参数（元素）来决定的，即：椭圆的长半轴： a椭圆的短半轴： b椭圆的扁率： 椭圆的第一偏心率椭圆的第二偏心率,其中：a、b称为长度元素；扁率 反映了椭球体的扁平程度，如=0时，椭球变为球体；=1时，则为平面。,控制测量学,e和e是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，它们也反映了椭球体的扁平程度，偏心率越大，椭球愈扁。五个参数中，若知道其中的两个参数就可决定椭球的形状和大小，但其中至少应已知一个长度元素（如a或b），人们习惯于用a和 表示椭球的形状和大小，便于级数展开。引入下列符号：,式中B为大地纬度，c为极曲率半径（极点处的子午线曲率半径）， 两个
3、常用的辅助函数，W第一基本纬度函数，V第二基本纬度函数，,控制测量学,我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数，1980年西安坐标系应用的是1975年国际椭球参数，而GPS应用的是WGS-84系椭球参数。,控制测量学,二、地球椭球参数间的相互关系,于是有,关系式归纳如下,控制测量学,7-2椭球面上的常用坐标系及其相互关系通常采用以下四种坐标系：大地坐标系、空间直角坐标系（大地测量中两种基本坐标系）、子午平面直角坐标系及大地极坐标系。 一、各种坐标系的建立1、大地坐标系,P点的子午面NPS与起始子午面NGS所构成的二面角叫做P点大地经度，P点的法线Pn与赤道面的夹角B叫P点的大地纬度
4、，P点的位置用L、B表示。,控制测量学,若点不在椭球面上，还要附加另一参数大地高H，它与正常高及正高的关系为：,若点在椭球面上，H=0。,大地坐标系是大地测量的基本坐标系，其优点为：它是整个椭球体上统一的坐标系，是全世界公用的最方便的坐标系统。它与同一点的天文坐标（天文经纬度）比较，可以确定该点的垂线偏差的大小。,控制测量学,2、空间直角坐标系以椭球中心O为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴，在赤道面上与X轴正交的方向为Y轴，椭球体的旋转轴为Z轴，构成右手坐标系O-XYZ，在该坐标系中，P点的位置用X、Y、Z表示。,控制测量学,3、子午面直角坐标系设P点的大地经度为L，在过P点的子午面上，以子
5、午圈椭圆中心为原点，建立x，y平面直角坐标系。在该坐标系中，P点的位置用L，x，y表示。,控制测量学,4、地心纬度坐标系及归化纬度坐标系如图7-5所示。设椭球面上P点的大地经度L，在此子午面上以椭圆中心O为原点建立地心纬度坐标系。连接OP，则POx=称为地心纬度，而0P=称为P点向径，在此坐标系中，点的位置用L、表示。如图7-6所示，设椭球面上P点的大地经度为L，在此子午面上以椭圆中心O为圆心，以椭球长半径a为半径作辅助圆，延长P2P与辅助圆相交于P1点，则0P1与x轴夹角称为P点的归化纬度，用u表示，在此归化纬度坐标系中P点位置用L，u表示。,控制测量学,在这两种坐标中，如果点不在椭球面上，
6、那么应先沿法线将该点投影到椭球面上，此时的地心纬度、归化纬度则是此投影点的纬度值，并且增加坐标的第三量大地高H。子午面直角坐标系及地心纬度、归化纬度坐标系主要用于大地测量公式推导和某些特殊的测量计算。,控制测量学,5、大地极坐标系M为椭圆体面上任意一点，MN为过M点的子午线，S为连结MP的大地线长，A为大地线在M点的大地方位角。以M为极点、MN为极轴、S为极径、A为极角，就构成了大地极坐标系。P点位置用S、A表示。,椭球面上的极坐标（S、A）与大地坐标（L、B）可以互相换算，这种换算叫大地主题解算。,控制测量学,二、各种坐标系间的关系1子午面直角坐标系同大地坐标系的关系这两个坐标系中，L相同，
7、因此，只需推求x，y同B的关系。过P点作法线Pn，与x轴之夹角为B，过P点作子午圈的切线TP，与x轴的夹角为（900+B）。该夹角的正切值为曲线在P点处之斜率，它等于曲线在该点的一阶导数。,P点在以O为中心的子午椭圆上，必须满足：,控制测量学,对x求导，得：,同(7-11)式比较可得：,因此：,上式代入(7-12)，且用 乘上式两边，得：,或,由此可得：,控制测量学,7-16,上式代入(7-14)式得：,7-17,(7-16)(7-17)两式即为子午面直角坐标x、y同大地纬度B的关系式。 2、空间直角坐标系与子午面直角坐标系的关系注意到图7-3与图7-4，空间直角坐标系中的P2P 相当于子午平
8、面直角坐标系中的y， 相当于x，且两者之经度相同，于是可得：,控制测量学,3、空间直角坐标系与大地坐标系的关系 将(7-18)(7-20)两式代入(7-24)式可得：,若将(7-16)(7-17)两式代入上式，则,若P点不在椭球面上，如图所示。设大地高为H，P点在椭球面上的投影为 ,则矢量为,控制测量学,因为：,且外法线单位矢量,因此有：,该式展开即可得到由B、L、H计算X、Y、Z的公式。已知P点的空间直角坐标计算相应的大地坐标，对大地经度L有：,控制测量学,或,大地纬度B的计算比较复杂，通常采用迭代法进行计算，如图所示：,由图可知,控制测量学,上式两端都有B，需进行迭代计算，迭代计算时，B的
9、初值B1由式 确定，用B的初值计算出 N1和sinB1，按(7-32)式进行第二次迭代，直到最后两次B值之差小于允许误差为止。当B已知时，按下式计算大地高：,由于7-32式左右两端具有不同的三角函数，这对于迭代很不方便，为克服这一缺陷，建议采用下面的迭代公式：,式中：,控制测量学,4、大地纬度B，归化纬度u，地心纬度之间的关系1）B与u之间的关系,2）u与之间的关系,3）B与之间的关系,控制测量学,7-3椭球面上的几种曲率半径为在椭球面上进行控制测量计算，须了解椭球面上有关曲线的性质。过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫做法截面；法截面与椭球面的交线叫法截弧（线）
10、。包含椭球面一点的法线可作无数个法截面，相应有无数个法截弧。椭球面上法截线的曲率半径不同于球面上的法截线（大园弧）曲率半径（都等于圆球的半径），而是不同方向的法截弧的曲率半径都不相同。为此先研究子午线及卯酉线的曲率半径。,控制测量学,一、子午圈曲率半径在子午椭圆的一部分上取一微分弧长DK=dS，相应地有(子午面直角坐标系)坐标增量dx，点n是微分弧dS的曲率中心，则线段Dn及Kn即是子午圈曲率半径，用M表示。 由平面曲线的曲率半径定义公式可得：,由微分三角形DKE可得：,7-36,7-37,控制测量学,（dx取负号，是因为在子午面直角坐标系中，点的横坐标随纬度B的增大而缩小），(7-37)式代
11、入(7-36)式，,由(7-16)式可求得：,7-38,上式代入(7-39)式得，,控制测量学,又,则有,(7-43)代入(7-38)则曲率半径为，,7-43,7-44,化简得,控制测量学,二、卯酉圈曲率半径 过椭球面上一点的法线，可作无数个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截所形成的闭合圈称之为卯酉圈。PEE即为过P点的卯酉圈，半径用N表示。,过P点作以O为中心的平行圈PHK的切线PT，该切线位于垂直于子午面的平行圈平面内。因卯酉圈也垂直于子午面，故PT也是卯酉圈在P点处的切线，即PT垂直于Pn。所以PT是平行圈PHK及卯酉圈在P点处的公切线。,控制测量学,由麦尼尔定理知，
12、假设通过曲面上一点引两条截弧，一条为法截弧、一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线，这时斜截弧在该点的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘于两截弧平面夹角的余弦。即,平行圈平面与卯酉圈平面之间的夹角即为大地纬度B,平行圈半径r就等于P点的横坐标x，即：,由此可得卯酉圈半径为：,根据式7-16（P6）,控制测量学,顾及,则上式又可写为,由图看出,也就是说，卯酉圈曲率半径恰好等于椭球面和短轴之间的一段法线的长度，亦即卯酉圈的曲率中心位于椭球的旋转轴上。上述M和N是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，在微分几何中统称为主曲率半径。,控制测量学,三、主曲率半径的计算P12 四、任意法截弧的曲率半径子午法截
13、弧是南北方向，其方位角为00或1800；卯酉法截弧是东西方向，其方位角为900或2700，这两个法截弧在P点上是正交的。现讨论在P点方位角为A的任意法截弧的曲率半径计算公式。根据欧拉公式，由曲面上任意一点主曲率半径计算该点任意方位角A的法截弧的曲率半径的公式为：,控制测量学,上式分子分母同除M，并顾及,则有,上式即为任意方向为A的法截弧的曲率半径的计算公式。为使用方便，将上式展开级数,控制测量学,实际上，总是用平均曲率半径R代替N，,并代入上式，略去 项得,上式即为任意方向法截弧曲率半径的实用公式。从式中可以看出， 不仅与点的纬度B有关，还与过该点的法截弧的方位角有关。当A=00或1800时，
14、 的值最小，此时 （子午曲率半径）当A=900或2700时， 的值最大，此时 （卯酉圈曲率半径）；当A由00900时， 之值由MN；当A由9001800时， 之值由NM。 值的变化是以900为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。,控制测量学,五、平均曲率半径由于 的数值随方位A的变化而变化，给测量带来不便，在测量工作中，往往根据一定的精度要求，在一定范围内，把椭球面当作球面来处理，为此，就要推求该球面的曲率半径-平均曲率半径（就是过椭球面上一点的一切法截弧(0-2），当其数目趋于无穷时，它们的曲率半径的算术平均值的极限，用R表示)。其公式为,或,即椭球面上任意一点的平均曲率半径R等于该点子午圈曲率半
15、径M和卯酉圈曲率半径N的几何平均值。,控制测量学,六、M、N、R的关系椭球面上某一点的M、N、R值均是自该点起沿法线向内量取，其长度通常是不相等的，由前面公式可知它们有如下关系，,只有在极点上，它们才相等，且均等于极曲率半径c，即：,控制测量学,7-4椭球面上的弧长计算在研究与椭球有关的一些测量计算时，例如研究高斯投影计算，往往要用到子午线弧长及平行圈弧长，现推导其计算公式。 一、子午线弧长计算公式子午椭圆的一半，其端点与极点相重合。而赤道又把子午线分成对称的两部分，因此，我们只推导从赤道开始到已知纬度B子午线弧长的计算公式。取子午线上某微分弧 ,令P点纬度为B，P点纬度为B+dB，P点的子午
16、圈曲率半径为M,于是有,控制测量学,要计算从赤道开始到任意纬度B的子午线弧长,必须求出下列积分值:,将积分因子按二项式定理展开为级数形式,为积分方便,将正弦的指数函数化为余弦的倍数函数。则由于:,7-63,控制测量学,于是有:,令常系数:,将其代入(7-63)式中:,积分后得由赤道至子午线上某点的子午弧长公式:,控制测量学,二、由子午线弧长求大地纬度利用子午线弧长反算大地纬度在高斯投影坐标反算公式中要用到，反算公式可以采用迭代法和直接解法。公式参考教材P20。,三、平行圈弧长公式旋转椭球体的平行圈是一个圆，其半径就是圆上任意一点的子午面直角坐标x,如果平行圈上有两点，其经差 ，可写出平行圈弧长
17、公式：,控制测量学,四、子午线弧长和平行圈弧长变化的比较从表中可以看出，单位纬差的子午线弧长随B的增大而缓慢地增大；而单位经差的平行圈弧长则随B的增大而急剧缩短。同时还知，子午弧长1约为110KM，1约为1.8KM，1约为30M；而平行圈弧长仅在赤道附近才与子午线弧长大体相当，随着B的增大它们的差值愈来愈大。 五、椭球面梯形图幅面积的计算由两子午线和两条平行圈围成的椭球表面称为椭球面梯形。现在我们来讨论椭球梯形面积的计算，计算公式如下：,控制测量学,地球椭球的全面积：,7-5大地线我们知道，两点间的最短距离，在平面上是两点间的直线，在球面上是两点间的大圆弧，那么在椭球面上又是怎样一条线呢？经研
18、究确认为它是一条大地线。 一、相对法截线设在椭球面上任取两点A、B，其纬度分别为B1和B2 ，且B1B2。过A、B两点分别作法线与短轴交于 点，与赤道面分别交于 。现证明 将不重合。,控制测量学,由图可知,顾及(7-23)式 ，上式又可写成,故当 时 ， ，故 不重合，因此（1）椭球面上一点的纬度愈高，法线与旋转轴的交点愈低；（2）纬度不同的两点，法线必交于旋转轴的不同点；（3）当两点的纬度不同，又不在同一子午圈上时，这两点的法线将在空间交错而不相交。,控制测量学,因此当两点不在同一子午圈上，也不在同一平行圈上时，两点间就有两条法截线存在。,现假定经纬仪的纵轴同A，B两点的法线 重合（忽略垂线
19、偏差），如此以两点为测站，则经纬仪的照准面就是法截面。用A点照准B点，则照准面 同椭球面的截线为 ，叫做A点的,正法截线，或B点的反法截线；同理，由B点照准A点，则照准面 同椭球面的截线为 ，叫做B点的正法截线，或A点的反法截线。因法线 互不相交，故 这两条法截线不重合。我们把 和 叫做A、B两点的相对法截线。,控制测量学,由上式可知，当 ，说明，某点的纬度愈高，其法线与短轴的交点愈低，即法截线 偏上，而 偏下。由此，现将AB方向在不同象限时，正反法截线的关系表示为图7-18：,当A、B两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反法截线则合二为一，这是一种特殊情况。而通常情况下，正反法截线是不重合
20、的。因此在椭球面上A、B、C三点处所测得的角度（各点上正法截线之夹角）将不能构成闭合三角形。为克服这个矛盾，在两点间另选一条单一的大地线代替相对法截线，从而得到由大地线构成的单一的三角形。,控制测量学,二、大地线的定义和性质椭球面上两点间的最短曲线叫做大地线。在微分几何中，大地线（又称测地线）另有这样的定义“大地线上每点的密切面（无限接近三个点构成的平面）都包含该点的曲线法线”亦即“大地线上各点的主法线与该点的曲面法线重合”。因曲面法线互不相交，故大地线是一条空间的曲面曲线。假如在椭球模型表面A、B两点之间，画出相对法截线，然后在A、B两点上各插一个大头针，并紧贴着椭球面在大头针中间拉紧一条细
21、橡皮筋，并设橡皮筋和椭球面之间没有磨擦力。则橡皮筋形成一条曲线，恰好位于相对法截线之间，这就是一条大地线，由于橡皮筋处于拉力之下，故它实际上是两点的最短线。,控制测量学,不在同一子午圈或不在同一平行圈上的两点的正反法截线是不重合的，它们之间的夹角 ，在一等三角测量中可达千分之四秒，可见此时是不容忽视的。大地线是两点间唯一最短线，而且位于相对法截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间的夹角为,在一等三角测量中， 数值可达千分之一二秒，可见在一等或相当于一等三角测量精度的工程三角测量中是不可忽视的。,控制测量学,大地线与法截线长度之差只有百万分之一毫米，所以在实际计算中，这种长度差异可以忽略不计。
22、但是，根据大地线的性质可知，在椭球面上进行测量计算时，应以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等应归算到相应大地线的方向、距离。 三、大地线的微分方程和克莱洛(克莱劳)方程设P为大地线上任一点，其经度为L，纬度为B，大地方位角为A,当大地线增长dS到P1点时，则上述各量相应变化L+dL，B+dB，A+dA。对应于PP1的过P点的平行圈变化为PP2，PP1P2为一椭球面直角三角形，由于该三角形无限小，可视为平面三角形，因,控制测量学,又,再过P和P1分别作子午线的切线，由于P和P1无限接近，故可视为,两者的切线同交于短轴的延长线上的T点。由PT和P1T所决定的平面可视为通过P和P1点切
23、平面，同时由于P2也无限接近于P1，所以可视为在切平面上，因此由小扇形TPP2可得,7-152,7-149,7-148,控制测量学,(7-148)、(7-149)和(7-152)三个关系式称为大地线微分方程，在解决与椭球体有关的一些测量计算中经常用到。克莱劳方程：,或,式中C也叫大地线常数，该式即为著名的克莱洛方程，也叫克莱洛定理。它表明：在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。克莱洛方程在椭球大地测量学中有重要意义，它是经典的大地主题解算的基础。,控制测量学,某一大地线常数等于椭球半径与该大地线穿越赤道时的大地方位角的正弦乘积，或者等于该大地线上
24、具有最大纬度的那一点的平行圈半径。,7-6将地面观测的方向值归算到椭球面参考椭球面是测量计算的基准面，而野外的各种测量工作都是在地面上进行的，测站点和照准点一般都超过参考椭球面一定高度，观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线，而是各点的垂线，各点的垂线与法线间存在着垂线偏差，因此，也就不能直接在地面上处理观测成果，而应将地面观测元素（方向和距离）归算至椭球面上。,控制测量学,在归算中有两条基本要求：（1）以椭球面的法线为基准；（2）将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。 一、将地面观测的水平方向归算至椭球面-三差改正将水平方向归算至椭球面，包括垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正，习惯上
25、称此三项为三差改正。1.垂线偏差改正地面上所有水平方向的观测都是以垂线为根据的，而在椭球面上则要求以该点的法线为依据。因此在每三角点上，把以垂线为依据的地面观测的水平方向值归算到以法线为依据的方向值而应加的改正定义为垂线偏差改正。,控制测量学,垂线偏差改正同经纬仪垂直轴改正相似，以测站A为中心作出单位半径的辅助球，u是垂线偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分别为 ，M是地面观测目标m在球面上的投影。若 垂直面内，无论观测方向以法线为准或以垂线为准，照准面都是一个，而无需作垂线偏差改正，因此我们把AO方向作为参考方向。若 垂直面内，如果以垂线 为准，照准m点得 ；如果以法线AZ为准，则得OR。由此
26、可见，垂线偏差对水平方向的影响是 ，这个量就是 。垂线偏差的计算公式为：,7-162,控制测量学,式中 是测站点上的垂线偏差在子午圈和卯酉圈上的分量，它们可在测区的垂线偏差分量图中内差取得，从(7-162)式中可以看出，垂线偏差改正的数值主要与测站点的垂线偏差和观测方向的天顶距（或垂直角）有关。,控制测量学,2.标高差改正,标高差改正又称由照准点高度引起的改正。我们知道，不在同一子午面或不在同一平行圈上的两点的法线是不共面的。因此，当进行水平方向观测时，如果照准点高出椭球面某一高度，则照准面就不能通过照准点的法线同椭球面的交点，由此引起的方向偏差的改正称标高差改正以 表示。,控制测量学,A为测
27、站点，若测站点观测值已加垂线偏差改正，则可认为垂线与法线一致。这时测站点在椭球面上或者高出椭球面某一高度，对水平方向是没有影响的。这是因为测站点法线不变，则通过某一照准点只能有一个法截面，为此我们设A在椭球面上。标高差改正的计算公式为：,式中B2为照准点大地纬度，A1为测站点至照准点的大地方位角；H2为照准点高出椭球面的高程，它由三部分组成：,7-163,控制测量学,H常为照准点标石中心的正常高，为高程异常，a为照准点的觇标高。 其中 是照准点纬度B2相应的子午圈曲率半径。实用中为计算方便，设,则(7-163)式变为：,K1在测量计算用表集（之一）中有表列数值，以照准点的高程H2（单位米）和照
28、准点纬度B2为引数查取。由上可知，标高差改正主要与照准点的高程有关。经此项改正后，便将地面观测的水平方向值归化为椭球面上相应的法截弧方向。,控制测量学,3.截面差改正,在椭球面上，纬度不同的两点由于其法线不共面，所以在对向观测时相对法截弧不重合，应当用两点间的大地线代替相对法截弧。这样将法截弧方向化为大地线方向应加的改正叫截面差改正，用 表示。,截面差改正计算公式为,式中S为AB间大地线长度， 为测站点纬度B1相对应的卯酉圈曲率半径。,控制测量学,4.三差改正的计算为了在内业计算时不影响外业观测精度，各等三角测量在归算时对取位的要求是不同的。按作业中的有关规定：一等需算至0.001/；二等为0
29、.01/；三等和四等为0.1/。在一般情况下，一等三角测量应加三差改正；二等三角测量应加垂线偏差改正和标高改正，而不加截面差改正；三等和四等三角测量可不加三差改正，但当 或H2000m时，则应分别考虑加垂线偏差改正和标高差改正。即对特殊情况应依测区实际情况具体分析，然后再确定是否加入三差改正。经过三差改正后，最后得到椭球面上相应的各大地线的方向值。,控制测量学,二、将天文方位角归化为大地方位角-起始方位角在布设国家天文大地网时，为了控制三角网中方位角传算误差的积累，要求在一等三角锁的两端和中央，以及二等网的中间等处，都要在起始边的两个端点上，用天文观测的方法测定它们的天文经度 、天文纬度 和该
30、边的天文方位角 。在特种工程测量控制网中，有时也有这样的要求。天文方位角是以测站的垂线为依据的，因此必须将它归算至椭球面以测站点相应的法线为依据的大地方位角A，这种归算又称起始方位角的归算。将天文方位角归化为大地方位角的计算公式是：,控制测量学,式中A为测站点到照准点的大地方位角，为测站点处相应方向的天文方位角；L为测站点的大地经度； 为测站点的天文经度； 为测站点的天文纬度； 为垂线偏差改正数。当照准点目标高度不大时，天顶距Z接近于900时， 可勿略不计，因此上式可写为：,该式又称为拉普拉斯方程式，大地方位角又叫拉普拉斯方位角，在三角点上观测天文经度、天文纬度时，该点叫拉普拉斯点。,三、观测
31、天顶距受垂线偏差影响的改正用三角高程方法测定相邻三角点的大地高差时，在三角点P1和P2上必须进行天顶距的观测，,控制测量学,设观测值分别为 。但在地面上观测天顶距是以垂线为依据的，而计算两点间的大地高差是以法线为依据，即这时要用归化后的天顶距 计算大地高差，因此对观测天顶距应加垂线偏差改正数。垂线偏差在测线的分量为,由图可知，大地天顶距 的计算公式为,控制测量学,式中A为测站点至照准点的大地方位角。利用上式公式计算出的大地天顶距Z可用于计算高差，此高差称为大地高差。但三角高程测量的精度是有限的，若提高其计算精度，必须设法克服大气折光的影响，同时要在天顶观测值中引入垂线偏差改正数。,7-7 将地
32、面观测的长度归算到椭球面根据测边使用仪器的不同，地面长度的归算可分为两种：一是基线尺量距的归算；二是电磁波测距的归算，现分别进行研究。 一、基线尺量距的归算,控制测量学,将基线尺测量求得的长度加入尺段倾斜改正后，可认为它是基线平均水准面上的长度值，用S0 表示。而我们所求的是椭球面上的大地线的长度S，因此产生了长度归算问题。1. 垂线偏差对长度归算的影响由于垂线偏差的存在，使得垂线和法线不一致，水准面不平行于椭球面。为此在长度归算中应首先消除这种影响。假设垂线偏差沿基线是线性变化的，则垂线偏差u对长度归算的影响式是：,式中 和 为在基线端点1和2处垂线偏差在基线方向上的分量； 为各个测段测量的
33、高差总和；H1和H2为基线端点1和2处的大地高。,控制测量学,从式中可以看出，垂线偏差对基线长度归算的影响，主要与垂线偏差分量u及基线端点的大地高差 有关，其数值一般比较小，此项改正是否需要应结合测区及计算精度要求的实际情况进行具体分析。2. 高程对长度归算的影响假设基线两端点已经过垂线偏差改正，则基线平均水准面平行于椭球体面。此时由于水准面离开椭球体面一定距离，也引起长度归算的改正。 如图AB为平均高程水准面上的基线长度，以S0 表示，现要计算其在椭球面上的长度S，由图可知,控制测量学,由此得椭球面上的长度为,式中 即基线端点平均大地高程；R为基线方向法截线曲率半径，按(7-85)式计算。,
34、如果将上式展开级数,取至二次项，则有,由此式可得由高程引起的基线归化改正数公式,控制测量学,可见此项改正数主要与基线的平均高程及长度有关。顾及以上两式，则有地面基线长度归算到椭球面上长度的公式为：,二、电磁波测距的归算,电磁波测距仪测得的长度是连接地面两点间的直线斜距，也应将它归算到参考椭球面上。如图大地点Q1和Q2的大地高分别为H1和H2 ，其间用电磁波测距仪测得的斜距为D，现要求大地点在椭球面上沿法线的投影点Q1和Q2间的大地线的长度S。,控制测量学,我们知道：1) 在椭球面上两点间大地线长度与相应法截线长度之差是极微小的，故可忽略不计，这样可将两点间的法截线长度认为是该两点间的大地线长度
35、；2) 两点间的法截线长度与半径等于其起始点曲率半径的圆弧长相差也很微小(如当S=640KM时，之差等于0.3米；S=200KM时，之差等于0.005m)。由于工程测量中边长一般为几公里，最长也不过十几公里，因而，这种差异又可忽略不计。因此所求的大地线长度可以认为是半径 相应的圆弧长。则在平面三角形 Q1 Q2 O中，由余弦定理得：,控制测量学,又,由以上两式得：,化简得：,上式按反正弦函数展开级数并舍去五次项得：,控制测量学,此式即为电磁波测距的归算公式。式中大地高H由两项组成：一是正常高，一是高程异常。为保证S的计算精度不低于 10-6级，当D10KM时，必须达1m。大地高H本身的精度应达
36、5m级，而平均曲率半径RA达1公里即可。现对上式进一步简化如下,控制测量学,式中 显然，上式右端第二项是由于控制点之高差引起的倾斜改正的主项。经过此项改正，测线已变成平距；第三项是由于平均测线高出参考椭球面而引起的投影改正，经过此项改正后，测线已变为弦线；第四项则是由弦长改化为弧长的改正项。(7-177)式也可用下式表达：,式中第一项显然是经高差改化后的平距。 将以上两式同(7-177)式相比较，我们便得两点间的弦长为，,控制测量学,此式在某些运算中有时用到。经过以上各项改正的计算，即将地面上用电磁波测距仪测得的两点间的斜距化算到参考椭球面上。,7-8椭球面上三角形的解算前面几节的方法可以将地
37、面上的方向、起始边长及起始方位角归化到椭球体面，从而得到椭球面上由大地线组成的三角形。该网中少数的起始边是已知的，但其余各边长度是未知的，因此需通过三角形的解算求得。 一、用勒让德尔定理解算球面三角形,控制测量学,椭球面上的三角形是由大地线组成的，而大地线是一条空间曲线，该曲线上每一点处的曲率半径各不相同，因此三角形解算就变得十分复杂了。经研究表明：半径为140KM范围内的椭球面可当作球面上的一部分看待，球的半径可选择为三个曲面接触点的平均曲率半径。若在半径为140KM的圆内绘一内接等边三角形，则每边的长度为240KM。这就是说，当三角形边长小于240KM时，就可把它当作球面三角形解算，两者对
38、应的边长相等，对应角之差小于0.001/。国家一等三角形的平均边长在25KM左右，所以将其当作球面三角形来解算精度完全可以保证。,控制测量学,勒让德尔定理:如果平面三角形和球面三角形对应边相等，则平面角等于对应球面角减去三分之一球面角超。设球面三角形 的三边为 ，球面角超为 ；另一平面三角形 ，其三边也为 ，但它们的角度与球面三角形的对应角度有如下关系：,控制测量学,即如果球面三角形的各角减去三分之一球面角超，就可得到一个对应边相等的平面三角形，从而达到解算球面三角形的目的。 二、球面角超计算球面角超 的计算公式为：S为平面三角形的面积。球面角超定义：,f值可以以纬度为引数，在专门的数表中查取
39、。,控制测量学,化算平面角需要用球面角超，而球面角超的计算又需要用平面角，因此可直接用球面角代替平面角计算球面角超，虽然带有误差，但研究表明：当边长不大于90km时，这种误差小于0.0005，可忽略。 三、球面三角1、正弦公式,2、余弦公式,或,控制测量学,练习思考题 1、试推证子午圈曲率半径的计算公式。 2、简要叙述M、N、R三种曲率半径之间的关系。 3、在子午面直角坐标系和大地坐标系中，推求子午面直角坐标x、y与大地坐标L和B的关系。 4、大地坐标系和天文坐标系各以什么作基准面和基准线？ 5、卯酉圈曲率半径N与子午圈曲率半径M何时有最大值？何时有最小值？,控制测量学,6、某椭球面三角形ABC（见图7-1），其平均纬度Bm=3350，起算边长AC=b=47652.597m，三角形的三个内角观测值为 =704603.49，=650515.01，=440845.68，试解算椭球面三角形ABC（计算表格参考表7-2和表7-3）。,
