1、1 31.5 空间向量的数量积 学习目标 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质 和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些 简单的问题 知识点一 空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 a， b， OA OB 则AOB叫做向量a，b的夹角 记法 a，b 范围 a，b0，当a，b 时，a_b 2 知识点二 空间向量的数量积 (1)定义 已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab. (2)数量积的运算律 数乘向量与向量数量积的结合律 (a)b(ab) 交换律 ab
2、ba 分配律 a(bc) abac (3)数量积的性质 若a，b是非零向量，则 abab0 若a与b同向，则ab|a|b|； 若反向，则ab|a|b|. 特别地，aa|a| 2 或|a| aa 若为a，b的夹角，则cos ab |a|b| 两个 向量 数量 积的 性质 |ab|a|b|2 题型一 空间向量的数量积运算 例1 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1， 点E，F 分别是AB，AD的中点，计算： (1) ；(2) ；(3) ；(4) . EF BA EF BD EF DC BF CE 解 (1) EF BA 1 2 BD BA | | |cos ， 1 2 BD
3、BA BD BA 11cos 60 ， 1 2 1 4 所以 . EF BA 1 4 (2) | | |cos ， 11cos 0 ， EF BD 1 2 BD BD BD BD 1 2 1 2 所以 . EF BD 1 2 (3) | | |cos ， 11cos 120 ， EF DC 1 2 BD DC 1 2 BD DC BD DC 1 2 1 4 所以 . EF DC 1 4 (4) ( ) ( ) BF CE 1 2 BD BA 1 2 CB CA ( ) ( ) 1 4 BD BC BA BC BD CA BA CA ( ) 1 4 BD BC BA BC CD CB CA AB
4、 AC ( ) . 1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 8 反思与感悟 由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和a，b ， a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使ab计算准确 跟踪训练1 已知空间向量a，b，c满足abc0，|a|3，|b|1，|c|4，则 abbcca的值为_ 答案 13 解析 abc0，(abc)20， a2b2c22(abbcca)0， abbcca 13. 321242 2 题型二 利用数量积求夹角3 例2 如图，在空间四边形OABC中， OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与B
5、C所成角的余弦值 解 因为 ， BC AC AB 所以 OA BC OA AC OA AB | | |cos ， | | |cos ， OA AC OA AC OA AB OA AB 84cos 13586cos 12016 24. 2 所以cos ， . OA BC OA BC |OA |BC | 2416 2 8 5 32 2 5 即OA与 BC所成角的余弦值为 . 32 2 5 反思与感悟 利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：(1)根据题设条件在所求的 异面直线上取两个向量；(2)将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题；(3)利用向 量的数量积求角的大小；(4)证明两向量垂
6、直可转化为数量积为零 跟踪训练2 如图所示，正四面体ABCD的每条棱长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点， 求证：MNAB，MNCD. 证明 ( ) ( ) MN AB MB BC CN AB MB BC 1 2 CD AB ( ) MB BC 1 2 AD 1 2 AC AB a 2 a 2 cos 120 a 2 cos 60 a 2 cos 600， 1 2 1 2 1 2 所以 ，即MNAB.同理可证MNCD. MN AB 题型三 利用数量积求距离 例3 正三棱柱ABCA 1 B 1 C 1 的各棱长都为2，E、F分别是AB、A 1 C 1 的中点，求EF的长4 解 如图所示，设
7、 a， b， c.由题意知|a|b|c|2， AB AC AA1 且a，b60， a，cb，c90. 因为 EF EA AA1 A1F 1 2 AB AA1 1 2 AC a bc， 1 2 1 2 所以EF 2 | | 2 2 a 2 b 2 c 2 EF EF 1 4 1 4 2 ( 1 2 a 1 2 b 1 2 bc 1 2 ac ) 2 2 2 2 2 2 2 22cos 60 1 4 1 4 ( 1 4 ) 11415， 所以EF . 5 反思与感悟 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思 路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的
8、形式，求出这几个已 知向量两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a| 求解即可 aa 跟踪训练3 如图，已知一个60的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面 内且垂直于AB的线段又知AB4，AC6，BD8，求CD的长 解 CAAB，BDAB， ， 120. CA BD ，且 0， 0， CD CA AB BD CA AB BD AB | | 2 ( )( ) CD CD CD CA AB BD CA AB BD | | 2 | | 2 | | 2 2 CA AB BD CA BD | | 2 | | 2 | | 2 2| | |cos ， CA AB BD CA BD CA BD
9、 6 2 4 2 8 2 268( )68， 1 2 | |2 ，故CD的长为2 . CD 17 17 1若a，b均为非零向量，则ab|a|b|是a与b共线的_条件 答案 充分不必要5 解析 ab|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b1a，b0，当a与b反 向时，不能成立 2已知 a，b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|_. 答案 7 解析 |a3b| 2 (a3b) 2 a 2 6ab9b 2 16cos 6097.|a3b| . 7 3对于向量a、b、c和实数，下列命题中的真命题是_(填序号) 若ab0，则a0或b0； 若a0，则0或a0； 若a 2 b 2 ，则ab或a
10、b； 若abac，则bc. 答案 解析 对于，可举反例：当ab时，ab0； 对于，a 2 b 2 ，只能推得|a|b|，而不能推出ab； 对于，abac可以移项整理得a(bc)0. 4设向量a，b满足|ab| ，|ab| ，则ab_. 10 6 答案 1 解析 |ab| 2 (ab) 2 a 2 2abb 2 10， |ab| 2 (ab) 2 a 2 2abb 2 6， 将上面两式左、右两边分别相减，得4ab4， ab1. 5若向量a，b满足：|a|1，(ab)a，(2ab)b，则|b|_. 答案 2 解析 由题意知Error!即Error! 将2得，2a 2 b 2 0， b 2 |b| 2 2a 2 2|a| 2 2， 故|b| . 2 求空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角；利用数量积求两异面直线所成的角，关键 在于在异面直线上构造向量，找出两向量的关系；证明两向量垂直可转化为证明两个向量的 数量积为零，求线段长度转化为求向量的模
