1、1 第2课时 充要条件 学习目标 1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，使学生明白 对充要条件的判定应该归结为判断命题的真假 知识点一 充要条件 一般地，如果既有pq，又有qp 就记作_pq. 此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件显然，如果p是q的充要条件， 那么q也是p的充要条件 概括地说，如果pq，那么p与q互为充要条件 思考 (1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题这种说法对吗？ (2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ 答案 (1)正确若p是q的充要条件，则pq，即p等价于q，故此说法正确 (2)p是q的充要
2、条件说明p是条件，q是结论 p的充要条件是q说明q是条件，p是结论 知识点二 常见的四种条件与命题真假的关系 如果原命题为“若p，则q” ，逆命题为“若q，则p” ，那么p与q的关系有以下四种情形： 原命题 逆命题 p与q的关系 真 真 p是q的充要条件 q是p的充要条件 真 假 p是q的充分不必要条件 q是p的必要不充分条件 假 真 p是q的必要不充分条件 q是p的充分不必要条件 假 假 p是q的既不充分也不必要条件 q是p的既不充分也不必要条件 知识点三 从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件 若AB，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的 充分不必要条件2 若BA，则p是q的必要条
3、件，若BA，则p是q的 必要不充分条件 若AB，则p，q互为充要条件 若A B且B A，则p既不是q的充分条件，也不 是q的必要条件 其中p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立 题型一 充要条件的判断 例1 (1)“x1”是“x 2 2x10”的_条件 答案 充要 解析 解x 2 2x10得x1，所以“x1”是“x 2 2x10”的充要条件 (2)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？ 在ABC中，p：AB，q：sin Asin B； 若a，bR，p：a 2 b 2 0，q：ab0； p：|x|3，q：x 2 9. 解 在ABC中，显然有ABsin Asin B， 所以p是q的充要条件
4、 若a 2 b 2 0，则ab0，即pq；若ab0， 则a 2 b 2 0，即qp，故pq，所以p是q的充要条件 由于p：|x|3q：x 2 9，所以p是q的充要条件 反思与感悟 判断p是q的充要条件的两种思路 (1)命题角度：判断p是q的充要条件，主要是判断pq及qp这两个命题是否成立若 pq成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若qp成立，则p是q的必要 条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件 (2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断pq及qp的真假时， 也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合大集合”的关系来理解，这对解决与逻 辑
5、有关的问题是大有益处的 跟踪训练1 (1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是_ ab0 ab0 a 2 b 2 0 a 2 b 2 0 (2)“函数yx 2 2xa没有零点”的充要条件是_3 答案 (1) (2)a0，则a、b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a 2 b 2 0. (2)函数没有零点，即方程x 2 2xa0无实根，所以有44a0. 设方程x 2 (2k1)xk 2 0的两个根为x 1 ，x 2 . 则(x 1 1)(x 2 1)x 1 x 2 (x 1 x 2 )1 k 2 2k11k(k2)0. 又(x 1 1)(x 2 1)(x 1 x 2 )2 (2k1)22k1
6、0， x 1 10，x 2 10. x 1 1，x 2 1. 综上可知，方程x 2 (2k1)xk 2 0有两个大于1的根的充要条件为k0恒成立的充要条件 解 当a0时，2x10不恒成立 当a0时，ax 2 2x10恒成立 Error!a1. 所以不等式ax 2 2x10恒成立的充要条件是a1. 1对于非零向量a，b， “ab0”是“ab”的_条件 答案 充分不必要 解析 当ab0时，得ab，所以ab，但若ab，不一定有ab0. 2已知集合A1，a，B1,2,3，则“a3”是“AB”的_ 答案 充分不必要 解析 a3时，A1,3，AB，当AB时，a2或3. 3已知：“a2” ；：“直线xy0与
7、圆x 2 (ya) 2 2相切” ，则是的 _条件 答案 充要 解析 a2时，直线xy0与圆x 2 (y2) 2 2相切；当直线xy0与圆 x 2 (ya) 2 2相切时，得 ，a2.是的充要条件 |a| 2 2 4已知直线l 1 ：xay60和直线l 2 ：(a2)x3y2a0，则l 1 l 2 的充要条件是 a_. 答案 1 解析 由13a(a2)0得a3或1，5 又a2a360，所以a3，所以a1. 5命题p：x0，yy， ，则p是q的_条件 1 x 1 y 答案 充要 解析 当x0，yy且 成立， 1 x 1 y 当xy且 时，得Error!Error! 1 x 1 y 所以p是q的充要条件 1.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法 2充要条件的证明与探求 (1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明在证明时要注意两种叙述方式的区别： p是q的充要条件，则由pq证的是充分性，由qp证的是必要性； p的充要条件是q，则由pq证的是必要性，由qp证的是充分性 (2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都 可逆，也可以直接求出充要条件
