1、1第 1 章 时域离散信号和系统1.1 引 言本章内容是全书的基础。学生从学习模拟信号分析与处理到学习数字信号处理，要建立许多新的概念，数字信号和数字系统与原来的模拟信号和模拟系统不同，尤其是处理方法上有本质的区别。模拟系统用许多模拟器件完成，数字系统用运算方法完成。如果对本章中关于数字信号与系统的若干基本概念不清楚，那么在学习数字滤波器时，会感到不好掌握，因此学好本章是很重要的。1.2 本章学习要点(1) 关于信号 模拟信号、时域离散信号、数字信号三者之间的区别。 如何由模拟信号产生时域离散信号。 常用的时域离散信号。 如何判断信号是周期性的，其周期如何计算。(2) 关于系统 什么是系统的线
2、性、时不变性，以及因果性、稳定性；如何判断。 线性、时不变系统输入和输出之间的关系；求解线性卷积的图解法、列表法、解析法，以及用 MATLAB 工具箱函数求解。 线性常系数差分方程的递推解法。 用 MATLAB 求解差分方程。 什么是滑动平均滤波器，它的单位脉冲响应是什么。21.3 习题与上机题解答1.1 用单位脉冲序列及其加权和表示图 P1.1 所示的序列。解： ()2)(1)2(1)2()3()(4)2(6)xnnnnn1.2 给定信号4,()0,其 他(1) 画出 x(n)的波形，标上各序列值；(2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示 x(n)序列；(3) 令 ，画出 的波形；1()
3、2)xn1()xn(4) 令 ，画出 的波形。2解：(1) 画出 x(n)的波形，如图 S1.2.1 所示。图 P1.1 图 S1.2.1(2) 。()4()2(3)(1)4(1)4(2)(3)4()xnnnnn-(3) 画出 的波形，如图 S1.2.2 所示。1x(4) 画出 的波形，如图 S1.2.3 所示。2()n1.3 判断下列信号中哪一个是周期信号，如果是周期信号，求出它的周期。3图 S1.2.2 图 S1.2.3(a) (b) (c) sin1.2sin9.7j1.6en(d) (e) (f) co(3/7)3co 8Aj8解：(a) 是非周期信号。sin1.2(b) 是周期信号，
4、 ，取 M = 97，周期为 20。i9.7 2209.7M(c) 是周期信号， ，取 M = 4，周期为 5。j1.6 en 51.64(d) 是周期信号， ，周期为 14。co(3 /7)213/7(e) 是周期信号，周期为 14。s 8An(f) 是非周期信号。1j8en总结以上，如果数字频率 不是 的函数，则一定是非周期序列。1.4 对图 P1.1 给出的 x(n)，要求：(1) 画出 x(n)的波形； (2) 计算 ，并画出 的波形；e1()()2xnxne()xn(3) 计算 ，并画出 的波形；o1()()2xo()(4) 令 ，将 和 x(n)进行比较，你能得出什么结论？1eo(
5、)()xnn1解：(1) 画出 x(n)的波形如图 S1.4.1 所示。4(2) 将 图 P1.1 所 示 波 形 和 图 S1.4.1 所 示 波 形 相 加 再 除 以 2， 得 到 的 波 形 ， 如e1()()2xnxn图 S1.4.2 所示。图 S1.4.1 图 S1.4.2(3) 将图 P1.1 所示波形和图 S1.4.1 所示波形相减，再除以 2，得到 的波形，如o1()()2xnxn图 S1.4.3 所示。图 S1.4.3(4) 令 ， 画 出 波 形 ， 得 到 。 另 外 ， 由 波 形 得 到 1eo()()xnxn1eo()()xnxne()xn是 x(n)的偶对称序列
6、， 是 x(n)的奇对称序列。这是一个具体例子，但12xno()2可以推广到一般情况，结论是对于一般实序列可以分解成偶对称序列 和奇对称序列 ，即 eo()xn()，式中 ， 。eo()xne1()()2xnxno()1()2xn1.5 以下序列是系统的单位脉冲响应 h(n)，试说明系统是否是因果的和稳定的。(1) (2) (3) (4) 21()un1!u3()nu3()nu(5) (6) (7)0.3()0.3()n(4)解：(1) ，系统是因果、不稳定。 (2) ，系统是因果、稳定的。21()un 1()!un5(3) ，系统是因果的，但不稳定。 (4) ，系统是非因果、稳定的。3()n
7、u 3()nu(5) ，系统是因果、稳定的。 (6) ，系统是非因果的，不稳定。0. 0.11.6 假设系统的输入和输出之间的关系分别如下式所示，试分别分析系统是否是线性时不变系统。(1) (2) ()38ynx()1)ynx(3) (4) 0.5(1)n解：(1) ()38yx将上式中的 n 用 代替，得到 。令 ，因000()3()8ynxn00()()3()8ynTxxn此 ，系统是时不变系统。0()()ynTx令系统的输入信号为两个信号的线性组合 ，则输出为12()()xabx，1212()()3()8ynaxbnaxbn12238, ()3()8 TnTbxn因为 ，因此该系统不服从
8、线性叠加原理，是非线性系统。()TT(2) ()ynx分析方法同上，该系统是时不变非线性系统。(3) ()0.5(1)ynxn由上式有 000()().5(1)ynxxn.T因此 ，该系统是时不变系统。00()()ynxn令系统的输入信号为两个信号的线性组合 ，则输出为12()()xnabxn12 2()()0.50.5(1)ynTaxb bxn1220.5(), ()() nxTx因为 ，因此该系统服从线性叠加原理，是线性系统。1212()()Taxb(4) yn由上式得到 000()()()ynnxTx6这样 ，该系统不是时不变系统。按照差分方程，可把系统看成是一个放大器，00()()yn
9、Txn放大器的放大量是 n，因为该放大量随 n 改变，从物理概念上讲，该系统也是一个时变系统。令系统的输入信号为两个信号的线性组合 ，则输出为12()()xanbx，1212()()()ynTaxbnab122, ()()TanTbxn因为 ，因此该系统服从线性叠加原理，是线性系统。xT1.7 按照图 P1.7 完成下面各题。图 P1.7(1) 根据串并联系统的原理直接写出总的系统单位脉冲响应 h(n)；(2) 设 ， ，1()40.5()3)nhu23()1hnu，(4h试求总的系统单位脉冲响应 h(n)，并推出 y(n)和输入 x(n)之间的关系。解：(1) 。12345()hnh(2)
10、在下面的推导中，用一些常用的公式，会使推导简便，它们是， ； ，()()xnxn00()()nxn()1)nu()()unn在(1)式中， 3411(hu2()()()h1()0.5340.5(2)4()21)(2)nnu nn234()()21) 67h uu12345()7()(43)7)5(6)3)hhunn或者 ()(1hn)()2(1)4()yxhxuxxn71.8 由三个因果线性时不变系统串联而成的系统如图 P1.8(a)所示，已知分系统2()(2)hnun整个系统的单位脉冲响应如图 P1.8(b)所示。(1) 求分系统单位脉冲响应 ；1()hn(2) 如果输入 ，求该系统的输出
11、y(n)。()xn图 P1.8解：(1) 按照图 P1.8(a)写出系统的单位脉冲响应如下： 12()()hnhn式中， 。22()()(hnunR2)()(21)(2)h n 121 1()()(21hnnhhn )()()h已知 h(n)，求 。上式是一个递推公式，用递推法求解。求解时注意系统是一个因果系统。1()； ；0, 11, ()2(0)53nh； ；112()2()0613h 13(62h； ；4, 384nh 15, ()4)0； 。116()(5) 172(65nh最后得到当 n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,时， 1() 32 10hn,8(2) 121
12、2()()()()()ynxhnhnxnhn1 111 (1)(2)(3)()()(3) nn将已求出的 代入上式，得到1hn当 n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,时, 。()1, 453, 4, 51, 0yn1.9 计算并画出图 P1.9 所示信号的卷积 。()xhn图 P1.9(a) ，原点在 6 处，波形如图 S1.9.1(a)所示。(),061,584,063,1xnh (b) ，原点在 18 处，波形如图 S1.9.1(b)所示。, (c) ，原点在第一个 2 处，波形如图 S1.9.1(c)所示。(),012,0,xnh (d) ，原点在第一个 1 处，波形如
13、图 S1.9.1(d)所示。, 9图 S1.9.11.10 证明线性卷积服从交换率、结合率和分配率，即证明如下等式成立：(1) (2) ()()xnhxn 1212()()()xnhnxhn(3) 1212()()hxnh解：证明如下：(1) 因为 ()()mxnhxhn令 m()()()(mxnhxnhnx(2) 利用上面已证明的结果，得到122121()()()()()mxnhnxhnxhnm21()()kxhnmk交换求和号的次序，得到 1221211()()()()()()(kmkxnhnhxhnhxnkh 10(3) 1212()()()()mxnhnxhnm1212()()()()
14、mxhnxhnxhn1.11 已知系统的输入 x(n)和单位脉冲响应 h(n)，试求系统的输出 y(n)。(1) (2) 54(), xnRh 4()2, ()()xhnR(3) (4) 32), (0.5()nR 5, ()0.5nRu(5) 1,6()30nx其 他 1,2()0hn其 他(6) ,5()nax其 他 ,4()n其 他解：(1) ，原点在第一个 1 处。54()(),0123,4,10ynRn (2) ， 原 点 在 第 一 个 2 处 。444()2)()()(2),0,2,Rn (3) 。2333()0.5().()0.5()nnnyn R(4) 该题解的方法和主教材中
15、的例题 1.3.3 相同，； ， ，n0，y(n) = 05()()()()nmmynhxRaun4m，非零值范围为 ，因此04010()nnmaya，非零区间为 ，因此5n04m4510()nmaya11结果为 1510,0(),4,nnay(5) 。751()()()2)3ynxhnR为了计算方便，将上式写成 75()3*()()*2)ynxhnRn采用列表法，计算过程如表 S1.11.1 所示。表 S1.11.1 m 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 63x(m) 0 1 2 3 4 5 6h(m) 1 1 1 1 1h(m) 1 1 1 1 1 3y(0) = 3h(1m) 1
16、1 1 1 1 3y(1) = 6h(2m) 1 1 1 1 1 3y(2) = 10h(3m) 1 1 1 1 1 3y(3) = 15h(4m) 1 1 1 1 1 3y(4) = 21 h(1m) 1 1 1 1 1 3y(1) = 1h(2m) 1 1 1 1 1 3y(2) = 0，原点在 3 处。(),036,52,08,6,yn (6) ,()nax其 他 1,04()nhn其 他12，9()(3)nxaR5()hnRmy由 得到 。9(3)Rm5由 得到 。5n4mn； ax3,4min5,， ；0n343(1)()nay， ；15454()()nnm， ；69n54104()
17、()nnmnay最后得到 3146,30,5(),910,nnayan其 他1.12 如果线性时不变系统的输入和输出分别为(1) 10, 30,12()nxn其 他 10, 2,0, 123()nyn其 他(2) 2, , 3()0其 他 2, , ()0其 他试求出相应的系统单位脉冲响应。解：这是一个简单的解线性卷积的题目，可用递推法求解。(1) 211110()()()(2)mynxhnxhnxhn； ；1, 3(2), 01, 13(), 3h；, 0, nh, n22, 13得到 120, ,10()3nhn其 他(2) 3222220()()()(3)()mynxhnxxh21, 4
18、, ()0nhn其 他1.13 已知因果系统的差分方程为 ()0.5(1)(0.5(1)ynxn求系统的单位脉冲响应 h(n)。解：用递推法求解，令 ，y( 1) = 0，y( n) = h(n)，)x1122hn；0, n1()(0)2h；, 112；12, ()nh23, ()归纳起来，结果为 。1()()(2nhun1.14 设系统的差分方程为 ，y( 1) = 0。分析系统是否是线性、时不()(, 01yaxa变系统。解：分析的方法是让系统输入分别为 ， ， 时，求它的输出，再检查是否满()n)()n足线性叠加原理和非时变性。(1) ，系统的输出用 表示：()xn1()y1()(nay
19、n该情况在主教材例题 1.5.21.4.1 中已求出，系统的输出为 。)au14(2) ，系统的输出用 表示：()1)xn2()yn2(1)()ayn0,2() 01 n2(0),2() 1yaa ,n12()n最后得到 。 ()yau(3) ，系统的输出用 表示：()(1)xnn3)n(1)(1)yan0,33) 01n()()a2, 233) 121yaa 3()() ,n13()nya最后得到 。 ()()nua由(1)和(2)得到 12(), 1ynTyT(1)因此，可断言这是一个时不变系统。情况(3)的输入信号是情况(1)和情况(2)的输入信号的相加信号，因此 。观察 ，得到 ，因此
20、该系统是线性系3()()1)ynTn123()()ynyn， ， 312()()ynyn统。最后得到结论：用差分方程 描述的系统，当初始条件为零时，是一个线, 0axa性时不变系统。1.15 习题 1.6 和习题 1.14 都是由差分方程分析系统的线性时不变性质，为什么习题 1.6 没给初始条件，而习题 1.14 给了初始条件？解：系统用差分方程描述时，分析其线性时不变性质，需要给定输入信号求输出，因此需要已知差分方程的初始条件，是几阶差分方程就需要几个初始条件，习题 1.6 的差分方程是零阶的，因此不需要初始条件，而习题 1.14 是一阶的，因此需要一个初始条件。1.16 设系统的单位脉冲响
21、应为 ，系统的输入 x(n)是一些观察数据，设()3/80.5()nhu150(),xn，试用递推法求系统的输出 y(n)。递推时设系统的初始状态为零。12,k 解： 033()()0.5().5, 088nmmynxhxuxn0, 0()1, n101033().5(.)88mynxx2, 220120().(5)mx 最后得到 。03().58nmyx1.17 如果线性时不变系统的单位脉冲响应为 ()(), 1nhau求系统的单位阶跃响应。解：单位阶跃响应是系统输入单位阶跃序列时系统的零状态响应，因此该题即是求系统对单位阶跃序列的响应。系统的单位阶跃响应用 y(n)表示，即()()maua
22、un非零值区间为 ， ，0mn最后得到 。10()nay1.18 已知系统的单位脉冲响应 h(n)和输入信号 x(n)分别为(, (10)nhauu求系统的响应。解： ()()()()10)nnynhxauau利用习题 1.17 的结果，得到1619911() ()nnnaya1.19 已知系统用下面的差分方程描述： ()0.7(1)2(2)ynxn(1) 求系统的单位脉冲响应；(2) 求系统的单位阶跃响应。解：(1) 令 (), (1)0xny().7(1)2(2)nynn = 0， 0n = 1， ().()()0.714n = 2， 2712().0yn = 3， ()0.().0n =
23、 4， 23(.7)2().(.7)1.4()0.8().nhyun或者 ()4.().04826()nn(2) 该题可以直接由差分方程求单位阶跃序列的响应，因为上题已求出系统的单位脉冲响应，因此可以直接用线性卷积求解。令 ，系统的单位阶跃响应用 表示，则()xu()uhn()uhn()0.48.72.048()1.26()(uhn un利用习题 1.17 的结果得到 10.70.48.7().48.360.952.7nn nu从而有 ().136.9520.()2.().428()uhn uu.048()71.6nnn1.20* 已知两个系统的差分方程分别为(1) ()0.6(1).08(2
24、)(ynynx17(2) ()0.7(1).(2)(2)ynynxn分别求两个系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应（只求前 30 个序列值即可）。解：(1) 系统差分方程的系数向量为 B1 = 1; A1 = 1, 0.6, 0.08。(2) 系统差分方程的系数向量为 B2 = 2, 0, 1; A2 = 1, 0.7, 0.1。调用 MATLAB 函数 filter 计算两个系统的系统单位脉冲响应和单位阶跃响应的程序 ex120.m 如下：程序 ex120.mB1 = 1;A1 = 1,0.6, 0.08; 设差分方程(1)系数向量B2 = 2,0,1; A2 = 1,0.7,0.1; 设差分方
25、程(2)系数向量=系统 1xn = 1,zeros(1,30); x(n)=单位脉冲序列，长度 N=31hn1=filter(B1,A1,xn); 调用 filter 解差分方程，求系统输出信号 h(n)n=0:length(hn1)1;subplot(3,2,1);stem(n,hn1,.)title(a) 系统 1 的系统单位脉冲响应);xlabel(n);ylabel(h(n)xn=ones(1,30); x(n)=单位阶跃序列，长度 N=31sn1=filter(B1,A1,xn); 调用 filter 解差分方程，求系统输出信号 h(n)n=0:length(sn1)1;subplo
26、t(3,2,2);stem(n,sn1,.)title(b) 系统 1 的单位阶跃响应);xlabel(n);ylabel(s(n)=系统 2xn=1,zeros(1,30); x(n)=单位脉冲序列，长度 N=31hn2=filter(B2,A2,xn); 调用 filter 解差分方程，求系统输出信号 h(n)n=0:length(hn2)1;subplot(3,2,5);stem(n,hn2,.)title(a) 系统 2 的系统单位脉冲响应);xlabel(n);ylabel(h(n)18xn=ones(1,30); x(n)=单位阶跃序列，长度 N=31sn2=filter(B2,A
27、2,xn); 调用 filter 解差分方程，求系统输出信号 s2(n)n=0:length(sn2)1;subplot(3,2,6);stem(n,sn2,.)title(b) 系统 2 的单位阶跃响应);xlabel(n);ylabel(s_2(n)程序运行结果如图 S1.20.1 所示。0 10 20 3000.20.40.60.81(a) 位位1位位位位位位位位位nh1(n)0 10 20 3000.511.522.5 (b) 位位1位位位位位位位ns1(n)0 10 20 30-0.500.511.52(a) 位位2位位位位位位位位位nh2(n)0 10 20 3001234 (b)
28、 位位2位位位位位位位ns2(n)图 S1.20.11.21* 已知系统的差分方程和输入信号分别为，1()(2)2ynxn(1,234,xn用递推法计算系统的零状态响应。解：调用 MATLAB 函数 filter 计算该系统的系统响应的程序 ex121.m 如下：调用 filter 解差分方程，求系统响应序列B=1,0,2;A=1,0.5; 设差分方程系数向量xn=1,2,3,4,2,1,zeros(1,24); x(n)长度 N=30yn=filter(B,A,xn); 调用 filter 解差分方程，求系统输出信号 y(n)19n=0:length(yn)1;subplot(3,2,1);
29、stem(n,yn,.)title(a) 系统 1 的系统单位脉冲响应);xlabel(n);ylabel(y(n)程序运行结果如图 S1.21.1 所示。1.22* 如系统的差分方程为 12()()()(ynaynbx式中， 。120.8 ,.64, 0.86ab(1) 编写求解系统单位脉冲响应 的程序，并画出 ；(), 49hn()hn(2) 编写求解系统零状态单位阶跃响应 的程序，并画出 ；, 01sn, 01sn(3) 利用(1)中的 的一段形成一个新的系统，该系统的单位脉冲响应为()hnFIR(),014hn其 他编写求解这个新系统的单位阶跃响应的程序；(4) 比较(2)和(3)中求
30、得的单位阶跃响应的特点。解：调用 MATLAB 函数 filter 计算该系统的系统响应的程序 ex122.m 如下：数字信号处理 原理、实现及应用第 1 章上机题 1.22 程序 ex122.m 电子工业出版社出版 高西全 丁玉美 阔永红编著 2006 年 8 月调用 filter 解差分方程，求系统单位脉冲响应和单位阶跃响应B=0.866;A=1,0.8,0.64; 差分方程系数向量=(1) 求解系统单位脉冲响应，并画出 h(n) xn=1,zeros(1,48); x(n)=单位脉冲序列，长度 N=31hn=filter(B1,A1,xn); 调用 filter 解差分方程，求系统输出信
31、号 h(n)n=0:length(hn)1;subplot(3,2,1);stem(n,hn,.)title(a) 系统的单位脉冲响应 );xlabel(n);ylabel(h(n)图 S1.21.120=(2) 求解系统单位阶跃响应，并画出 h(n) xn=ones(1,100); x(n)=单位阶跃序列，长度 N=100sn=filter(B,A,xn); 调用 filter 解差分方程，求系统单位阶跃响应 s(n)n=0:length(sn)1;subplot(3,2,2);stem(n,sn,.);axis(0,30,0,2)title(b) 系统的单位阶跃响应);xlabel(n);
32、ylabel(s(n)=(3) 求解截取 15 点的 FIR 系统单位阶跃响应，并画出 s(n) for m=1,15,hnfir(m)=hn(m);endsn=filter(B,A,xn); 调用 filter 解差分方程，求系统单位阶跃响应 s(n)n=0:length(sn)1;subplot(3,2,6);stem(n,sn,.);axis(0,30,0,2)title(c) FIR 系统的单位阶跃响应 );xlabel(n);ylabel(s(n)程序运行结果如图 S1.22.1 所示。图 S1.22.1图 P1.22.1(b)和(c)的波形基本相同，由此可见，有些 IIR 数字滤波
33、器可以用 FIR 数字滤波器逼近，FIR数字滤波器的单位脉冲响应可以通过截取 IIR 数字滤波器的单位脉冲响应的一段得到，截取长度足够长时，逼近误差很小。1.23* 在图 P1.23 中，有四个分系统 ，分别用下面的单位脉冲响应或者差分方程描述：1234,T和21111, , , 0, 23,45:()2486320nThn其 他 21, , 0, 123, 45:()0nThn其 他3:()(1)()yxx4:().9().8()(1)yyvn编写程序计算整个系统的单位脉冲响应 。,09hn图 P1.23解：由图 P1.23 可知，可以采用以下步骤计算整个系统的单位脉冲响应 。设 ，()hn
34、()xn，该式调用 conv 函数计算。123()()vnhnh，该式调用 filter 函数计算。4T调用 MATLAB 函数 conv 和 filter 计算该系统响应的程序 ex123.m 如下：数字信号处理 原理、实现及应用第 1 章上机题 1.23 程序 ex123.m 电子工业出版社出版 高西全 丁玉美 阔永红编著 2006 年 8 月调用 conv 和 filter 求总系统单位脉冲响应序列h1n=1,1/2,1/4,1/8,1/16,1/32; 对 h1(n)赋值 h2n=ones(1,6);h3n=1/4,1/2,1/4,zeros(1,97);计算 v(n)=h1(n)*h
35、2(n)+h3(n)h12n=conv(h1n,h2n); h12n=h12n,zeros(1,89);vn=h12n+h3n;调用 filer 计算 h(n)等于 T4 对 v(n)响应B4=1,1;A4=1,0.9,0.81;hn=filter(B4,A4,vn);22以下为绘图部分n=0:length(hn)1;subplot(2,1,1);stem(n,hn,.)xlabel(n);ylabel(h(n)程序运行结果如图 S1.23.1 所示。图 S1.23.11.24 (a) 写出 3 项滑动平均滤波器的差分方程和单位脉冲响应。(b) * 设 3 项滑动平均滤波器的输入信号为 ，画出
36、该滤波器的输入和输出的前 15 个序列值。sin(/6)u解：(a) 3 项滑动平均滤波器的差分方程和单位脉冲响应分别为 11()()1)(2) ()()1)(2)33ynxnxhnn(b) x(n)= si/6u滤波程序 ex124.m 如下：%数字信号处理原理、实现及应用习题 1.24 程序 ex124.mB=1,1,1/3;A=1; %设置系统函数系数向量 B 和 An=0:30;xn=sin(n*pi/6); %产生 x(n)的 20 个样值yn=filter(B,A,xn); %对 x(n)平滑滤波subplot(3,2,1);stem(n,xn,.);xlabel(n);ylabe
37、l(x(n);subplot(3,2,3);stem(n,yn,.);xlabel(n);ylabel(y(n);程序运行结果如图 S1.24.1 所示。231.25* 假设 5 项滑动平均滤波器的输入信号用图 P1.25 表示，画出该滤波器输出的前 16 个序列值的波形，并说明该滤波器对输入信号起什么作用。图 S1.24.1 图 P1.25解：5 项滑动平均滤波器的差分方程为 1()()1)(2)(3)(4)5ynxnxnx调用 MATLAB 函数 filter 计算该系统响应的程序 ex125.m 如下：%数字信号处理原理、实现及应用 第 1 章上机题 1.25 程序 ex125.m% 电
38、子工业出版社出版 高西全 丁玉美 阔永红编著 2016 年 7 月%调用 conv 实现 5 项滑动平均滤波xn=0.5*ones(1,15);xn(4)=1;xn(8)=1;xn(11)=1;hn=ones(1,5);yn=conv(hn,xn);n=0:length(yn)-1;subplot(2,1,1);stem(n,yn,.)xlabel(n);ylabel(y(n)程序运行结果如图 S1.25.1 所示。24图 S1.25.1由 图 形 看 出 5 项 滑 动 平 均 滤 波 器 对 输 入 波 形 起 平 滑 滤 波 作 用 ， 将 信 号 的 第 4, 8, 11, 16 的 序 列 值 平 滑 去 掉 。
