1、1,2 行列式的基本性质与计算,一、行列式的基本性质,二、行列式按任一行（列）展开,2,定义3 设,一、行列式的基本性质,性质1. 行列式与它的转置行列式相等,即,3,因为,性质2. 互换两行(列),行列式改变符号.,注：由性质1可知, 行列式中行与列具有同等地位, 行列式的性质凡是对行成立的, 对列也成立, 反之亦然.,所以,4,注: 换行:,换列:,即,例如:,5,又如:,推论1. 若行列式 中某一行(列)的所有元素均为零,则,证明: 当第一行元素全为0时,即,由行列式定义知 D = 0;,6,若第 i 行(i1)的元素全为0, 即,(第 i 行),= 0.,证毕.,7,推论2. 若行列式
2、D 中有两行(列)完全相同,则D=0.,证明: 将相同的两行互换,有,性质3. 若行列式中某行(列)的所有元素是两个数的和,则D可表示成两个新行列式之和.即,8,9,证明:当,i=1时，由行列式的定义知,10,当i1时，把第i行与第一行互换，再按上面的方法把行列式拆成两个行列式之和，然后再把这两个行列式的第i行与第一行互换即可,11,性质4. 行列式中某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 即,证:当i=1时，由行列式的定义知,12,当i1时，把第i行与第一行互换，根据上面的结论，可把第一行的公因子提到行列式外，然后再互换第一行和第i行，即得该命题,13,(第 j 行),推论2
3、,0.,(第 i 行),也就是,推论3. 若行列式 D 中有某两行(列)对应元素成比例, 则 D=0.,14,性质5 把行列式中某一行(列)的各元素乘以常数k 后加到另一行(列)对应的元素上去, 行列式保持不变, 即,15,又,注意:,注: 利用上述性质和推论可以简化行列式的运算,即可把行列式化成上三角(或下三角)行列式来计算.,16,例1. 计算,解:,D,17,18,例2. 计算,解:,从第四行开始, 后行减去前行, 得,19,20,例3：计算4阶行列式：,分析：对于爪型行列式，方法：将3爪的一个边爪变成0，将其转化为上（下）三角行列式,第二讲 行列式的运算,21,型,22,23,例3.
4、计算n 阶行列式,解: 此行列式的特点是各行 n 个数之和均为a+(n-1)b, 故把第二列至第 n 列都加到第一列上去:,24,25,解法二(镶边法) 当a,b相等时，行列式为0,当a,b不等时,26,27,例：计算,解：,28,29,30,引理 一个n阶行列式，如果其中第i行(或第j列)所有元素除 外都为零，那末此行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即,二、行列式按任一行(列)展开,根据行列式的定义和性质1, 我们知道行列式等于它的第一行(列)的各元素与它们对应的代数余子式的乘积之和.,事实上可以证明更一般的结论. 为此先证明以下引理.,例如,31,也就是: 若,则,32,(1). 当 位
5、于第一行第一列的情形, 即,证明: 先证,由定义, 按第一行展开得,(2). 再证一般情形(第 i 行除 外,其它元素全为零), 此时,33,得,34,其中,得,35,36,于是,证毕.,定理一. 行列式等于它的任一行(列)的各元素与它们对应的代数余子式乘积之和，即,行列式按行（列）展开法,或,证明: 把行列式 D 的第 i 行的每个元素按下面的方式拆成 n 个数的和, 再根据性质3, 可将 D 表示成 n 个行列式之和:,37,38,证毕.,同理, 若按列证明, 可得,推论. 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证明: 不妨设 i j, 考虑辅助行
6、列式,39,第 i 行,第 j 行,其中第i行与第 j行对应元素相同,于是得,40,上述证法按列进行, 同理可得,证毕.,小结: 关于代数余子式的性质有:,(1).,(2).,或简写成:,41,例1. 利用定理一计算前面的例1,解:,42,43,例2. 计算,解: 按第一行展开,有,44,45,递推公式,46,例3.,证明范德蒙(Vandermonde)行列式,说明:,47,下面我们来证明范德蒙(Vandermonde)行列式.,证明: 用数学归纳法.,因为,48,49,按归纳法假设, 有,故,50,计算n阶行列式,其中,51,计算,52,下面用数学归纳法证明上式成立 假设n=k-1等式成立，即,则当n=k时，将行列式按第k列展开,得,综上,等式成立.,53,54,常见的行列式计算法,1.用定义 2.化为三角行列式 3.每行(列)元素之和为同一常数 4.奇数阶的反对称行列式为零,(n为奇数）,55,所以,56,镶边法 归纳法 递推法 利用范德蒙行列式,57,思考题,求：,设,求,58,求,解：,59,4.设行列式,则第四行各元素余子式之和的值=( ).,解:,
