1、目录,第1章 集合 习题 参考答案 第2章 关系与映射 习题 参考答案 第3章 命题逻辑 习题 参考答案 第4章 一阶逻辑 习题 参考答案 第5章 群与环 习题 参考答案 第6章 格与布尔代数 习题 参考答案 第7章 图论 习题 参考答案,第一章 集合,(一) 填空题,1.已知集合A ，则A的幂集合=_. 2.设全集E=a,b,c,d,e,A=a,b,c,B=a,d,e,则 , AB=_, A-B=_,AB=_. 3.设A,B是两个集合,其中A=1,2,3,B=1,2, 则A-B=_, 4. 设A= ,B= , 则A-B=_, B- A=_,A=_,B=_. 5.由集合运算的吸收律, =_,
2、=_,核对本页答案,（二）计算题,1.设集合A 判定下列各命题是否正确，并说明理由. (1) ; （2） ; (3) a (4) . 2.设全集 ，有下列子集：,B= , C= , D= . 求下列集合 (1) ; (2) A ; (4) .,核对本页答案,（二）计算题,3.设集合A ，Ba,b,c,试求：AB1 ; (2) ; (3) ; (4) .,核对本页答案,（三）证明题,四 . 设A，B，C为三个任意集合，试证明： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.,.,核对本页答案,第二章 关系与映射,（一）填空题,1.设集合Aa, b, c, d,A上的关系R(a, a),(a
3、, c),(b, d),则关系 _. 2.设集合A1,2,3,4,R为A上的一个二元关系，R(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,3), (3,4),(4,1),(4,3),(4,4),则R的关系矩阵 _, R的关系图为_.,核对本页答案,（一）填空题,3.设 4.设集合A=1,2,3, 则,核对本页答案,（一）填空题,5.设集合Aa, b，B1,2,则A到B的所有映射是_,其中双射是_. 6.设集合Aa, b, c, d,A上的二元关系R(a, a), (a, c), (b, a), (c, c), (c, d), (d, c),则的关系矩阵 _, 的
4、关系图_.,核对本页答案,7.设集合A1,2,3,A上的二元关系R的关系图如图2-9所示，则关系R具有的性质是_. 8. 设集合A0,1,2,3,4,5,A上的关系R=(0,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,4), (4,5), (5,4), (5,5),则R在A上构成的等价类是_.,（一）填空题,核对本页答案,9.设集合Aa, b, c, d, e,A上的半序关系R的哈斯图2-10所示，则A的极大元为_,极小元为_.,（一）填空题,核对本页答案,（二）证明题,1.设 是集合A，B上的二元
5、关系，求证：(1) (2) (3) (4) 若 2.设R为集合A上的二元关系，求证：3.设R是集合A上的关系，如果R是自反的和传递的，证明： .,核对以上答案,核对此题答案,（二）证明题,4.设集合A，B，C， A,B上的二元关系， 是B，C上的二元关系，求证：(1) (2) 5. 设R是集合A上的二元关系，则(1) R是对称的，当且仅当 ；(2)R是传递的，当且仅当 ；,核对本页答案,6. 设 集合A上的二元关系，若 ，求证：(1) ; (2) ; (3) . 7.设映射 是双射，则,（二）证明题,核对本页答案,（三）计算题,1.设集合Aa，b，c,A上的二元 关系 分别为：，试分别用定义和
6、矩阵运算求：2.设集合A1，2，3, 是A上的二元关系，分别为 ，（1）试分别写出 的关系矩阵；（2）分别画出 的关系图；（3）判定 各具有关系的哪几种性质（自反性、对称性、反对称性、传递性）？,核对本页答案,3.设集合Aa，b，c,R是集合A上的关系，求 ， 并分别画出它们的关系图. 4.设集合Aa，b，c，d, A上的二元关系R的关系图如图 2-13所示。试求 ，并画出它们的关系图。,（三）计算题,核对此题答案,核对此题答案,5.设R是集合A1，2，3，4，5，6上的关系，(1)验证R是等价关系； (2)画出R的关系图； (3)写出A关于R的等价类. 6.设集合A1，2，3，12, R为整
7、除关系， （1）画出半序集(A,R)的哈斯图； （2）写出集合A的最大元，最小元，极大元和极小元； （3）写出A的子集B3,6,9,12的上界，下界，最小上界和最大上界.,（三）计算题,核对此题答案,核对此题答案,7. 设 是实数集合R上的三个映射， 其中 ，对 ， 试求复合映射 和 ，并指出这些映射中哪些是双 射？,（三）计算题,核对本页答案,第三 章 命题逻辑,(一) 填空题 1. 已知命题公式G=(P(QR),则所有的使G取真值为1的解释是 . 2. 已知命题公式G=(PQ)R,则 G的主析取范式是 .,核对以上答案,(二)计算题 1.设命题逻辑公式G=(R (PQ) S,写出G的析取范
8、式与合取范式.2.求命题公式G的住析取范式,其中G= (PQ R) (PQ) (QR),核对此题答案,核对此题答案,(三)证明题 1.证明(方法不限): ( (P (Q) (Q R) =Q (P R)2.利用蕴涵定义证明: (P Q)(R Q) R P,核对本页答案,3.判断公式 G=（PQ）(QR) P)R是恒真的.4.利用形式演绎法证明: AB,B C,CD 蕴涵 AD.,核对本题答案,核对本题答案,5.利用推演法证明: (P Q) ( P ( PQ) = P Q 6.利用将公式化为范式的方法,证明:G=H. 其中 G=(AB) (AB),H= ( AB) (BA).,核对本题答案,核对本
9、题答案,第四章 一阶逻辑,(一) 填空题 设一阶逻辑公式 ,则G的前束范式 . 设D:a,b,将表达式中的量词消除后,与之等价的命题公式是 .,核对本页答案,(二) 证明题 1.利用一阶逻辑的基本等价式,证明:2. 试用解释的方法,证明:,核对本题答案,核对本题答案,(三) 计算题 1.将下面的命题符号化: 某些人对某些食物过敏; 对于任一个正整数,总存在一个更大的正整数.(i)设D:正整数集合;(ii)设D:非空个体名称集合.,核对本页答案,2.设P(x):x是人;F(x,y):x是y的父亲;M(x,y):x是y的母亲. 试用谓词公式表示:x是y的外祖父. 3.设一阶逻辑公式:把G化成前束范
10、式.,核对本页答案,第五章 群与环,(一)填空题 1. 设G是由12个元素构成的循环群,a是G的 一个生成元素,则G有 个子群.G的生成 元素集合是 . 2. 把置换,核对本页答案,写成轮换的乘积是 ,写成对换的乘积 是 . 3. 设集合M=1,2,3,G是M上的置换群, H=I,(1,3)是G的子群,则H的右陪集为. 4. 设循环群G有6个元素,a是生成元素,则G 的全部子群是 .,核对本页答案,(二)计算题 1. 设G是由M=1,2,3,4上的偶置换在置换 的乘法下做的群,写出G的所有元素及所有元数4的子群.,核对本页答案,核对本页答案,核对本页答案,第六章 格与布尔代数,（一）填空题 设
11、L是一个集合， ， 是L中两个二元运算。如果这两个二元运算满足_律，_律和_律，则(L, , )称为是一个格。 设格中表达式E=（a b)(c d)，则E的对偶表达式 _。 设(L, , ，0, 1 )是有界格，a是L中的一个元素，如果存在元素b，使得_，_，则b称为a的余元素。 设(L, , ，0, 1 )是布尔代数，a,b,c是集合B中任意元素，则(a b)+(a c )+(a c) +(a )=_。,核对本页答案,（二）证明题 设（L, )是一个分配格，a,b,cL证明： (a b)ca (bc) 设（L, )是分配格，x,y是格中任意元素，如果对格中某个元素a，有ax=ay, a x=
12、a y则 x=y。 设(B, ,+, - ,0,1)是布尔代数， a,b,cB，证明： (a+b) =( b)+(a )。 设(B, ,+, - ,0,1)是布尔代数， a,b,cB ，证明：如果ca，则有 (a b)+c=a (b+c)。,核对以上答案,核对以上答案,（三）计算题 设(B, ,+, - ,0,1)是布尔代数，a,b,cB，化简abc+ab +bc+ bc+ . 设(B, ,+, - ,0,1)是布尔代数， a,b,cB，化简(a )+c) (a+b) c.,核对本页答案,第七章 图论,（一）填空题 设G是完全二叉树，G有15个点，其中有8个叶点，则G有_条边，G的总度数是_，
13、G的分枝点数是_，G中度数为3的顶点数是_ 。 无孤立点的有限有向图有欧拉路的充要条件是_ 。 设图G的相邻矩阵为则G的顶点数为_ ，边数为_ 。,核对本页答案,对图7-21二叉树的点 先根遍历的次序是_，中根遍历的次序是_。,D,C,B,A,H,G,F,M,J,图7-21,L,K,I,E,N,核对本页答案,（二）证明题 一株恰有两个度为1的树必是一条路。 设G=(P,A)是有向图，其中含有向路（ e1, en） ，其中fin(en)=init(e1)。试证明G不是有向树。（三）计算题 1. 写出图7-23所示图的关联矩阵和相邻矩阵。,v1,v4,v3,v2,l6,l5,l4,l3,l2,l1
14、,l8,l7,图7-23,核对以上答案,核对此题答案,设P=a,b,c,d,e,f，画出图G=(P,L)。其中(1) L1 =ab,ac,af,be,bf,cd,cf,de,df,ef;(2) L2 =ab,ac,ad,ae,af,bc,cd,de,ef,fb.并问(1), (2)中的图是否同构？ 3. 根据如下的相邻矩阵，画出它所对应的图G。,核对此题答案,核对此题答案,4. 求图7-24琐碎权图中从u到v的最短路。,图7-24,5. 分别用三种不同的遍历方式写出对图7-25中二叉树点的访问次序。,I,H,G,F,E,D,C,A,B,M,L,K,J,图7-25,核对本页答案,已知一棵二叉树在
15、中根遍历下各点的次序是：BFDGACIJHKE。在后根遍历下的次序是：FGDBJIKHECA。试找出这样的一棵二叉树，并问这样的二叉树是否唯一。求图7-26中权图的最优支撑树。,2,1,2,8,7,3,3,3,3,4,4,5,5,5,5,6,6,6,7,图7-26,核对此题答案,核对此题答案,8. 判断7-27中各图是否是欧拉图。,(b),图7-27,核对本页答案,判断图7-28中各图是否试哈密顿图，若是找出一条哈密顿路；否则说明原因。,（d）,（c）,（b）,（a）,图7-28,核对本页答案,参考答案,第一章 集合,（一）填空题 1. 2. 3. 4.5.,继续答题,继续答题,继续答题,继续
16、答题,继续答题,第一章 集合,6. 等幂，零一，同一，互补. 7. ； 8. 9. 10.,继续答题,继续答题,继续答题,继续答题,继续答题,第一章 集合,（二）计算题 1.(1),(3),(4)正确, (2)不正确； 2.(1) A; (2) 3; (3) B;(4)2,4,8,9,16,32; 3.略.,继续答题,继续答题,继续答题,第一章 集合,（三）证明题 1. 反复利用 2.两边分别证明等于 3.从左边证明等于右边. 4,5,6,7,8利用定义证明. 9.证 因为 ，所以 ，于 是，原等式左边,继续答题,第二章 关系与映射,（一）填空题 1. 2.,继续答题,继续答题,第二章 关系与
17、映射,3. 4. 5.6.,继续答题,继续答题,继续答题,继续答题,第二章 关系与映射,7.自反性、反对称性、传递性. 8. 9.（二）证明题 1.用定义证明.参考教材P40定理4中已经证明的小题.,继续答题,继续答题,继续答题,继续答题,第二章 关系与映射,2，3, 用定义证明. 4，5, 用定义证明. 6. 证 （1）因为 ，所以 ，即（2）因为 ，而 ，所以 ，由定义， 是包含 的最小对称关系， 是对称的，所以 （3） 同（2）. 7. 按定义证明.,继续答题,继续答题,继续答题,继续答题,第二章 关系与映射,（三）计算题 1.2. （1）（2） （3）,继续答题,继续答题,第二章 关系
18、与映射,图8-3,继续答题,第二章 关系与映射,3.它们的关系图如图84所示.,图 8-4,继续答题,第二章 关系与映射,4.它们的关系图如图85所示.,图85,继续答题,5.（1）因为R具有自反性、对称性和传递性，所以R是等价关系.（2） R的关系图如图8-6所示.（3）.A的关于R的等价类是,第二章 关系与映射,继续答题,6.（1）半序集的哈斯图如图8-7所示.（2） 无最大元，最小元是1，极大元是8，12，9，10，7，11，极小元是1； （3）无上界，下界是1，3，无最小上界，最大下界是3.,第二章 关系与映射,图 8-7,继续答题,7.（完）,第二章 关系与映射,继续答题,第三章 命
19、题逻辑,（一） 填空题 1.1,0,0,1,0,1，1,1,0.2.（PQ R）（P Q R） （P Q R）.,继续答题,继续答题,第三章 命题逻辑,（二）计算题1.G的析取范式为（RP）（RQ）（RS） S P） （ S Q）S 合取范式（ R S ） （P Q S）,继续答题,第三章 命题逻辑,2.（PQ R）（PQR）（PQ R）（P Q R） （三）证明题 1.略. 2.设（PQ）（R Q）R为1，则有R为1，且R Q为1，故Q为其1；又PQ为1，故P为1。,继续答题,继续答题,继续答题,第三章 命题逻辑,3. G（P Q）（Q R）P）R （P Q）（Q R） P R （Q P）（
20、Q R） Q Q PR.,继续答题,第三章 命题逻辑,4. （1）AB 规则P （2）AB 规则Q，根据（1） （3）A 规则D （4）B 规则Q1，根据（2），（3） （5）BC 规则P （6）BC 规则Q，根据（5） （7）C 规则Q，根据（4），（6） （8）CD 规则P （9）D 规则Q，根据（1），（8） （10）A D 规则D，根据（3），（9）,继续答题,第三章 命题逻辑,5.（PQ）（P （ P Q） （PQ）（P （ P Q） （PQ）（P Q） （P Q）（P Q） P （Q（P Q） P Q,继续答题,第三章 命题逻辑,6. G（AB）（AB） （AB）（A B） A （
21、 B B） A H（AB）（BA） （A B）（ B A）A （B B ）A,继续答题,第四章 一阶逻辑,(一)填空题(二)证明题,继续答题,继续答题,第四章 一阶逻辑,继续答题,继续答题,第四章 一阶逻辑,继续答题,第四章 一阶逻辑,继续答题,第四章 一阶逻辑,(三)计算题,继续答题,第四章 一阶逻辑,继续答题,继续答题,第五章 群与环,(一)填空题,继续答题,继续答题,继续答题,继续答题,第五章 群与环,(三)计算题,继续答题,第五章 群与环,继续答题,第五章 群与环,继续答题,继续答题,第五章 群与环,继续答题,第五章 群与环,继续答题,第六章 格与布尔代数,（一）填空题 1.交换律，结
22、合律和吸收律； 2. =(ab) (cd) 3.a+b=1, ab=0, 4. a。,继续答题,继续答题,继续答题,继续答题,（二）证明题 1.提示：由分配律(a b)c=(ac) (bc)，再由aca知(ac) (bc) a (bc)。 2.提示：x=x (xa)=(x x)(x a)=x(a y) =(xa) (xy)=(ay) (xy)=(a x)y =(a )y=y。,第六章 格与布尔代数,继续答题,继续答题,3.提示：由德摩根律 ，然后对等式左端使用分配律。 4.提示：由ca知c=a c，所以(a b)+c=(a b)+(a c)=a (b+c)。 （三）计算题 1. b； 2. a
23、c+bc。,第六章 格与布尔代数,继续答题,继续答题,继续答题,继续答题,（一）填空题 1. 14,28,7,6； 2. 平衡的，强连通的； 3. 5,8； 4. 先根次序为：ABDEHKLCFIGJMN中根次序为：DBKHLEAFICGMJN。,第七章 图论,继续答题,继续答题,继续答题,继续答题,（二）证明题 1.（略）。 2. 提示：证G中有一有向回路，从而可知G不是有向树。,第七章 图论,继续答题,继续答题,（三）计算题 1.,第七章 图论,继续答题,2.图与如图8-8所示，二图同构，双射 为：,f,e,d,c,b,图8-8,a,第七章 图论,继续答题,v5,v4,v3,v2,v1,v
24、6,图8-9,如图8-9所示。,第七章 图论,继续答题,是其中一条最短路，长为12。 先根次序：ABDFIJGKMCEHL;中根次序：IFJDGKMBACEHL;后根次序：IJFMKGDBLHECA.,第七章 图论,继续答题,继续答题,6. 对应的二叉树如图8-10所示，它是唯一的。,J,I,H,G,F,E,D,C,B,A,K,图8-10,第七章 图论,继续答题,所求最优支撑树如图8-11。(a)不是哈密顿图，因为(a)不是平衡图。(b)是欧拉图。,1,5,4,3,2,2,3,3,3,图8-11,第七章 图论,继续答题,继续答题,9. (a)不是哈密顿图。(b)是哈密顿图，如图8-12(a)。(c)是哈密顿图，如图8-12(b)。(d)不是哈密顿图。,图8-12,（a）,（b）,第七章 图论,继续答题,
