1、1已知抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点 A（2，0） ，与 y 轴的交点为B（0， -1） (1)求抛物线的解析式；(2)在对称轴右侧的抛物线上找出一点 C，使以 BC 为直 径的圆经过抛物线的顶点 A并求出点 C的坐标以及此时圆的圆心 P 点的坐标(3)在（ 2）的基础上，设直线 x=t（0t10）与抛物线交于点 N，当 t 为何值时，BCN 的面积最大，并求出最大值解析：（1）已知抛物线的顶点坐标，可直接设抛物线的解析式为顶点式进行求解.（2）设 C 点坐标为（x,y）,由题意可知 .过点 C 作 轴于点 D,连接 AB,AC.易证 ,根据对应线段成比例得出 的关系式 ，再根据点 C
2、在抛物线上得 ，联立两个关系式组成方程组，求出的值，再根据点 C 所在的象限确定点 C 的坐标。P 为 BC 的中点，取 OD 中点 H，连 PH，则 PH 为梯形 OBCD 的中位线可得 ,故点 H 的坐2标为（5,0）再根据点 P 在 BC 上，可求出直线 BC 的解析式，求出点 P 的坐标。（3）根据 ,得 ，所以求 的最大值就是求 MN 的最大值，而 M,N 两点的横坐标相同，所以 MN 就等于点 N 的纵坐标减去点 M 的纵坐标,从而形成关于 MN 长的二次函数解析式，利用二次函数的最值求解。解：(1) 抛物线的顶点是 A(2,0)，设抛物线的解析式为 .由抛物线过 B(0,-1)
3、得 ， 抛物线的解析式为 .即 (2)设 C 的坐标为( x，y).A 在以 BC 为直径的圆上 .BAC=90作 CDx 轴于 D ,连接 AB、AC , AOBCDA OBCD=OAAD3即1 =2(x-2). =2x-4点 C 在第四象限.由 解得 点 C 在对称轴右侧的抛物线上.点 C 的坐标为 (10,-16)P 为圆心， P 为 BC 中点取 OD 中点 H，连 PH，则 PH 为梯形 OBCD 的中位线PH= (OB+CD)= D(10,0)H(5,0)P (5, ) 故点 P 坐标为(5 ， )(3)设点 N 的坐标为 ，直线 x=t（0t10）与直线 BC 交于点 M.，所以 设直线 BC 的解析式为 ，直线 BC 经过 B(0,-1)、C (10,-16)4所以 成立，解得：所以直线 BC 的解析式为 ，则点 M 的坐标为.MN= = =所以，当 t=5时， 有最大值，最大值是 .点拨：（1）已知抛物线的顶点坐标（h,k）一般可设其解析式为 .(2)求最值问题一般考虑根据已知条件构造二次函数求解.
