1、1习题六1. 求映射 下，下列曲线的像.1wz(1) ( ，为实数)2xya0解： 221i=+ixyuvz, 2xuya所以 将 映成直线 .1wz2x1ua(2) (k 为实数).x解： 22iyzx22kxuvxyyvk故 将 映成直线 .1wzku2. 下列区域在指定的映射下映成什么？（1） ；Im()0,(1i)zwz解： ii)i+xyxy,.20.uxyvuv所以 .Im()Rew故 将 映成 .1izI()0,Im()Rew(2) Re(z)0. 00, 00. Im(w)0. 若 w=u+iv, 则 2,uvy因为 00, 00,Im(w)0, (以（ ,0）为圆心、 为i
2、1212122半径的圆)3. 求 w=z2 在 z=i 处的伸缩率和旋转角，问 w=z2 将经过点 z=i 且平行于实轴正向的曲线的切线方向映成 w 平面上哪一个方向？并作图 .解：因为 =2z,所以 (i)=2i, | |=2, 旋转角 arg = .于是, 经过点 i 且平行实轴正向的向量映成 w 平面上过点 -1，且方向垂直向上的向量.如图所示.4. 一个解析函数，所构成的映射在什么条件下具有伸缩率和旋转角的不变性？映射 w=z2在 z 平面上每一点都具有这个性质吗？答：一个解析函数所构成的映射在导数不为零的条件下具有伸缩率和旋转不变性映射 w=z2在 z=0 处导数为零，所以在 z=0
3、 处不具备这个性质.5. 求将区域 00.Re()0z解：(1) Re(z)=0 是虚轴，即 z=iy 代入得.222i1(i)1iyy写成参数方程为 ， , .2u2v消去 y 得，像曲线方程为单位圆,即u2+v2=1.(2) |z|=2.是一圆围，令 .代入得 化为参数方程. ie,02zi2e1w354cosu4sn5co消去 得，像曲线方程为一阿波罗斯圆.即 22()()3v(3) 当 Im(z)0 时，即 ,11Im()0wz令 w=u+iv 得.21()iIm()I(1)uvuv即 v0,故 Im(z)0 的像为 Im(w)0.9. 求出一个将右半平面 Re(z)0 映射成单位圆|
4、w|0,映射成 |w|0, 映为单位圆|w |0).z(1) 由 f(i)=0 得 =i，又由 arg ,即 ,(i)0fi2()e()fz，得 ，所以i()21)e0f2.izw(2) 由 f(1)=1,得 k= ；由 f(i)= ,得 k= 联立解得115i().3+(2i)zw12. 求将|z|2映为|w|4，由此确认，此函数合乎要求.15.映射 将 z 平面上的曲线 映射到 w 平面上的什么曲线？2214xy解：略.16. 映射 w=ez将下列区域映为什么图形.(1) 直线网 Re(z)=C1,Im(z)=C2;(2) 带形区域 ;Im(),0(3) 半带形区域 .ReI(),2zz解
5、：（1） 令 z=x+iy, Re(z)=C1, z=C1+iy , Im(z)=C2,则1ieCywz=x+iC2 2iexw故 将直线 Re(z)映成圆周 ；直线 Im(z)=C2 映为射线 .e1eC2（2） 令 z=x+iy， ,则ii=e,zxyy7故 将带形区域 映为 的张角为 的角形区域.=ezwIm()zarg()w（3） 令 z=x+iy，x 0，00,01, ( ).0arg0217. 求将单位圆的外部|z |1 保形映射为全平面除去线段-11 映为| w1|0, 然后用幂函数 映为有割痕为正21i 23实轴的全平面，最后用分式线性映射 将区域映为有割痕-1,1的全平面.3
6、1故 .221123 2211i1 1()izzwwz 18. 求出将割去负实轴 ,Im(z)=0 的带形区域 映射为半带Re()0Im()2z形区域 ,Re(w)0 的映射.Im()解：用 将区域映为有割痕(0,1)的右半平面 Re(w1)0；再用 将半平面1ezw 12lnw映为有割痕(- ,-1的单位圆外域；又用 将区域映为去上半单位圆内部的上半平32i面；再用 将区域映为半带形 00；最后用 映为所43ln42i求区域，故.e1lzw19. 求将 Im(z)0 的映射.解：略.820. 映射 将半带形区域 00 保形映射为 平面上的什么区域.coswz解：因为 1()2izie可以分解为w1=iz ， ，12w321()由于 在所给区域单叶解析，所以cos（1） w1=iz 将半带域旋转 ，映为 00.12e（3） 将区域映为下半平面 Im(w)0.2()
