1、第 1 页（共 20 页）2015 年福建省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分1 （5 分） （2015 福建）若（1+i ）+（23i ）=a+bi（a，bR，i 是虚数单位） ，则 a，b 的值分别等于（ ）A3，2 B3，2 C3， 3 D1，42 （5 分） （2015 福建）若集合 M=x|2x2，N=0 ，1，2，则 MN=（ ）A0 B1 C0，1， 2 D0，13 （5 分） （2015 福建）下列函数为奇函数的是（ ）Ay= By=e x Cy=cosx Dy=e xex4 （5 分） （2015 福建）阅读如图所示的程序框图，
2、运行相应的程序，若输入 x 的值为 1，则输出 y 的值为（ ）A2 B7 C8 D1285 （5 分） （2015 福建）若直线 =1（a0，b0）过点（1，1） ，则 a+b 的最小值等于（ ）A2 B3 C4 D56 （5 分） （2015 福建）若 sin= ，则 为第四象限角，则 tan 的值等于（ ）A B C D7 （5 分） （2015 福建）设 =（1，2） ， =（1，1） ， = +k ，若 ，则实数 k 的值等于（ ）A B C D第 2 页（共 20 页）8 （5 分） （2015 福建）如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为（1，0） ，且
3、点 C 与点 D 在函数 f（x） = 的图象上，若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（ ）A B C D9 （5 分） （2015 福建）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）A8+2 B11+2 C14+2 D1510 （5 分） （2015 福建）变量 x，y 满足约束条件 ，若 z=2xy 的最大值为2，则实数 m 等于（ ）A2 B1 C1 D211 （5 分） （2015 福建）已知椭圆 E： + =1（ab0）的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l：3x 4y=0 交椭圆 E 于 A，B 两点，若| AF|+|BF|=4，点 M
4、到直线 l 的距离不小于 ，则椭圆 E 的离心率的取值范围是（ ）A （0， B （0， C ，1） D ，1）12 （5 分） （2015 福建） “对任意 x ，ksinxcosxx”是“k1” 的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件第 3 页（共 20 页）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分13 （4 分） （2015 福建）某校高一年级有 900 名学生，其中女生 400 名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为 45 的样本，则应抽取的男生人数为 14 （4 分） （2015 福建）在ABC
5、中，AC= ，A=45，C=75，则 BC 的长度是 15 （4 分） （2015 福建）若函数 f（x）=2 |xa|（aR）满足 f（1+x）=f（1 x） ，且 f（x）在m，+）上单调递增，则实数 m 的最小值等于 16 （4 分） （2015 福建）若 a，b 是函数 f（x）=x 2px+q（p0，q0）的两个不同的零点，且 a，b，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p+q 的值等于 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分17 （12 分） （2015 福建）等差数列a n中，a 2=4，a 4+a7=15（）求数列a n的通项公式；（）设 b
6、n=2 +n，求 b1+b2+b3+b10 的值18 （12 分） （2015 福建）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标，根据相关报道提供的全网传播 2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台” 融合指数的数据，对名列前 20 名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示：组号 分组 频数1 4，5） 22 5，6） 83 6，7） 74 7，8 3（1）现从融合指数在4，5）和7，8内的“省级卫视新闻台 ”中随机抽取 2 家进行调研，求至少有 1 家的融合指数在7，8内的概率；（2）根据分组统计表求这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数1
7、9 （12 分） （2015 福建）已知点 F 为抛物线 E：y 2=2px（p0）的焦点，点 A（2，m）在抛物线 E 上，且|AF|=3 ，（）求抛物线 E 的方程；（）已知点 G（1，0） ，延长 AF 交抛物线 E 于点 B，证明：以点 F 为圆心且与直线 GA相切的圆，必与直线 GB 相切第 4 页（共 20 页）20 （12 分） （2015 福建）如图，AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上异于 A，B 的点，PO垂直于圆 O 所在的平面，且 PO=OB=1，（）若 D 为线段 AC 的中点，求证；AC平面 PDO；（）求三棱锥 PABC 体积的最大值；（）若 BC= ，点
8、 E 在线段 PB 上，求 CE+OE 的最小值21 （12 分） （2015 福建）已知函数 f（x）=10 sin cos +10cos2 （）求函数 f（x）的最小正周期；（）将函数 f（x）的图象向右平移 个单位长度，再向下平移 a（a 0）个单位长度后得到函数 g（x）的图象，且函数 g（x）的 最大值为 2（i）求函数 g（x）的解析式；（ii）证明：存在无穷多个互不相同的正整数 x0，使得 g（x 0）022 （14 分） （2015 福建）已知函数 f（x）=lnx （）求函数 f（x）的单调增区间；（）证明；当 x1 时，f（ x）x1；（）确定实数 k 的所有可能取值，使得
9、存在 x01，当 x（1，x 0）时，恒有 f（x）k（x1） 第 5 页（共 20 页）2015 年福建省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分1 （5 分） （2015 福建）若（1+i ）+（23i ）=a+bi（a，bR，i 是虚数单位） ，则 a，b 的值分别等于（ ）A3，2 B3，2 C3， 3 D1，4【分析】由复数的加法运算化简等式左边，然后由实部等于实部，虚部等于虚部求得 a，b的值【解答】解：由（1+i）+（2 3i）=32i=a +bi，得 a=3，b= 2故选：A【点评】本题考查复数的加法运算及复数相等的条
10、件，是基础题2 （5 分） （2015 福建）若集合 M=x|2x2，N=0 ，1，2，则 MN=（ ）A0 B1 C0，1， 2 D0，1【分析】直接利用交集及其运算得答案【解答】解：由 M=x|2x2，N=0，1，2，得 MN=x|2x2 0，1，2= 0，1故选：D【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题3 （5 分） （2015 福建）下列函数为奇函数的是（ ）Ay= By=e x Cy=cosx Dy=e xex【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可【解答】解：A函数的定义域为 0，+） ，定义域关于原点不对称，故 A 为非奇非偶函数B函数 y=ex 单调递增，为非奇非偶函数Cy=
11、cosx 为偶函数Df（ x）=e xex=（e xex）= f（x） ，则 f（x）为奇函数，故选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性定义是解决本题的关键第 6 页（共 20 页）4 （5 分） （2015 福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 x 的值为 1，则输出 y 的值为（ ）A2 B7 C8 D128【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求 y= 的值，从而得解【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求 y= 的值，若 x=1不满足条件 x2，y=8输出 y 的值为 8故选：C【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到程序框
12、图的功能是解题的关键，属于基础题5 （5 分） （2015 福建）若直线 =1（a0，b0）过点（1，1） ，则 a+b 的最小值等于（ ）A2 B3 C4 D5【分析】将（1，1）代入直线得： + =1，从而 a+b=（ + ） （a+b） ，利用基本不等式求出即可【解答】解：直线 =1（a0，b0）过点（1，1） ， + =1（a0，b0） ，所以 a+b=（ + ） （a +b）=2+ + 2+2 =4，当且仅当 = 即 a=b=2 时取等号，a+b 最小值是 4，故选：C第 7 页（共 20 页）【点评】本题考察了基本不等式的性质，求出 + =1，得到 a+b=（ + ） （a+b）是
13、解题的关键6 （5 分） （2015 福建）若 sin= ，则 为第四象限角，则 tan 的值等于（ ）A B C D【分析】利用同角三角函数的基本关系式求出 cos，然后求解即可【解答】解：sin= ，则 为第四象限角，cos = = ，tan= = 故选：D【点评】本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力7 （5 分） （2015 福建）设 =（1，2） ， =（1，1） ， = +k ，若 ，则实数 k 的值等于（ ）A B C D【分析】由题意可得 的坐标，进而由垂直关系可得 k 的方程，解方程可得【解答】解： =（1，2） ， =（1，1） ， = +
14、k =（1+k，2+k） ， =0，1+k+2+k=0，解得 k=故选：A【点评】本题考查数量积和向量的垂直关系，属基础题8 （5 分） （2015 福建）如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为（1，0） ，且点 C 与点 D 在函数 f（x） = 的图象上，若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（ ）A B C D第 8 页（共 20 页）【分析】由题意易得矩形和三角形顶点的坐标，进而可得面积，由几何概型可得【解答】解：由题意可得 B（ 1，0） ，把 x=1 代入 y=x+1 可得 y=2，即 C（1，2） ，把 x=0 代入 y=x+1
15、可得 y=1，即图中阴影三角形的第 3 个定点为（0，1） ，令 =2 可解得 x=2，即 D（ 2，2） ，矩形的面积 S=32=6，阴影三角形的面积 S= 31= ，所求概率 P= =故选：B【点评】本题考查几何概型，涉及面积公式和分段函数，属基础题9 （5 分） （2015 福建）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）A8+2 B11+2 C14+2 D15【分析】判断出该几何体是底面为直角梯形，高为 2 的直四棱柱，底面的梯形上底 1，下底 2，高为 1，运用梯形，矩形的面积公式求解即可【解答】解：根据三视图可判断该几何体是底面为直角梯形，高为 2 的直四棱柱，底面的梯
16、形上底 1，下底 2，高为 1，侧面为（4 ）2=8 ，底面为 （2+1）1= ，故几何体的表面积为 8 =11 ，故选：B【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，关键是能够恢复判断几何体的形状10 （5 分） （2015 福建）变量 x，y 满足约束条件 ，若 z=2xy 的最大值为2，则实数 m 等于（ ）A2 B1 C1 D2第 9 页（共 20 页）【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得 m 的值【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，联立 ，解得 A（ ） ，化目标函数 z=2xy
17、 为 y=2xz，由图可知，当直线过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最大值为，解得：m=1故选：C【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题11 （5 分） （2015 福建）已知椭圆 E： + =1（ab0）的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l：3x 4y=0 交椭圆 E 于 A，B 两点，若| AF|+|BF|=4，点 M 到直线 l 的距离不小于 ，则椭圆 E 的离心率的取值范围是（ ）A （0， B （0， C ，1） D ，1）【分析】如图所示，设 F为椭圆的左焦点，连接 AF，BF ，则四边形 AFBF是平行四边形，可得 4=|A
18、F|+|BF|=|AF|+|BF|=2a取 M（0，b） ，由点 M 到直线 l 的距离不小于 ，可得 ，解得 b1再利用离心率计算公式 e= = 即可得出第 10 页（共 20 页）【解答】解：如图所示，设 F为椭圆的左焦点，连接 AF，BF ，则四边形 AFBF是平行四边形，4=|AF|+|BF |=|AF|+|AF|=2a，a=2取 M（0，b） ，点 M 到直线 l 的距离不小于 ， ，解得 b1e= = = 椭圆 E 的离心率的取值范围是 故选：A【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12 （5 分） （2
19、015 福建） “对任意 x ，ksinxcosxx”是“k1” 的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】利用二倍角公式化简不等式，利用三角函数线判断充要条件即可【解答】解：对任意 x ，ksinxcosxx，即对任意x ，ksin2x2x，当 k1 时，ksin2x2x 恒成立，但是对任意 x ，ksinxcosxx”，可得 k=1 也成立，所以“ 对任意 x ，ksinxcosxx”是“ k1”的必要而不充分条件故选：B【点评】本题考查充要条件的判断与应用，三角函数线的应用，考查逻辑推理能力二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，
20、共 16 分13 （4 分） （2015 福建）某校高一年级有 900 名学生，其中女生 400 名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为 45 的样本，则应抽取的男生人数为 25 第 11 页（共 20 页）【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出应抽取的男生人数【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为 = ，则应抽取的男生人数是 500 =25 人，故答案为：25【点评】本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目14 （4 分） （2015 福建）在ABC 中
21、，AC= ，A=45，C=75，则 BC 的长度是 【分析】根据A 和C 求得B，进而根据正弦定理求得 求得 BC【解答】解：B=18045 75=60由正弦定理可知 ACsinB=BCsinABC= =故答案为【点评】本题主要考查了正弦定理的应用属基础题15 （4 分） （2015 福建）若函数 f（x）=2 |xa|（aR）满足 f（1+x）=f（1 x） ，且 f（x）在m，+）上单调递增，则实数 m 的最小值等于 1 【分析】根据式子 f（1+x）=f （1x） ，对称 f（x）关于 x=1 对称，利用指数函数的性质得出：函数 f（x）=2 |xa|（aR ） ，x=a 为对称轴，在1
22、，+ ）上单调递增，即可判断 m 的最小值【解答】解：f（1+x）=f（ 1x） ，f（x）关于 x=1 对称，函数 f（x）=2 |xa|（aR ）x=a 为对称轴，a=1，f（x）在1，+）上单调递增，f（x）在m，+）上单调递增，m 的最小值为 1故答案为：1【点评】本题考查了指数型函数的单调性，对称性，根据函数式子对称函数的性质是本题解决的关键，难度不大，属于中档题第 12 页（共 20 页）16 （4 分） （2015 福建）若 a，b 是函数 f（x）=x 2px+q（p0，q0）的两个不同的零点，且 a，b，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p+q
23、 的值等于 9 【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到 a+b=p，ab=q，再由 a，b，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于 a，b 的方程组，求得 a，b 后得答案【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q，p0，q0，可得 a0，b0，又 a，b，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得 或 解得： ；解得： p=a+b=5，q=14=4 ，则 p+q=9故答案为：9【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分17 （12 分） （2015
24、福建）等差数列a n中，a 2=4，a 4+a7=15（）求数列a n的通项公式；（）设 bn=2 +n，求 b1+b2+b3+b10 的值【分析】 （）建立方程组求出首项与公差，即可求数列a n的通项公式；（）b n=2 +n=2n+n，利用分组求和求 b1+b2+b3+b10 的值【解答】解：（）设公差为 d，则 ，解得 ，所以 an=3+（n1）=n +2；（）b n=2 +n=2n+n，所以 b1+b2+b3+b10=（2+1）+（2 2+2）+（2 10+10）=（2+2 2+210）+（1+2+10）第 13 页（共 20 页）= + =2101【点评】本题考查等差数列的通项，考查
25、数列的求和，求出数列的通项是关键18 （12 分） （2015 福建）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标，根据相关报道提供的全网传播 2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台” 融合指数的数据，对名列前 20 名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示：组号 分组 频数1 4，5） 22 5，6） 83 6，7） 74 7，8 3（1）现从融合指数在4，5）和7，8内的“省级卫视新闻台 ”中随机抽取 2 家进行调研，求至少有 1 家的融合指数在7，8内的概率；（2）根据分组统计表求这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数【分析】 （1）利
26、用列举法列出基本事件，结合古典概型的概率公式进行求解即可（2）根据平均数的定义和公式进行计算即可【解答】解：（1）融合指数在7，8内的“省级卫视新闻台 ”记为 A1，A 2，A 3，融合指数在4，5）内的“省级卫视新闻台”记为 B1，B 2，从融合指数在4，5）和7，8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家进行调研的事件为：A1，A 2，A 1，A 3，A 2， A3，A 1，B 1，A 1，B 2，A 2，B 1，A 2，B 2，A3，B 1，A 3，B 2，B1，B 2，共 10 个至少有 1 家的融合指数在7，8内的事件有；A 1，A 2， A1，A 3，A 2，A 3，A 1，B 1
27、，A1，B 2，A2，B 1，A 2，B 2，A 3，B 1，A 3，B 2，共 9 个，则至少有 1 家的融合指数在7，8内的概率为 ；（2）根据分组统计表求这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数为：=6.05【点评】本题主要考查古典概型，频率分布表，平均数等基础知识，考查数据处理能力，运算求解能力，应用意识，考查必然与或然思想等19 （12 分） （2015 福建）已知点 F 为抛物线 E：y 2=2px（p0）的焦点，点 A（2，m）在抛物线 E 上，且|AF|=3 ，（）求抛物线 E 的方程；（）已知点 G（1，0） ，延长 AF 交抛物线 E 于点 B，证明：以点 F 为圆
28、心且与直线 GA相切的圆，必与直线 GB 相切第 14 页（共 20 页）【分析】解法一：（I）由抛物线定义可得： |AF|=2+ =3，解得 p即可得出抛物线 E 的方程（II）由点 A（ 2，m）在抛物线 E 上，解得 m，不妨取 A ，F（1，0） ，可得直线 AF 的方程，与抛物线方程联立化为 2x25x+2=0，解得 B 又 G（1，0） ，计算 kGA，k GB，可得 kGA+kGB=0，AGF=BGF，即可证明以点 F 为圆心且与直线 GA相切的圆，必与直线 GB 相切解法二：（I）同解法一（II）由点 A（ 2，m）在抛物线 E 上，解得 m，不妨取 A ，F（1，0） ，可得
29、直线 AF 的方程，与抛物线方程联立化为 2x25x+2=0，解得 B 又 G（1，0） ，可得直线 GA，GB 的方程，利用点到直线的距离公式可得：点 F（1，0）到直线 GA、GB的距离，若相等即可证明此以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆，必与直线 GB 相切【解答】解法一：（I）由抛物线定义可得： |AF|=2+ =3，解得 p=2抛物线 E 的方程为 y2=4x；（II）证明：点 A（2，m）在抛物线 E 上，m 2=42，解得 m= ，不妨取 A ，F（1，0） ，直线 AF 的方程：y=2 （x1） ，联立 ，化为 2x25x+2=0，解得 x=2 或 ，B 又 G（1，0）
30、 ，k GA= k GB= = ，k GA+kGB=0，AGF= BGF，x 轴平分AGB，因此点 F 到直线 GA，GB 的距离相等，以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆，必与直线 GB 相切解法二：（I）同解法一（II）证明：点 A（2，m）在抛物线 E 上，m 2=42，解得 m= ，不妨取 A，F（1，0） ，直线 AF 的方程：y=2 （x1） ，第 15 页（共 20 页）联立 ，化为 2x25x+2=0，解得 x=2 或 ，B 又 G（1，0） ，可得直线 GA，GB 的方程分别为： x3y+2 =0， =0，点 F（1，0）到直线 GA 的距离 d= = ，同理可得点 F（
31、1，0）到直线 GB 的距离= 因此以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆，必与直线 GB 相切【点评】本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题20 （12 分） （2015 福建）如图，AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上异于 A，B 的点，PO垂直于圆 O 所在的平面，且 PO=OB=1，（）若 D 为线段 AC 的中点，求证；AC平面 PDO；（）求三棱锥 PABC 体积的最大值；（）若 BC= ，点 E 在线段 PB 上，求 CE+OE
32、的最小值【分析】 （）由题意可证 ACDO，又 POAC，即可证明 AC平面 PDO（）当 COAB 时，C 到 AB 的距离最大且最大值为 1，又 AB=2，即可求ABC 面积的最大值，又三棱锥 PABC 的高 PO=1，即可求得三棱锥 PABC 体积的最大值（）可求 PB= = =PC，即有 PB=PC=BC，由 OP=OB，C P=CB，可证 E 为PB 中点，从而可求 OC=OE+EC= = ，从而得解【解答】解：（）在AOC 中，因为 OA=OC，D 为 AC 的中点，所以 ACDO，又 PO 垂直于圆 O 所在的平面，所以 POAC ，因为 DOPO=O，所以 AC平面 PDO（）
33、因为点 C 在圆 O 上，所以当 COAB 时，C 到 AB 的距离最大，且最大值为 1，第 16 页（共 20 页）又 AB=2，所以 ABC 面积的最大值为 ，又因为三棱锥 PABC 的高 PO=1，故三棱锥 PABC 体积的最大值为： （）在POB 中，PO=OB=1，POB=90，所以 PB= = ，同理 PC= ，所以 PB=PC=BC，在三棱锥 PABC 中，将侧面 BCP 绕 PB 旋转至平面 BCP，使之与平面 ABP 共面，如图所示，当 O，E，C共线时，CE+OE 取得最小值，又因为 OP=OB，CP=CB，所以 OC垂直平分 PB，即 E 为 PB 中点从而 OC=OE+
34、EC= = 亦即 CE+OE 的最小值为： 【点评】本题主要考查了直线与直线、直线与平面的位置关系、锥体的体积的求法等基础知识，考查了空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题21 （12 分） （2015 福建）已知函数 f（x）=10 sin cos +10cos2 （）求函数 f（x）的最小正周期；（）将函数 f（x）的图象向右平移 个单位长度，再向下平移 a（a 0）个单位长度后得到函数 g（x）的图象，且函数 g（x）的 最大值为 2（i）求函数 g（x）的解析式；第 17 页（共 20 页）（ii）证明：存在无穷多个互不相同的正整数 x
35、0，使得 g（x 0）0【分析】 （）先化简函数的解析式，进而求出最小正周期；（） （i）先求出每一步函数变换的函数解析式，再根据 g（x）的最大值为 2，容易求出a 的值，然后进而写出 g（x）的解析式；（ii）就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0，使得 10sinx080，即 sinx0 ，由 知，存在 0 0 ，使得 sin0=由正弦函数的性质当 x（2k +0，2k+ 0） （kZ ）时，均有 sinx ，即可证明【解答】解：（）f（x） =10 sin cos +10cos2 =5 sinx+5cosx+5=10sin（x+ ）+5，所求函数 f（x）的最小正周期 T=2；（
36、） （i）将函数 f（x）的图象向右平移 个单位长度后得到 y=10sinx+5 的图象，再向下平移 a（a 0）个单位长度后得到函数 g（x）=10sinx+5a 的图象，函数 g（x）的最大值为 2，10+5a=2，解得 a=13，函数 g（x）=10sinx8（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0，使得 g（x 0）0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0，使得 10sinx080，即 sinx0 ，由 知，存在 0 0 ，使得 sin0= ，由正弦函数的性质可知，当 x（ 0， 0）时，均有 sinx ，因为 y=sinx 的周期为 2，所以当 x（2k+ 0，2k+
37、 0） ，（kZ）时，均有 sinx 因为对任意的整数 k， （2k+ 0）（2k+ 0）=2 0 1，所以对任意的正整数 k，都存在正整数 xk（2k +0，2k +0） ，使得 sinxk ，即存在无穷多个互不相同的正整数 x0，使得 g（x 0）0【点评】本题考查了三角函数的辅助角公式、最小正周期、函数图象的平移变换、最值问题等，属于中档题22 （14 分） （2015 福建）已知函数 f（x）=lnx 第 18 页（共 20 页）（）求函数 f（x）的单调增区间；（）证明；当 x1 时，f（ x）x1；（）确定实数 k 的所有可能取值，使得存在 x01，当 x（1，x 0）时，恒有 f
38、（x）k（x1） 【分析】 （）求导数，利用导数大于 0，可求函数 f（x）的单调增区间；（）令 F（x）=f （x）（x1） ，证明 F（x）在1，+）上单调递减，可得结论；（）分类讨论，令 G（x） =f（x） k（x1） （x0） ，利用函数的单调性，可得实数 k 的所有可能取值【解答】解：（）f（x） =lnx ，f（x）= 0（x0） ，0x ，函数 f（x）的单调增区间是（ 0， ） ；（）令 F（x）=f （x）（x1） ，则 F（x）=当 x1 时，F（x）0，F（x）在1，+）上单调递减，x1 时，F（x）F （1）=0 ，即当 x1 时，f（x）x1；（）由（）知，k=1
39、时，不存在 x01 满足题意；当 k1 时，对于 x1，有 f（x）x1k（x1） ，则 f（x）k（x1） ，从而不存在 x01 满足题意；当 k1 时，令 G（x）=f（x） k（x1） （x0） ，则G（x）= =0，可得 x1= 0，x 2=1，当 x（1，x 2）时，G（x）0，故 G（x）在（1，x 2）上单调递增，从而 x（1，x 2）时，G（x）G （1）=0 ，即 f（x）k（x1） ，第 19 页（共 20 页）综上，k 的取值范围为（， 1） 【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确构造函数是关键第 20 页（共 20 页）参与本试卷答题和审题的老师有：sxs123；maths；w3239003；1619495736；qiss；lincy ；sdpyqzh；沂蒙松；刘长柏；zhwsd；依依（排名不分先后）菁优网2016 年 8 月 29 日
