1、10.3 二项式定理,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.二项式定理,2.二项展开式形式上的特点 (1)项数为n+1 . (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n . (3)字母a按降幂 排列,从第一项开始,次数由n逐项减小1直到零;字母b按升幂 排列,从第一项起,次数由零逐项增加1直到n.,-4-,知识梳理,双击自测,-5-,知识梳理,双击自测,1.(1+x)2n(nN*)的展开式中,系数最大的项是( ) A.第 +1项 B.第n项 C.第n+1项 D.第n项与第n+1项,答案,解析,-6-,知识梳理,双击自测,2.(教材改编)二项式(x+1)n(nN*)的展开式中
2、x2的系数为15,则n=( ) A.7 B.6 C.5 D.4,答案,解析,-7-,知识梳理,双击自测,3.若(1+x)(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a8x8,则a1+a2+a7的值是( ) A.-2 B.-3 C.125 D.-131,答案,解析,-8-,知识梳理,双击自测,答案,解析,-9-,知识梳理,双击自测,答案,解析,-10-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.二项式定理(a+b)n= (nN*)揭示二项展开式的规律,一定牢记通项公式Tk+1= C an-kbk是展开式的第k+1项,不是第k项. 2.二项式系数与展开式项的系数的异同,(2)二项式系数的最值和增减性与指数n的
3、奇偶性有关.当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大;当n为奇数时,中间两项的二项式系数相等,且同时取得最大值.,-11-,知识梳理,双击自测,3.“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,bR)的式子,求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a,bR)的式子,求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.,-12-,考点一,考点二,考点三,求二项展开式的指定项或指定项的系数(考点难度),A.80 B.48 C.-40 D.-80,答案,解析,-13-,考点一,考点二,考点三,(2)(2017山东高考)
4、已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n= .,答案,解析,-14-,考点一,考点二,考点三,方法总结求二项展开式中的特定项,一般是利用通项公式进行,化简通项公式后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数k+1,代回通项即可.,-15-,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)(2017浙江温州期末)二项式 的展开式中常数项为( ) A.-15 B.15 C.-20 D.20,答案,解析,-16-,考点一,考点二,考点三,A.9 B.8 C.7 D.6,答案,解析,-17-,考点一,考点二,考点三,二项式系数的和或各项系数的和的问题(考点
5、难度),系数之和为N,若M-N=240,则n= .,答案,解析,-18-,考点一,考点二,考点三,(2)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( ) A.212 B.211 C.210 D.29,答案,解析,-19-,考点一,考点二,考点三,(3)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7,则a0= ; (a0+a2+a4+a6)2-(a1+a3+a5+a7)2= .,答案,解析,-20-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.二项式定理给出的是一个恒等式,对于a,b的一切值都成立.因此,可将a,b设定为一些特殊的值.在使用赋值法时,令a,b
6、等于多少时,应视具体情况而定,一般取“1,-1或0”,有时也取其他值.,-21-,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)若二项式 的展开式中各项的系数和为32,则该展开式中含x项的系数为( ) A.1 B.5 C.10 D.20,答案,解析,-22-,考点一,考点二,考点三,开式中含x2项的系数是 .,答案,解析,-23-,考点一,考点二,考点三,二项式定理的应用(考点难度) 考情分析求多项式展开式中的特定项是近几年高考的热点和难点,一般可以分成三种情况:(1)几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题;(2)几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题;(3)三项展开式中的特定项(系数)问题.
7、,-24-,考点一,考点二,考点三,类型一 几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题 【例3】 (2017浙江湖州高三考试)在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是( ) A.121 B.-74 C.74 D.-121,答案,解析,-25-,考点一,考点二,考点三,类型二 几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题,答案,解析,-26-,考点一,考点二,考点三,类型三 三项展开式中特定项(系数)问题 【例5】 (2017浙江高考冲刺卷) 展开式中的常数项为( ) A.-8 B.-12 C.-20 D.20,答案,解析,-27-,考点一,考点二,考
8、点三,方法总结1.几个多项式和的展开式中特定项只需要先分别求出每一个多项式中的特定项,再合并即可. 2.几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法:可先分别化简或展开为多项式和的形式,再分类考虑特定项产生的每一种情形,求出相应的特定项,最后进行合并即可. 3.三项展开式中的特定项(系数)问题的处理方法: (1)通常将三项式转化为二项式积的形式,然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解; (2)将其某两项看成一个整体,直接利用二项式展开,然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形.,-28-,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)若x10-x5=a0+a1(x-1)+a
9、2(x-1)2+a10(x-1)10,则a5= .,答案,解析,-29-,考点一,考点二,考点三,(2)(x2+1) 的展开式的常数项是( )A.5 B.-10 C.-32 D.-42,答案,解析,-30-,考点一,考点二,考点三,(3)在(x2-x+1)10的展开式中,x3项的系数为( ) A.-210 B.210 C.30 D.-30,答案,解析,-31-,易错警示混淆二项展开式的系数与二项式系数致误 二项式系数和项的系数不是同一个概念,两者容易混淆,注意审题区分题目意思.,-32-,(1)二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项.,解:由题意知,22n-2n=992, 即(2n-
10、32)(2n+31)=0,故2n=32,解得n=5.,-33-,(2)设第k+1项的系数的绝对值最大,kZ,k=3.故系数的绝对值最大的项是第4项,T4=- C 10 3 27x4=-15360x4.,答题指导本题易将二项式系数和系数混淆,利用赋值来求二项式系数的和导致错误;另外,也要注意项与项的系数、系数的绝对值与系数的区别.,-34-,对点训练在(x-y)10的展开式中,系数最小的项是( ) A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项,答案,解析,-35-,高分策略1.二项展开式的通项Tk+1= C an-kbk是展开式的第k+1项,这是解决二项式定理有关问题的基础.在利用通项公式求指定项或指定项的系数时,要根据通项公式讨论对k的限制. 2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时,根据题意,给字母赋值,是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法. 3.二项式定理的应用主要是对二项展开式的正用、逆用,要充分利用二项展开式的特点和式子间的联系. 4.二项展开式系数最大项的求法:如求(a+bx)n(a,bR)的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式中各项系数分别为A1,A2, + 1 ,且第r项系数最大,应用从而解出r即可.,
