1、第十章 计数原理、概率、 随机变量及其分布,10.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理,-3-,-4-,知识梳理,双击自测,1.分类加法计数原理 完成一件事有n类不同的方案,在第一类方案中有m1种不同的方法,在第二类方案中有m2种不同的方法,在第n类方案中有mn种不同的方法,则完成这件事共有N=m1+m2+mn 种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要分成n个不同的步骤,完成第一步有m1种不同的方法,完成第二步有m2种不同的方法,完成第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1m2mn 种不同的方法.,-5-,知识梳理,双击自测,3.两个计数原理的区别 分类加法计数原理
2、与分步乘法计数原理,都涉及完成一件事情的不同方法的种数.它们的区别在于:分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成.,-6-,知识梳理,双击自测,1.将5封信投入3个邮筒,不同的投法共有( ) A.53种 B.35种 C.3种 D.15种,答案,解析,-7-,知识梳理,双击自测,2.某校高一有6个班,高二有7个班,高三有8个班.现选两个班的学生参加社会实践活动,若要求这两个班来自不同年级,则有不同的选法 种.,答案,解析,-8-,知识梳理,双击自测,3.若x,yN*,且x+
3、y6,则有序自然数对(x,y)共有 个.,答案,解析,-9-,知识梳理,双击自测,4.乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后的项数为 .,答案,解析,-10-,知识梳理,双击自测,5.用1,5,9,13中的任意一个数作分子,4,8,12,16中的任意一个数作分母,可构成的真分数的个数为 .,答案,解析,-11-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.在分类加法计数原理中,每一种方法都能完成这件事情,类与类之间是相互独立的,不能是相同的,即分类的标准是“不重不漏,一步完成”. 2.在分步乘法计数原理中,各个步骤相互依存,在各个步骤中任取一种方法,即是
4、完成这个步骤的一种方法. 3.应用两种计数原理解题时,要注意分清:要完成的事情是什么,完成该事情是分类完成还是分步完成.,-12-,考点一,考点二,考点三,分类加法计数原理(考点难度),【例1】 已知a,b1,2,3,4,5,6,7,8,9,u=logab,则u的不同取值个数为 .,答案,解析,-13-,考点一,考点二,考点三,方法总结利用分类计数原理解题时,应注意: (1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准,分类标准要统一,不能遗漏; (2)分类时,注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,不能重复.,-14-,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)已知两条异面直线a,b上分别有5个点
5、和8个点,则这13个点可以确定不同的平面个数为 ( ) A.40 B.16 C.13 D.10,答案,解析,-15-,考点一,考点二,考点三,(2)用币值10元、5元和1元的人民币来支付20元钱的书款,不同的支付方法有( ) A.3种 B.5种 C.9种 D.12种,答案,解析,-16-,考点一,考点二,考点三,分步乘法计数原理(考点难度),【例2】 (1)从集合0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数的个数是( ) A.30 B.42 C.36 D.35,答案,解析,-17-,考点一,考点二,考点三,(2)从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委
6、员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有 种(用数字作答).,答案,解析,-18-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.利用分步乘法计数原理解决问题时,要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,并且分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事. 2.分步必须满足两个条件:一是步骤之间互相独立,互不干扰;二是步与步确保连续,逐步完成.,-19-,考点一,考点二,对点训练如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24 B.
7、18 C.12 D.9,答案,解析,-20-,考点一,考点二,考点三,两个计数原理的综合应用(考点难度) 【例3】 (1)动点P从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A出发,沿着棱运动到顶点C1后再到A,若运动中恰好经过6条不同的棱,则称该路线为“最佳路线”,则“最佳路线”的条数为 (用数字作答).,答案,解析,-21-,考点一,考点二,考点三,(2)(2017浙江杭州七校联考)如图所示,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数为 (用数字作答).,答案,解析,-22-,考点一,考点二,考点三,方法总结用两个
8、计数原理解决计数问题时,关键是明确需要分类还是分步. (1)分类要做到“不重不漏”,分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数. (2)分步要做到“步骤完整”.根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘,得到总数. (3)对于复杂问题,可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析.,-23-,考点一,考点二,考点三,对点训练某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远学校支教,每个学校至少1人,其中甲和乙必须在同一学校,甲和丙一定在不同学校,则不同的选派方案共有 种.,答案,解析,-24-,思想方法分类讨论在计数原理中的应用 由于计数原理一个是分类加法计
9、数原理,一个是分步乘法计数原理,所以分类讨论的数学思想贯穿两个原理应用的始终.对于计数问题,有时正确的分类就是解决问题的切入点,一般要考虑问题有几种情况,即分类;考虑每种情况有几个步骤,即分步.同时注意分类的全面与到位,不要出现重复或遗漏的现象.,-25-,【典例】 如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,求不同的染色方法总数.,-26-,解:(方法一)可分为两大步进行,先将四棱锥一侧面三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用分步乘法计数原理即可得出结论.由题设,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所染的颜色互不相同,它们共有5
10、43=60(种)染色方法. 当S,A,B染好时,不妨设其颜色分别为1,2,3,若C染2,则D可染3或4或5,有3种染法;若C染4,则D可染3或5,有2种染法;若C染5,则D可染3或4,有2种染法.可见,当S,A,B已染好时,C,D还有7种染法,故不同的染色方法有607=420(种).,-27-,(方法二)以S,A,B,C,D的顺序分步染色. 第一步,点S染色,有5种方法; 第二步,点A染色,与S在同一条棱上,有4种方法; 第三步,点B染色,与S,A分别在同一条棱上,有3种方法; 第四步,点C染色,也有3种方法,但考虑到点D与S,A,C相邻,需要针对A与C是否同色进行分类,当A与C同色时,点D有
11、3种染色方法;当A与C不同色时,因为C与S,B也不同色,所以点C有2种染色方法,点D也有2种染色方法.由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有543(13+22)=420(种).,-28-,(方法三)按所用颜色种数分类.,答题指导有些问题从不同的角度思考,就可以有不同的做法,可以先分类再分步,也可以先分步再分类.但无论哪一种,都要做到不重不漏.,-29-,对点训练用0,1,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A.243 B.252 C.261 D.279,答案,解析,-30-,高分策略1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础,并贯穿其始终.(1)在分类加法计数原理中,完成一件事的方法属于其中一类,并且只属于其中一类.(2)在分步乘法计数原理中,各个步骤相互依存,步与步之间“相互独立”. 2.利用两个计数原理解题时的三个注意点 (1)当题目无从下手时,可考虑要完成的这件事是什么,即怎样做才算完成这件事,然后给出完成这件事的一种或几种方法,从这几种方法中归纳出解题方法; (2)分类时,标准要明确,做到不重不漏,有时要恰当画出示意图或树状图,使问题的分析更直观、清楚,便于探索规律; (3)对于复杂问题,一般是先分类再分步.,
