1、第六章 数列,6.1 数列的概念与简单表示法,-3-,-4-,知识梳理,双击自测,1.数列的概念 (1)数列的定义:按照一定顺序 排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项,通常也叫做首项 . (2)数列的分类:,-5-,知识梳理,双击自测,(3)数列的通项公式:如果数列an的第n项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个关系式叫做这个数列的通项公式. (4)数列的前n项和:在数列an中,Sn=a1+a2+an叫做数列an的前n项和. (5)数列的表示方法有:列表法、图象法、公式法.,-6-,知识梳理,双
2、击自测,2.数列的递推公式 如果已知数列an的首项(或前几项),且任一项an 与它的 前一项an-1 (n2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列an的递推公式. 3.数列的函数特征:数列可以看成是定义域为正整数集N*(或它的有限子集1,2,n)的函数an=f(n)当自变量按照由小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值. 4.数列an的an与Sn的关系: 若数列an的前n项和为Sn,-7-,知识梳理,双击自测,1.已知数列的前4项为2,0,2,0,则依此归纳该数列的通项不可能是( ),答案,解析,-8-,知识梳理,双击自测,2.(2018浙江台州高三期末)已知数列an满
3、足a1=1,an+1-an2(nN*),Sn为数列an的前n项和,则( ) A.an2n+1 B.an2n-1 C.Snn2 D.Sn2n-1,答案,解析,-9-,知识梳理,双击自测,3.已知数列an的前n项和Sn=2n-3,则数列an的通项公式为an= .,答案,解析,-10-,知识梳理,双击自测,4.(2018浙江杭州一模)数列an定义如下:a1=1,当n2时,答案,解析,-11-,知识梳理,双击自测,5.已知数列an满足a1=1,a2=1,an+1=|an-an-1|(n2),则该数列前2 020项的和S2 020等于 .,答案,解析,-12-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.数列是按
4、一定顺序排列的一列数,因此,一个数列不仅与构成它的“数”有关,而且还与这些“数”的排列顺序有关. 2.数列的项是指数列中某一确定的数,而项数是指数列的项对应的位置序号.求数列的通项公式就是找出数列的项an与项数n的函数关系式.根据数列的前几项求出的数列的通项公式不唯一. 3.数列不仅有递增、递减数列,还有常数列、摆动数列. 4.已知Sn求an,要对n=1和n2两种情况进行讨论.,-13-,考点一,考点二,考点三,考点四,由数列的前几项求数列的通项(考点难度) 【例1】 (1)下列公式可作为数列an:1,2,1,2,1,2,的通项公式的是( ),答案,解析,-14-,考点一,考点二,考点三,考点
5、四,(2)写出下列数列的一个通项公式: 1,-3,5,-7,9,;,解:an=(-1)n+1(2n-1).,-15-,考点一,考点二,考点三,考点四,方法总结根据所给数列的前几项求其通项时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:分式中分子、分母的各自特征、相邻项的变化特征、拆项后的各部分特征、符号特征.应多进行对比、分析,从整体到局部多角度观察、归纳、联想.,-16-,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练(1)(2018浙江嘉兴一模)把数列2n的所有项按照一定顺序写成如图所示的数表,第k行有2k-1个数,第k行的第s个数(从左数起)记为(k,s),则2 018可记为 . 2 4 6 8 10
6、 12 14 16 18 20 22 24 ,答案,解析,-17-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式: -1,7,-13,19,;,5,55,555,5 555,.,解:偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(-1)n,观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故数列的一个通项公式为an=(-1)n(6n-5). 这是一个分数数列,其分子构成偶数数列,而分母可分解为13,35,57,79,911,每一项都是两个相邻奇数的乘积.因此,所求数列的一个通项公式为,-18-,考点一,考点二,考点三,考点四,-19-,考点一,考
7、点二,考点三,考点四,由an与Sn的关系求通项an(考点难度) 【例2】 (1)已知数列an的前n项和Sn=n2+2n-1(nN*),则a1= ;数列an的通项公式为 .,答案,解析,-20-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)在数列an中,Sn是其前n项和,且Sn=2an+1,则数列的通项公式an= .,答案,解析,-21-,考点一,考点二,考点三,考点四,方法总结an与其前n项和Sn的关系是an= 当n=1时,若a1适合Sn-Sn-1,则n=1的情况可并入n2时的通项an;若a1不适合Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示.,-22-,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练(2016
8、浙江高考,理13)设数列an的前n项和为Sn,若S2=4,an+1=2Sn+1,nN*,则a1= ,S5= .,答案,解析,-23-,考点一,考点二,考点三,考点四,由递推关系式求数列的通项公式(考点难度) 考情分析高考对递推公式的考查难度适中,一般不会出现关于三项的关系式,也不会要求直接由递推公式求出通项公式,一般是通过变换转化成特殊的数列求解.常见的命题角度有:(1)形如an+1=anf(n),求an;(2)形如an+1=an+f(n),求an;(3)形如an+1=Aan+B(A0,且A1),求an;(4)形如an+1= (A,B,C为常数),求an.,-24-,考点一,考点二,考点三,考
9、点四,类型一 形如an+1=anf(n),求an 【例3】 (2017浙江台州期末改编)在数列an中,已知a1=1,nan-1=(n+1)an(n2),求数列an的通项公式 .,答案,解析,-25-,考点一,考点二,考点三,考点四,类型二 形如an+1=an+f(n),求an,【例4】 (2018浙江慈溪中学)已知数列an满足an+1=an+2n,且a1=33,则 的最小值为 .,答案,解析,-26-,考点一,考点二,考点三,考点四,类型三 形如an+1=Aan+B(A0,且A1),求an 【例5】 在数列an中,已知a1=1,an+1=2an+1,则其通项公式an=( ) A.2n-1 B.
10、2n-1+1 C.2n-1 D.2(n-1),答案,解析,-27-,考点一,考点二,考点三,考点四,【例6】 已知数列an满足a1=1,an+1= (nN*),求数列an的通项公式.,-28-,考点一,考点二,考点三,考点四,方法总结1.数列的递推关系是给出数列的一种方法,根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项.由递推关系求数列的通项公式,常用的方法有:(1)求出数列的前几项,再归纳猜想出数列的一个通项公式;(2)将已知递推关系式整理、变形,变成等差、等比数列. 2.若递推关系为an+1=an+f(n)或an+1=f(n)an,则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式,或用迭代法求
11、得通项公式. 3.形如an+1=pan+q的递推关系式,一般是通过构造公比为p的等比数列an+x,即将原递推关系式化为(an+1+x)=p(an+x)的形式,先求出数列an+x的通项公式,再求an的通项公式,其中求变量x是关键.,-29-,考点一,考点二,考点三,考点四,-30-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)已知数列bn满足b1=1,b2=2,且bn=b1+a1b2+a2b3+an-2bn-1(n2),判断2 016是否为数列bn中的项?若是,求出相应的项数n;若不是,请说明理由.,-31-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)解:结论:2 016为数列bn中的第3 024项.理由
12、如下: 由(1)可知bn=b1+a1b2+a2b3+an-2bn-1,2 016为数列bn中的第3 024项.,-32-,考点一,考点二,考点三,考点四,数列的通项性质(考点难度),【例7】 (1)(2018浙江宁波三模)记Sn为数列an的前n项和,则“任意正整数n,均有an0”是“Sn为递增数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,-33-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)(2017浙江绍兴诸暨中学)在数列an中,a1=2,a2=10,且an+2=an+1-an(nN*),则a2 018= .,答案,解析,-34-,考点
13、一,考点二,考点三,考点四,方法总结1.要证明数列an是单调的,可利用“an是递增数列anan+1”来证明.注意数列的单调性是探索数列的最大、最小项及解决其他许多数列问题的重要途径,因此要熟练掌握上述求数列单调性的方法. 2.数列an的周期性可以通过求前几项发现其周期.,-35-,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练已知数列an的通项公式为an=(n+2) ,则当an取得最大值时,n等于 .,答案,解析,-36-,思想方法用函数的观点解决数列问题 数列是一种特殊的函数,在函数的观点下指导数列学习,通过函数的思想观点去直观地认识数列的本质是高考能力立意的指导思想.数列的通项及前n项和的作用在
14、于刻画an及Sn与n的函数关系,数列的性质可以通过函数的性质反映出来,这为数列问题的解决提供了一个新的方向.在数列中,求an和Sn的最小值问题都可以通过求相应函数的最值的方法求得,通常利用函数的单调性,要注意自变量不连续.,-37-,【典例】 已知数列an. (1)若an=n2-5n+4, 数列an中有多少项是负数? n为何值时,an取最小值?并求出最小值. (2)若an=n2+kn+4,且对于nN*,都有an+1an,求实数k的取值范围.,解:(1)由n2-5n+40,解得1n4. nN*,n=2,3. 数列an中有两项是负数,即为a2,a3.,又nN*,当n=2或n=3时,an有最小值,其
15、最小值为a2=a3=-2. (2)由an+1an知,该数列是一个递增数列.又因为通项公式an=n2+kn+4,可以看作是关于n的二次函数,考虑到nN*,-38-,答题指导当数列遇到求和或求项的最值问题时,可以充分利用数列的函数特性来确定其最值,同时应注意数列作为一种函数,“其定义域是正整数子集”这个隐含条件.,-39-,对点训练设an=-3n2+15n-18,则数列an中的最大项的值是( ),答案,解析,-40-,高分策略1.求数列通项或指定项,通常用观察法,观察出前几项与项数的关系,抽象出an与n的关系,对于正、负项相间的数列,一般用(-1)n或(-1)n+1来区分奇偶项的符号.2.由Sn求an时,利用an= 求出an后,要注意验证a1是否适合求出的an的关系式. 3.已知递推关系求通项,一般有三种常见思路: (1)算出前几项,再归纳、猜想; (2)形如“ + 1 =pan+q”这种形式通常转化为 + 1 +=p(an+),由待定系数法求出,再化为等比数列; (3)递推公式化简整理后,若为 + 1 -an=f(n)型,则采用累加法;若为 =f(n)型,则采用累乘法.,-41-,4.求数列最大项的方法:(1)判断an的单调性;(2)解不等式组,
