1、经济研究中的计算方法,广东商学院数学与计算科学学院,一个生活问题,星期天，小明和张老师提着篮子（篮子重0.5斤）去集市买10斤鸡蛋，当张老师往篮子里放称好的鸡蛋时，感觉比过去买10斤鸡蛋时个数少很多。于是她将鸡蛋装进篮子再让摊主一起称，共称得10.55斤。她即刻要求摊主补给少称部分的蛋。旁边的小明感到疑惑不解。聪明的你，张老师怎么知道蛋肯定少了。若用摊主的秤称应补多少斤？,让我们分析一下：因为篮子重0.5斤，连鸡蛋一起称为0.55斤，故篮子重了0.05斤。故张老师就知道这10斤蛋肯定少了。设用摊主的秤称应补x斤鸡蛋，则0.50.55=1010+x。,解得x=1。经检验x=1是原方程的解且符合题
2、意。所以用摊主秤称应补给张老师一斤鸡蛋。通过以上例题让学生明白上街买菜虽是小事，但每天必做。生活确实离不开数学。,复利、连续复利与贴现,这个结果表明，结算周期无穷小，即银行要连续不断地向顾客付利息，这种计息方式就称为-连续复利。,但这种连续复利的结果也不是无穷大。,复利、连续复利与贴现的例子,什么是“总收入的现值”？,资金的时间价值体现在这个计算公式中,第一章 误 差,主要知识点,数值计算方法的主要内容； 数值计算方法的定义； 近似计算时，常采用的一些方法； 误差的来源； 计算某值的绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限，有效数字位数； 数值运算中应注意的事项。,数值计算方法的主要内容,数
3、值计算方法这门学科是根据解决实际问题的需要而产生，并随着科学技术的发展而不断地发展与创新。主要内容包括误差的一般概念、插值法、数据拟合法、非线性方程的数值解法、线性代数方程组的数值解法、数值积分法、数值微分法、常微分方程初值问题的数值解法和矩阵特征值与特征向量的求法等。,数值计算方法的定义,数值计算方法是研究常见的基本数学问题的数值解法及其相关理论的一门数学分支，它包含了数值代数、数值微分与积分，常微分方程数值解等内容。,课程的主要目的,数值计算方法课程的主要目的就是为人类解决很多实际问题而提供的一种计算工具，故同学们的任务就是学习、掌握并利用这个工具。 培养学生基本的和必要的数值计算方面的知
4、识； 在学完数学分析、高等代数之后继续提高运用数学知识，解决数值计算问题的能力。,误差来源,1、模型误差2、观测误差3、截断误差4、舍入误差,模型误差,用数学模型来描述具体的物理现象时，往往要忽略许多次要因素，把模型“简单化”、“理想化”，因此模型本身就包含有误差，这种误差称为模型误差。,模型误差例题,例1 我们用 ， （ 为重力加速度）来描述物体自由下落时距离与时间的关系设自由落体在时间 时的实际下落距离为 ，则 就是 “模型误差”。,观测误差,在数学模型中总要包含一些观测数据，这些观测数据受工具、方法、观测者的主观因素、不可预料的随机干扰等影响必然带入误差，这种误差称为观测误差。,观测误差
5、例题,例2 设一根铝棒在温度 时的实际长度为 ，在 时的实际长度为 ，用 来表示铝棒在温度为 时的长度计算值，并建立数学模型：， 其中 是实验观测到的常数：则称 为“模型误差”， 是 的“观测误差”。,截断误差,在解决实际问题时，数学模型常常难于直接求解，往往要近似代替，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差。,截断误差例题,例3 求 时，可将 展开为级数形式：在实际计算时，我们只取前面有限项（例如 项）计算部分和 作为 的值必然产生误差，其误差为：这个误差就是“截断误差”。,舍入误差,在计算时总是只能取有限位有效数字进行计算而引起，初始参数与中间结果都必须进行四舍五入，这个误差称为舍入误差。
6、,舍入误差例题,例4 ， ， 等，在计算机上运算时只能用有限位小数，如果取小数点后四位数字，则,，就是“舍入误差 ”,误差来源分析,总之，误差一般来自模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差。在计算方法课程中，不分析模型误差；观测误差作为初始舍入误差；截断误差是主要讨论对象，是计算中误差的主要部分。在各种算法中，通过数学方法可推导出截断误差限的公式；舍入误差产生往往有很大的随机性，讨论比较困难，在问题本身呈现病态或不稳定时，它可能成为计算中误差的主要部分。误差分析是一门专门的学科，经过训练的计算工作者，当发现计算结果与实际不符时，应当能找出误差的来源，并采取相应的措施加以改进，甚至对模型进行修改
7、。,误差理论,误差、误差限、有效数字 相对误差及与有效数字的联系 算术运算的误差和相对误差,误差的概念,定义1.1 设 为准确值， 为 的一个近似值，称 为 近似值的绝对误差，简称误差。 误差是有量纲的量 ，它可正可负，当绝对误差为正时，近似值偏大，叫强近似值；当绝对误差为负时，近似值偏小，则称弱近似值。,绝对误差限,通常我们并不知道准确值 ，也不能算出误差的准确值，但能根据测量工具或计算情况估计出误差的绝对值的上限，这个上限称为近似值 的误差限。记为 。即在工程中常记为：,绝对误差限例题,例5 我们用一把毫米刻度的米尺来测量桌子的长度 ，读出的长度为 ， 是 的近似值，由于米尺的精度知道，它
8、的误差限为0.5mm，则有,相对误差,定义1.2 误差与精确值的比值称作近似值 的相对误差，记作 。相对误差是无量纲的量，常用百分比表示，它可正可负。,相对误差限,相对误差也不能准确计算，而是用相对误差限来估计的：就是相对误差限当 较小时，可以忽略不计，所以以后我们就用 表示相对误差限。,有效数字位数,定义1.3 如果近似值 的绝对误差限 是某一位数字的半个单位，我们就说 准确到该位，从这一位起直到前面的第一位非零数字为止的所有数字称为 的有效数字。,有效数字位数(续),则说x* 近似表示 x 准确到小数后第n位，并从这第n位起 直到最左边的非零数字之间的一切数字都称为有效数字， 并把有效数字的位数称为有效位数。,有效数位为3位,有效数位为5位,有效数位为4位,有效数字位数例题,重要定理、结论,定理1.1 设近似值 ， 有n位有效数字，则其相对误差限为定理1.2 设近似值 的相对误差限为：， ，则它有n位有效数字。,例题分析,例 若 是 的具有六位有效数字的近似值，那么它的误差限是：若 是 的具有五位有效数字的近似值，则误差限是：,1、避免两个相近的数相减；2、避免除数绝对值远小于被除数绝对值的除法；3、要防止大数“吃掉”小数；4、尽可能减少运算次数；5、要设法控制误差的传播。,在近似计算中应该注意的事项,
