1、1.3 随机变量,1.3.1 随机变量 1.3.1.1随机变量及其分布函数和概率分布 定义1：设( ,F, P)为概率空间， X()( )是定义在上的单值实函数，若对aR，有 ： X() a F ， 则称X()为随机变量(random variable)。分类: 离散型随机变量； 连续型随机变量； 混合型随机变量。,1.3 随机变量,样本空间、概率、随机变量间的映射关系,1.3 随机变量,随机对象 映射方法：将具体的样本空间映射到数集或者函数集（传统的方法；概率论中常用） 直接方法：直接指定样本空间为数集或函数集 当样本空间为一维实数集合时，则称该一维实变量为随机变量 当样本空间为一维复数集合
2、时，则称该一维复数变量为复随机变量 当样本空间为高维实数空间时，则称该高维实数空间为随机向量 当样本空间为定义于某个数集上的函数组成，则称该函数集合为随机过程,1.3 随机变量,随机变量的两要素 变量特征 概率特征（统计特征）,手机话费 （元）,月使用时间 （分钟）,概率质量函数 (pmf: probability mass function),任何一种离散型随机变量都可以统一地用概率质量函数表示 其他事件的概率通过概率质量函数计算得到 连续型随机变量不可以用概率质量函数表示,1.3 随机变量,概率分布函数 (cdf: cumulative distribution function),1.3
3、 随机变量,概率密度函数 (pdf: probability density function),概率分布函数的导数 概率在直线上的密度,1.3 随机变量,1.3 随机变量,定义2：假设X是概率空间( ,F, P)上的随机变量，那么对于任意x R =(-, )， P: X() x有意义，因而此概率是x的函数，记作 FX (x)=P: X() x, x R =(-, ) Or FX (x)=PX x= PX (- ,x, x R =(-, ) 称F X(x)为随机变量X = X()的分布函数(distribution function)。也称为概率累积函数(probability cumulat
4、ive function).,1.3 随机变量,随机变量分布函数的说明： 分布函数FX(x)是x的实值函数,记为F (x) ； x R1为自变量； 以事件： X() x的概率测度为函数值； 取值在0，1上。,1.3 随机变量,定理: 任意随机变量的分布函数，具有下列性质: (1)单调不减性：对 -x1x2 ，有 F(x1) F(x2) (2)右连续性：对 -a ，有 (3) 记：则： 定义3:假设X= X ()是概率空间( ,F, P)上的随机变量，对任意集合类A B1 （包含R 上所有形如集合（ -a 的最小域），记实值集函数PX(A)=P： X () A, ，称PX(A)为随机变量X()的
5、概率分布。,1.3 随机变量,1.3.1.2离散型随机变量 定义4：最多取有穷个或可数个值的随机变量叫做离散型随机变量(discrete random variable)。 假设 X()是定义在概率空间( ,F, P)上的离散型随机变量， X = (x1, x2, )是 X 所取的一切可能值的集合，含有有穷或可数个不同的实数， : X() = xi (xiX)都是事件。记 P( : X() = xi ) =pi ( xi X , i=1,2, )或 (a)称(a)为离散型随机变量 X= X()的概率分布律， pi0，pi =1,1.3 随机变量, 对于任意离散型随机变量 X= X() ，若它的
6、概率分布律由式(a)给出，则它的分布函数为：离散型随机变量的分布函数是右连续单调不减的阶梯函数.,1.3 随机变量,设X是取有穷个值的随机变量，不失一般性，假设x0x1x2 xn, ，那么在分布律(a)下， X 的分布函数FX (x)具有下图所表现的一般特征。 对任意A B1 ，有 是离散型随机变量的概率分布。 离散型随机变量的分布函数为,1.3 随机变量,例 随机试验E：连续进行两次射击，以 X表示命中目标的次数，假设每一次命中目标的概率为0.40， 以0 表示未命中目标，1 表示命中目标，那么随机试验E的所有可能结果为解：令F 为一切子集构成的事件-代数，令Ui=第i次命中目标 ， i=第
7、i次未命中目标 (i=1,2)， 则由题目可知：P (Ui)=0.4， P ( i)=0.6。 则由独立性可得：P(1)=P(1 2)= P(1) P(2)=0.36 ;P(2)=P(1 U2)= P(1) P(U2)=0.24 ;P(3)=P(U1 2)= P(U1) P(2)=0.24 ;P(4)=P(U1 U2)= P(U1) P(U2)=0.16 ; ( ,F, P)是概率空间。记上的实值映射X ()=k, ,k=0,1,2,1.3 随机变量,X()是定义在概率空间( ,F, P)上的离散型随机变量。并且，它的分布律为：分布函数为： F(x),1.3 随机变量,1.3.1.3连续型随机
8、变量 定义5：假设 X= X()是定义在概率空间( ,F, P)上的随机变量，称 X为连续型的，如果它的分布函数 F (x)=P： X() x ( x R1 )绝对连续，即存在一非负可积函数 f (x) ( x R1 ) ，使得对一切实数x R1 ，有 (b)其中 f (x)称作随机变量 X 的概率密度函数(probability density function)。 设 f (x) (xR1)是连续型随机变量 X=X()的概率密度函数，其性质： (1) f (x) 0 , xR1 ; (2) (3) 如果x是F(x)的连续点，则 对一切A B1 ，有,连续型随机变量的分布函数,连续型随机变量
9、的概率分布,一个很有用的比喻,将“概率”比喻成“质量” 在一条直线上分布总质量为1的物质 概率质量函数 总质量为1的可数个质点分布在直线上 概率分布函数 分布在x左边的总质量 概率密度函数 在x处的概率的密度,随机变量的分类,离散型随机变量 除了cdf和pdf，还可以用pmf描述 连续型随机变量 只能用cdf和pdf描述，不能用pmf描述 混合型随机变量 只能用cdf和pdf描述，不能用pmf描述,1.3 随机变量,1.3.2随机向量 样本空间标准化为高维欧氏空间 总概率1分布在n维欧氏空间内 分布的方式和一维类似 离散型随机向量 连续型随机向量 混合型随机向量,1.3 随机变量,1.3.2.
10、1 随机向量及其分布函数和概率分布 定义6：设( ,F, P)是一概率空间， X () =(X1(),X2(),Xn(),( ) 是定义在上的取值于n维空间Rn的实向量映射，如果它的每一 个分量都是随机变量，即对任意实数xi R1，i=1,2, ,n 有称 X = X ()为n维随机向量(n-dimensional random vector ) ，其中Xi=Xi()为随机向量的第i个分量(component) 。,1.3 随机变量,定义7：设X () =(X1(),X2(), Xn(),( )是定义在概率空间( ,F, P)上的一个n维随机向量,对任意 x =( x1 , x 2 , ,xn
11、 ) Rn ，定义n元实值函数：称F(x )为随机向量 X 的n元分布函数(n-dimensional distribution function)，或随机变量X1(), X2(), Xn()的联合分布函数(joint distribution function) 。,1.3 随机变量,n维随机向量的分布函数具有下述性质 : (1) 0F( x1 , x 2 , ,xn ) 1 (2) 单调不减性：对每个自变量当 xi yi R1 (i=1,2, ,n ) ： F( x1 , , xi-1 , xi , xi+1 , , xn ) F( x1 , , xi-1 , yi , xi+1 , ,
12、xn ) (3)右连续,1.3 随机变量,n维随机向量的分布函数具有下述性质 : (4)(5) 设 -ai bi ,1.3 随机变量,定义8：设X() =(X1(),X2(),Xn(),( )是定义在概率空间( ,F, P)上的一个n维随机向量，它的任意k个分量Xr1() , Xr2(), Xrk() (1kn-1, 1r1r2 rkn)构成一个k维随机向量( Xr1 , Xr2 , , Xrk )，其概率分布称为X ()的一个边缘分布，其分布函数 称为k维边缘分布函数(marginal distribution)。,1.3 随机变量,1.3.2.2离散型随机向量称n维随机向量X () =(X
13、1(),X2(),n(),( )为离散型的，当且仅当它的个分量都是离散型的随机变量。对二维离散随机向量 Z()=(X(), Y() ，二维实向量集 Z =zij=(xi,yj)是它一切可能值的集合，则联合分布律为： pij=P(: Z()= zij) = P(: X()= xi , Y()= yj) ;,1.3 随机变量,边缘分布律分别为：Z()关于分量X()、 Y()的边缘分布函数分别为：,1.3 随机变量,1.3.2.3连续型随机向量称n维随机向量X () =(X1(),X2(),Xn(),( )为连续型的，当且仅当它的个分量X1(),X2(),Xn()都是连续型的随机变量。 定义: 称n
14、维随机向量X () =(X1(),X2(),Xn(),( )为连续型的，如果它的分布函数 绝对连续，即存在非负可积函数 使 这里，n元函数 称作随机向量X()的概率密度函数或随机变量X1(),X2(),Xn()的联合密度函数。,1.3 随机变量,概率密度函数(随机变量的联合密度函数)具有下列性质： (1)(2)(3)对几乎一切 , 有 如果 X() =(X1(),X2(),Xn(),( )是连续型的，其联合概率密度函数为 ，则它的任何 r (1 r n ) 个分量的联合概率密度函数为： 其中,1.3 随机变量,当 fx,y(x,y)是随机变量 X()和Y()的联合概率密度函数，那么X()和Y(
15、)的联合分布函数为:X()和Y()的边缘分布函数分别为：其中 和为X()和Y()的边缘密度函数。,1.3 随机变量,随机向量和随机变量的关系 随机向量包含了单个分量随机变量的完全信息 随机向量还包含单个分量随机变量之间的相关信息,1.3 随机变量,随机变量间的关系,独立性定义 条件概率分布函数条件概率密度函数,1.3 随机变量,1.3.3 随机变量的独立性和条件概率 1.3.3.1随机变量的独立性 假设( ,F, P)是一概率空间, X1(),X2(),Xn()是定义在它上面的n个随机变量,称这n个随机变量是相互独立的,如果对于任意Borel集AiB1,i=1,2, ,n ，有特别的，如令 A
16、i= ( - , xi ,xi R1, i=1,2, ,n, n个随机变量相互独立当且仅 当其联合分布函数 其中 FX ( xi ) 是随机变量 Xi () 的分布函数。,1.3 随机变量,如果随机变量 X1(),X2(),Xn()相互独立，则其中任意两个或两个以上的随机变 量也相互独立，有以下两个结论： 假设X1(),X2(),Xn()是离散型随机变量，它们的一切可能值的集合分别为Xi，i=1,2, ,n那么它们相互独立当且仅当对任意xi Xi ， i=1,2, ,n 有(2)假设X1(),X2(),Xn()是连续型随机变量，其联合密度函数为，那么它们相互独立当且仅当对任意，几乎处处有 其中
17、 为随机变量 Xi() 的密度函数。,1.3 随机变量,1.3.3.2 随机变量的条件分布 假设X()和Y()是定义在概率空间( ,F, P)上的两个随机变量，若对 Borel集B B1，有P(: Y() B )0，则对任意Borel集A B1 ，由条件概率定义，有并且，对任意 xR1 ，记A =(-, x ，有 分别称为在条件(: Y() B )下，随机变量X()的条件概率分布和分布函数。,1.3 随机变量,附注：常用随机变量的分布 离散型随机变量 (1)二项分布：设 0 p 1, n 1,随机变量X()的分布律为则称X是参数为( n, p)的二项分布(binomial with param
18、eters(n, p). 简记为X B ( n, p),1.3 随机变量,附注：常用随机变量的分布 离散型随机变量 (2)泊松(Poisson)分布：设 0, 若随机变量X()的分布律为则称X是参数为 的泊松分布(Poisson with parameter ). 简记为X P (),1.3 随机变量,附注：常用随机变量的分布 离散型随机变量 (3)几何分布：设 0p1 , 若随机变量X()的分布律为则称X是参数为p 的几何分布(geometric distribution). 简记为X G (p),1.3 随机变量,附注：常用随机变量的分布 具有概率密度的随机变量 (1)均匀分布：设 a b
19、 , 若随机变量X()的概率密度函数为则称X是(a,b)上的均匀分布(uniform over (a,b) ). 简记为X U (a,b),1.3 随机变量,附注：常用随机变量的分布 具有概率密度的随机变量 (2)正态分布：设 R , 0 , 若随机变量X()的概率密度函数为则称X是参数为( , 2)的正态分布(normal with parameters ( , 2) ). 简记为X N ( , 2),1.3 随机变量,附注：常用随机变量的分布 具有概率密度的随机变量 (3)指数分布：设 0, 若随机变量X()的概率密度函数为则称X是参数为的指数分布(exponential with par
20、ameter ). 简记为X E (),1.3 随机变量,1.3.3.3 随机变量函数的分布 引言实验：测圆的直径 D. 目的：得到圆的面积 .,随机变量,随机变量的函数仍为随机变量？ 其分布函数(律)如何求？,1.3 随机变量, 设X() 是定义在概率空间( ,F, P)上的随机变量，g(x)是 Borel可测函数，则Y()亦是概率空间( ,F, P)上的一个随机变量 随机变量函数 g ()的分布函数求法： 直接法 微元法,1.3 随机变量,随机变量函数Y()=g(X()的分布函数直接求法： 实质：事件的转化例：设离散型随机变量X()的分布律为求 Y = X 2 +1 的分布律,随机变量X表
21、示的事件,转化,随机变量Y表示的事件,1.3 随机变量,解：Y的可能取值有 1,2,5 PY=1= PX2 +1 =1= PX=0=5/15=1/3; PY=2= PX2 +1 =2= PX =1+ PX =-1 =4/15+3/15=7/15; PY=5= PX 2 +1 =5=PX =2+ PX =-2 =1/15+2/15=3/15=1/5; 则 Y (= X 2 +1) 的分布律为,1.3 随机变量,求随机变量函数Y()=g(X()分布函数的微元法： 例：设电压V=Asin , (A=const 0)，相位角是一均匀分布的随机变量 U(0,)。试求电压V的概率密度。 解：v (0,A) , h0 : v+h (0, A),1.3 随机变量,由泰勒(Taylor)级数展开因此所以因此电压V的概率密度为,例1-2-1： 例1-2-2： 例1-2-3：,1.3 随机变量,作业：P35-36 习题一123,1.3 随机变量,
