1、No9 堕 塾查 TIME EDUCAT10N Sevtember 曲线坐标 系下 的梯度、散度和旋度 沈艳霞 摘要：采用矢量分析的方法推导出曲线坐标系下梯度、散度和旋度的表达式。此方法与传统方法相比具有简单、准确的优点，便于 技术人员和高效学生理解和掌握曲线坐标系下梯度等内容。 关键词：曲线坐标系梯度散度旋度 中图分类号：TK7 文献标识码：A 文章编号：16728181(2009)09007502 在空间直角坐标系中给定点的空间位置对应确定的五y，z三 个坐标，新引入的曲线坐标q “= ，2， (下同)分别是 ，Y，z确定的 形式不同的函数，因此q 在给定点处也对应三个确定值。 = 魄 肋
2、 = =篆 + + 尼 Uy c为三个给定常数，则 = 代表三张不同曲面。这三张曲面 V B(VxX)一A (vx ； 均为等值面。两坐标系曲面和的交线即为坐标曲线，如两坐标曲 V ) V 面q 和qa=c。的交线即为 坐标曲线。 Vx( V + l，=V2u=V( )； 在q 坐标曲线上任取两点M )，zJ和 +d ，y+dy，z=dz)，那么 一 V =0 M 坐标曲线的弧微分如= 出 毒 2 曲线坐标系下梯度表达式 四。(， 。 由l 瓦嘶 呶 其中dx是q 坐标曲线两点M，在直 由直角坐标系下梯度公式g ：vf： + + 和 ；： 蕊 角坐标系下x坐标值之差，而由TM,两点均位 坐标
3、+ + 以及 ：芸出十 + 可 得到 ：善 曲线上，其 ， 坐标相等，故 咖值为D，因此出 蔷幽 ，同 理可得， ：- if - -aq, a_-=毒脚 ，则 ：= 孺： + +篆出 ，而且此式与坐标系无关。 ( 。幽，同样可 ds2= ： 拉梅系数矗= 在曲线坐标系下， = 如+ +景妞， 誊幽+毒 + =魄 魄 + 妃 (应用了公式(1)，此式 魄 魄 妃e3(应用了公式()，此式 中 是沿坐标曲线的单位矢量。采用待定系数法，令 = + + ，代入公式 。 一 ，则 +差由 其中(f=1，2，3)，则 + 啦，：( + + )(由 + a +呜 )： 0 出 ，l砌 ，从而推得基本公式 ：
4、 =囊 。 Oqt osl aq 1主要公式 +五 十 ，由对应项系数对应相等可得 =番， =毒篆， = l_妃ey，因此在曲线坐标系下的梯度公 一75 N09 塾! TIME EDUCAI1ON September 式为 羔 +者薏 +丢善 3坝备足埋：旱位矢量的旋厦=jF口散厦 31单位矢量的旋度 (二1 O -+毒杀 + 1 O - =音 故Vx()-VxVq,=8(应用了公式(7)，即矢量 hi 有零旋度。 32单位矢量的散度 由于三个攀位矢量t两两正交，故 。= x#3， 因此去日=(毒 )畴 ) ， 则V去弓-V( xVq3)= 一VxVq)一 (VxVqz)=。 (应用了公式(3
5、)和(7)，即矢量 1 有零散度。 33曲线 标系下韵序嘉扶式 令 = + 十 ，则 =Vx =V( + + 上式右端第一项V )：=V )砉 V )毒 +a21v砉 (应用了公式(5)由单位矢量毒 具有零旋度可得： V = x云 砉毒 + 杀 +去毒 ，啊 I= 去 t 去 t_)= c蛹一 同理展开右端其他两若可得：V 1【 篆 )一 ，= 俩一 从而可用形式简单的行列式表达旋度公式如下： ,t2 见 令 ：巧 + 十 ，则divF=VF=V(Fro) 35曲线坐标系下拉普拉斯算子表达 +v( )+v( )， 上式中右端第一项V( )= v(|lI2 啬) eaV(，l2 )+ 最(应用
6、了公式(4)由单位矢量一丧具有零散度可得：V。( ) 去 V( )：表 毒 + 1 0 -+丢啬 ) = 1 V( ) 峦 + + ) ( 同理展开右端其他两项 V 1 ( )，V = 1( )自 坐标系 下散度表达式为： dv ：V ： 一( ! 2+ 2+ ! 墨!、。 、aq, 国2 aq3 34曲线坐标系下旋度表达式 电 =V2、 1O - 1 6q -+毒矗 音杀 。 却， 、 曲 1 1 a一 1 a一 +一h2 + ) 毒杀 吉 + 1 0 t 1 8 +毒c丢 百 百 +素玄素 杀 +亳c 杀，+毒c警毒， 4小结 本文采用纯粹矢量分析的方法，导出了曲线坐标系下梯度。 散度和旋度的表达式。与其他方法相比，本文给出的证明过程简 单、准确、理论色彩浓厚，也较易理解。本文将对科技人员和高校 学生更好地理解和掌握矢量分析这一课程体系起到积极的促进 作用。 参考文献： 【1】谢数艺矢量分析与场论【MJ北京：高等教育出版社，2002 2】F_BHildebrand应用高等数学(中册)M】中译本北京：高等教 育出版社，2004 作者简介：沈艳霞四川师范大学成都学院，四川成都611745 76一 一 旦 一F V F
