1、湖北省武汉市部分学校新 2015 届高三起点调研考试数学理试卷(解析版)2014.9.5【试卷综析】这套试题具体说比较平稳,基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新, 适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、概率、复数等几章知识,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法, 考潜能的检测功能.试题中无偏题,怪题, 起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用.一、选择题:
2、本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的【题文】1 1 2i(1 i)2A1 i B1 i C1 i D1 i12 12 12 12【知识点】复 数 代 数 形 式 的 乘 除 运 算 .L4 【答案解析】B 解析: ,故选 B.()()2iii i+=-【思路点拨】根 据 复 数 的 除 法 法 则 可 知 分 组 分 母 同 乘 以 分 母 的 共 轭 复 数 , 然 后 将其 化 简 成 a+bi( a R, b R) 的 形 式 即 可 【题文】2已知集合 A1,a,B1 ,2 ,3 ,则“a 3”是“A B”的A充分而不必要
3、条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【知识点】必 要 条 件 、 充 分 条 件 与 充 要 条 件 的 判 断 A2 【答案解析】A 解析:当 a=3 时 , A=1, 3所 以 AB, 即 a=3 能 推 出 AB;反 之 当 AB 时 , 所 以 a=3 或 a=2, 所 以 AB 成 立 , 推 不 出 a=3故 “a=3”是 “AB”的 充 分 不 必 要 条 件 ,故 选 A【思路点拨】先 有 a=3 成 立 判 断 是 否 能 推 出 AB 成 立 , 反 之 判 断 “AB”成 立 是否 能 推 出 a=3 成 立 ; 利 用 充 要 条 件 的 题 意
4、得 到 结 论 【题文】3已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数 3, 3.5,则x- y- 由该观测数据算得的线性回归方程可能是A 0.4x2.3 B 2x2.4 C 2 x9.5 y y y D 0.3 x4.4y 【知识点】线 性 回 归 方 程 I4【答案解析】A 解析: 变 量 x 与 y 正 相 关 , 可 以 排 除 C, D; 样 本 平 均 数3, 3.5,代 入 A 符 合 , B 不 符 合 , 故 选 Ax- y- 【思路点拨】变 量 x 与 y 正 相 关 , 可 以 排 除 C, D; 样 本 平 均 数 代 入 可 求 这 组 样 本 数据 的
5、回 归 直 线 方 程 【题文】4已知向量 a,b 的夹角为 45,且|a|1,|2ab| ,则|b|10A B2 C3 D42 2 2 2【知识点】平 面 向 量 数 量 积 的 运 算 F3 【答案解析】C 解析:因 为 的 夹 角 为 45, 且 | |=1, |2 |= ,,a-10所 以 4 -4 + =10, 即 ,2ab2260b-解 得 或 ( 舍 ) , 故 选 C3-【思路点拨】将 |2 |= 平 方 , 然 后 将 夹 角 与 | |=1 代 入 , 得 到 的 方 程 , 解10 ab方 程 可 得 【题文】5若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为A112B5
6、C92D4【知识点】简 单 几 何 体 三 视 图 , 棱 柱 的 体 积 .G2 G7 【答案解析】D 解析:由 图 可 知 , 此 几 何 体 为 直 六 棱 柱 , 底 面 六 边 形 可 看 做 两 个 全 等的 等 腰 梯 形 , 上 底 边 为 1, 下 底 边 为 3, 高 为 1, 棱 柱 的 底 面 积 为 棱 柱 的 高 为 1()1324+=, 此 几 何 体 的 体 积 为 V=41=4,故 选 D.【思路点拨】先 根 据 三 视 图 判 断 此 几 何 体 为 直 六 棱 柱 , 再 分 别 计 算 棱 柱 的 底 面 积 和 高 ,最 后 由 棱 柱 的 体 积 计
7、 算 公 式 求 得 结 果 .【题文】6在ABC 中,AC ,BC2 ,B60 ,则 BC 边上的高等于7A B C D【知识点】余 弦 定 理 . C8 【答案解析】B 解析:在 ABC 中 , 由 余 弦 定 理 可 得 , AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB把 已 知 AC= , BC=2 B=60代 入 可 得 , 7=AB2+4-4AB7 1整 理 可 得 , AB2-2AB-3=0, AB=3,作 AD BC 垂 足 为 DRt ABD 中 , AD=ABsin60= , 即 BC 边 上 的 高 为 ,故选 B.【思路点拨】在 ABC 中 , 由 余 弦 定 理 可 得
8、 , AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB 可 求AB=3, 作 AD BC, 则 在 Rt ABD 中 , AD=ABsinB 即 可 得 到 结 果 .【题文】7x, y 满足约束条件 Error!若 zyax 取得最大值的最优解不唯一,则实数 a的值为A 或1 B2 或 C2 或 1 D2 或 112 12【知识点】简 单 线 性 规 划 E5【答案解析】D 解析:作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 如 图 : ( 阴 影 部 分 ABC) 由 z=y-ax 得 y=ax+z, 即 直 线 的 截 距 最 大 , z 也 最 大 若 a=0, 此 时 y=z, 此
9、时 , 目 标 函 数 只 在 A 处 取 得 最 大 值 , 不 满 足 条 件 ,若 a 0, 目 标 函 数 y=ax+z 的 斜 率 k=a 0, 要 使 z=y-ax 取 最 大 值 的 最 优 解 不 唯 一 ,则 直 线 y=ax+z 与 直 线 2x-y+2=0 平 行 , 此 时 a=2,若 a 0, 目 标 函 数 y=ax+z 的 斜 率 k=a 0, 要 使 z=y-ax 取 最 大 值 的 最 优 解 不 唯 一 ,则 直 线 y=ax+z 与 直 线 x+y-2=0, 平 行 , 此 时 a=-1,综 上 a=-1 或 a=2, 故 选 : D【思路点拨】作 出 不
10、 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 , 利 用 目 标 函 数 的 几 何 意 义 , 得 到 直线 y=ax+z 斜 率 的 变 化 , 从 而 求 出 a 的 取 值 【题文】8如图,互不相同的点 A1,A 2,A n,和 B1,B 2,B n,分别在角 O的两条边上,所有 AnBn 相互平行,且所有梯形 AnBnBn1 An1 的面积均相等设OAna n,若 a11,a 22 ,则 a9 A B C5 D219 22 7【知识点】数 列 的 应 用 D2【答案解析】C 解析:设 SOA1B1 S, OA1=a1=1, OA2=a2=2, A1B1 A2B2, A1B1 是 三 角
11、形 OA2B2 的 中 位 线 , , 梯 形 A1B1B2A22(14)OSA的 面 积 为 3S 故 梯 形 AnBnBn+1An+1 的 面 积 =3S 所 有 AnBn 相 互 平 行 , 所 有 OAnBn( n N*) 都 相 似 , ,214as=,2374as=, , , , , 2124a237 数 列 是 一 个 等 差 数 列 , 其 公 差 d=3, 故 =1+( n-1) 3=3n-2n 2a an= 所 以 , 故 选 C.3295【思路点拨】先根据题意得到数 列 是 一 个 等 差 数 列 , 再 代 入 n=9 即 可 .2na【题文】9已知 F 为抛物线 y2
12、x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, 2(其中 O 为坐标原点) ,则AFO 与BFO 面积之和的最小值是 OA OBA B C D 2【知识点】抛物线的性质;基本不等式.H7 E6【答案解析】B 解析:不妨设 A ,B ,其中 ,21,y2,y120,y由 2 可得: ,解得 (舍去) ,故 , OA OB 21y1212,21由此可得AFO 与BFO 面积之和为 ,所以12OFy,故选 B.1212884Fyy【思路点拨】先利用已知条件得到 ,再结合基本不等式求出最小值即可.21y【题文】10已知函数 f(x)x 2e x (x0 )与 g(x)x 2ln(xa )的
13、图象上存在关于 y 轴12对称的点,则 a 的取值范围是A( , ) B(, ) C( , ) D( , )e e e【知识点】函 数 的 图 象 和 性 质 ;函 数 的 零 点 ;函 数 单 调 性 的 性 质 .B9 B10 B3【答案解析】B 解析:由 题 意 可 得 : 存 在 x0 ( - , 0) , 满 足 x02+ex0-12=( -x0) 2+ln( -x0+a) , 即 ex0- -ln( -x0+a) =0 有 负 根 ,12 当 x 趋 近 于 负 无 穷 大 时 , ex0- -ln( -x0+a) 也 趋 近 于 负 无 穷 大 ,12且 函 数 g( x) =e
14、x- -ln( -x+a) 为 增 函 数 , g( 0) = -lna 0,12 12 lna ln , a ,e e a 的 取 值 范 围 是 ( - , ) , 故 选 : Be【思路点拨】由 题 意 可 得 : 存 在 x0 ( - , 0) , 满 足 x02+ex0- =( -x0)122+ln( -x0+a) , 结 合 函 数 g( x) =ex- -ln( -x+a) 图 象 和 性 质 , 可 得 g( 0)12= -lna 0, 进 而 得 到 答 案 12二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置,书写不清,
15、模棱两可均不得分【题文】11设二项式( )5 的展开式中常数项为 A,则 A x【知识点】二项式定理.J3 【答案解析】10 解析:二 项 式 ( )5 的 展 开 式 的 通 项 公 式 为x1515362rrrr rTCxCx( ) ( )令 =0, 解 得 r=3, 故 展 开 式 的 常 数 项 为 - =-10,156r 35C故 答 案 为 -10【思路点拨】先 求 出 二 项 式 展 开 式 的 通 项 公 式 , 再 令 x 的 系 数 等 于 0, 求 得 r 的值 , 即 可 求 得 展 开 式 中 的 常 数 项 的 值 【题文】12如果执行如图所示的程序框图,输入 x
16、1,n3,则输出的数 S 【知识点】程 序 框 图 .L1【答案解析】4 解析:判 断 前 x=-1, n=3, i=2,第 1 次 判 断 后 循 环 , S=-6+2+1=-3, i=1,第 2 次 判 断 后 S=5, i=0,第 3 次 判 断 后 S=-4, i=-1,第 4 次 判 断 后 -1 0, 不 满 足 判 断 框 的 条 件 , 结 束 循 环 , 输 出 结 果 : -4故 答 案 为 : -4【思路点拨】列 出 循 环 过 程 中 S 与 K 的 数 值 , 不 满 足 判 断 框 的 条 件 即 可 结 束 循 环 【题文】13正方形的四个顶点 A(1,1),B(
17、1,1),C(1,1) ,D( 1,1)分别在抛物线 yx 2 和 yx 2 上,如图所示若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中,则质点落在图中阴影区域的概率是 【知识点】积分的意义;几何概型.B13 K3 【答案解析】 解析:因为 ,所以在第一象限有 ,则在第一象限的阴影23 2yxxy部分的面积为 ,所以概率为 ,故答案为 .311200|yd 24323【思路点拨】先利用积分的意义求出图形在第一象限的阴影部分的面积,然后求概率即可.【题文】14已知椭圆 C: 1 ,点 M 与 C 的焦点不重合若 M 关于 C 的焦点的对x24 y23称点分别为 A,B ,线段 MN 的中点在 C 上,
18、则|AN|BN| 【知识点】椭 圆 的 定 义 ;椭 圆 的 基 本 性 质 的 应 用 .H5【答案解析】8 解析:如 图 :MN 的 中 点 为 Q, 易 得 |QF2| |NB|, |QF1| |AN|,2 Q 在 椭 圆 C 上 , |QF1|+|QF2|=2a=4, |AN|+|BN|=8 故 答 案 为 8【思路点拨】画 出 图 形 , 利 用 中 点 坐 标 以 及 椭 圆 的 定 义 , 即 可 求 出 |AN|+|BN|的值 【题文】15平面几何中有如下结论:如图 1,设 O 是等腰 RtABC 底边 BC 的中点,AB 1,过点 O 的动直线与两腰或其延长线的交点分别为 Q
19、,R ,则有 2类1AQ 1AR比此结论,将其拓展到空间有:如图 2,设 O 是正三棱锥 A-BCD 底面 BCD 的中心,AB, AC,AD 两两垂直,AB1,过点 O 的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为 Q,R ,P ,则有 【知识点】类比推理.M1【答案解析】 3 1AQ 1AR 1APNM解析:不妨设 R 为 AC 的中点,取 AB 的中点 M,连接 RM,QR 与 BC 交于 N,所以BN/MR,故 ,所以 ,即 ,解得2,3BN=QBNR=231BR=+,所以 , ,所以 ,故答案为 3. 1QAP12R2AP【思路点拨】不妨设 R 为 AC 的中点,取 AB 的中点
20、 M,连接 RM,QR 与 BC 交于 N,所以BN/MR,然后求出各线段的长度代入即可 .三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16 (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)cosx (sinxcos x) 12()若 sin( ) ,且 0,求 f()的值;4()当 f(x)取得最小值时,求自变量 x 的集合【知识点】三角函数求值;三角函数的最值. C7 【答案解析】 () ()x|x k ,kZ12 38解析:()0, 2 分4 4 54sin( ) , ,即 4 分4 4 34 2f() cos(sincos) cos (sin cos )
21、 6 分12 2 2 2 12 12()f(x) sinxcos xcos 2x sin2x 7 分12 12 1 cos2x2 12 sin2x cos2x sin(2x ) 8 分12 12 4当 2x 2k ,kZ,4 2即 xk ,kZ 时,f (x)取得最小值, 10 分38此时自变量 x 的集合为 x|xk ,k Z12 分38【思路点拨】 ()先利用已知条件解出 再代入求值即可;()把函数化简,利用三角函数的性质求出最小值以及自变量 x 的集合即可【题文】17 (本小题满分 12 分)已知数列a n的前 n 项和为Sn,a 11 ,a n0,a nan1 Sn1,其中 为常数()
22、证明:a n2 a n;()当 为何值时,数列a n为等差数列?并说明理由【知识点】数 列 递 推 式 ; 等 差 关 系 的 确 定 D1 D2【答案解析】 ()见解析()4.解析:()由题设,a nan1 S n1 ,a n1 an2 S n1 11 分两式相减,得 an1 (an2 a n)a n1 2 分由于 an1 0,所以 an2 a n4 分()由题设,a 11,a 1a2S 11,可得 a216 分由()知,a 31令 2a2 a1a 3,解得 4 6 分故 an2 a n4,由此可得 a2n1 是首项为 1,公差为 4 的等差数列,a 2n1 4 n3;8 分a2n是首项为
23、3,公差为 4 的等差数列,a 2n4n1 10 分所以 an2n1,a n1 a n 2因此当 4 时,数列a n为等差数列12 分【思路点拨】 ()利 用 anan+1= Sn-1, an+1an+2= Sn+1-1, 相 减 即 可 得 出 ;()先由题设可得 a21 ,由()知,a 31 ,解得 4,然后判断即可. 【题文】18 (本小题满分 12 分)如图,在三棱锥 P-ABQ 中,PB平面ABQ,BABPBQ,D ,C,E,F 分别是 AQ,BQ, AP,BP 的中点,AQ2BD ,PD 与 EQ交于点 G,PC 与 FQ 交于点 H,连结 GH()求证:ABGH;()求平面 PA
24、B 与平面 PCD 所成角的正弦值【知识点】线面平行的性质定理;二面角.G4 G10【答案解析】 ()见解析()解析:()D,C,E,F 分别是 AQ,BQ ,AP,BP 的中点,1 分EFAB,DCAB, 2 分EFDC又 EF 平面 PCD,DC平面 PCD, EF平面 PCD 3 分又 EF 平面 EFQ,平面 EFQ平面 PCDGH,4 分EFGH又 EFAB,AB GH6分()在ABQ 中,AQ2BD ,ADDQ,ABQ 90 ,即 ABBQ又 PB平面 ABQ,BA ,BQ,BP 两两垂直以 B 为坐标原点,分别以 BA,BQ,BP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系设 BABQ BP2,则 B(0,0, 0),Q(0,2,0),D(1,1, 0),C(0 ,1,0),P (0,0 ,2),(注:坐标写对给 2 分) (1 ,1 ,2), (0,1,2)8 分 DP CP设平面 PCD 的一个法向量为 n(x,y,z),由 n 0 ,n 0,得 DP CPError!取 z1,得 n(0,2 ,1)10 分又 (0,2,0)为平面 PAB 的一个法向量, BQcosn, BQ故平面 PAB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 12 分