1、河南省顶级名校 2015 届高三上学期入学定位考试理科数学试卷（时间：120 分钟 满分：150 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分1、已知集合 RxyNxM,2,2，则 MN （A） 0, （B） 01 （C） 0,1 （D） 0,12、 已知复数 23iz，则 z的虚部是（A） 51（B） 51（C） i51（D） 523、某学生在一门功课的 22 次考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为（A）117 （B）118 （C） 1185 （D ）11954、已知双曲线21()myxR与椭圆21yx有相同的焦点，则该双曲线的渐
2、近线方程为（A） 3yx（B）3yx（C） 3yx（D） 3yx5、有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A）1（B）12（C）23（D） 46、在各项均为正数的等比数列 na中，若 1(2)mma，数列 na的前 项积为 nT，若 215m，则 的值为（A）4 （B）5 （C） 6 （D） 77、设偶函数 )si()(xxf（ ,0A),的部分图象如图所示， KLM为等腰直角三角形，90KLM， 1，则()6f的值为（A） 43（B） 4（C）12（D ） 438、执行如图中的程序框图，若输出的结果
3、为 21,则判断框中应填（A） 5i （B ） 6i （C） 7i （D） 8i9、如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（A）54 （B）27 （C）18 （D） 9（第 8 题图） （第 9 题图） 10、抛物线24yx的焦点为 F，点 ,AB在抛物线上，且 120AFB，弦 A中点M在其准线上的射影为 N，则M的最大值为（A）3（B）23（C） 3 （D）4311、四面体 CD的四个顶点都在球 O的表面上， AB平面 C， B是边长为 3的等边三角形.若 2A，则球 的表面积为（A） 32（B ） 1 （C） 16 （D） 3212、 函数 )0(.)(,3)(2xexfa在 2,
4、上的最大值为 2，则 a的取值范围是（A）),2ln1（B）ln21,（C） )0,( （D ）ln1,(二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13、若点 (,)Pxy满足线性约束条件20,xy则zxy的取值范围是 14、若 2()nx二项展开式中的第 5 项是常数项，则中间项的系数为 15、设 O是 ABC的三边中垂线的交点, ,abc分别为角 ,ABC对应的边,已知220bc,则 ur的范围是_ 16、已知有限集 123,2,naN.如果 中元素 1,23,ian满足 12na，就称 A为“复活集”，给出下列结论：集合5,2是“复活集”； 1212,aRa若 且 是“
5、 复活集”，则124a； *112,aNa若 则不可能是“ 复活集 ”；若*iN，则“复活集”A有且只有一个，且 3n.其中正确的结论是_ （填上你认为所有正确的结论序号）三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤17、 (本小题满分 12 分）在 BC中，角 ,对的边分别为 ,abc，已知 2.（）若 3A，求 bc的取值范围；（）若 1B，求 ABC面积的最大值.18、 （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 PD中，底面 为菱形， 60A， Q是 A的中点.（）若 ，求证： PBAD平 面 平 面 ；（）若平面 PDC平 面 ，且 2,点 M在线段
6、 PC上，试确定点 M的位置，使二面角 Q的大小为 60，并求出 的值.19、 （本小题满分 12 分） 生产 A， B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于 82 为正品，小于 82 为次品，现随机抽取这两种元件各 100 件进行检测，检测结果统计如下：测试指标 70,6,82,8,94,10元件 A8 12 40 32 8元件 B7 18 40 29 6（）试分别估计元件 A、元件 B为正品的概率；（）生产一件元件 ，若是正品可盈利 50 元，若是次品则亏损 10 元；生产一件元件 B，若是正品可盈利 100 元，若是次品则亏损 20 元，在（）的前提下（i）求生产 5 件元件
7、所获得的利润不少于 300 元的概率； （ii）记 X为生产 1 件元件 和 1 件元件 所得的总利润，求随机变量 X的分布列和期望20、 (本小题满分 12 分）椭圆2:1(0)xyCab过点31,2A，离心率为12，左、右焦点分别为 12,F，过 1F的直线交椭圆于 ,B两点（）求椭圆 的方程；（）当 AF2的面积为 721时，求直线的方程.21、 （本小题满分 12 分）已知 (),()lnkxfaegxk（）当 1时，若 f在 1,)上为减函数， ()gx在 0,1上是增函数，求 k值；（）对任意 0,(kxx恒成立，求 a的取值范围.请考生在第 22、23 、24 三题中任选一题做答
8、，如果多做，则按所做的第一题记分.22、 （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲已知，在 ABC中， D是 上一点， ACD的外接圆交于 E， 2（）求证： ；（）若 平分 ，且 2,1E，求 B的长.23、 （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点， x轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线2:sincos0Ca，已知过点 ,4P的直线的参数方程为：24xty是 参 数，直线与曲线 C分别交于 ,MN（）写出曲线 C和直线的普通方程；（）若 ,PMN成等比数列，求 a的值24、 (本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知函数 |1|fx.
9、()解不等式: ()2f；()当 0a时, 不等式 3()afxaf恒成立, 求实数 a的取值范围.参考答案一、选择题1-5 ABBAA 6-12 BDCCA CD二、填空题13、 2,0 14、 160 15、 1,2416、 三、解答题17、 解：（ 1）3,23sinaaAR（ 2 分）4432siniisinsisin()333cos()6bRBCBCB2250336A 1sin()(,62.(,4bc（ 6 分）（2 ）211coss0sinbcABCbAAbc （8 分）2 22 24639a c（ 10 分） 22111sin 922ABCbcSbcbc 当且仅当 3时, ABC
10、的面积取到最大值为 . （12 分）18、 解：（ 1） PD， Q为 的中点， ADPQ，又 底面 为菱形， 60， B ,又 BPQA平面 ，又 平面 ,平面 平面 D;-6 分（2 ） 平面 平面 BC,平面 PA平面 ADBC,APQ平面 .以 为坐标原点，分别以 Q,为 zyx,轴建立空间直角坐标系如图.则 )0,32(),0(),3(),0( CB,设 PCM( 1),所以 ),2，平面 Q的一个法向量是 1(0,)n，设平面 QB的一个法向量为 2n),(zyx，所以20MBn 取 2n)3,0(，-9 分由二面角 CM大小为 60，可得：12|n，解得 31，此时 31PM-1
11、2 分19、解：（I）由题可知元件 A为正品的概率为45，元件 B为正品的概率为34（2 分）（II） （i）设生产的 5 件元件 B中正品数为 x，则有次品 x件，由题意知,zyxBCDPQ102(5)30x,解得 4,5x，设“生产的 5 件元件 B所获得的利润不少于 300 元”为事件 C，则455318()2P（6 分）（ii）随机变量 X的所有取值为 150,90,30，-30则 4313411(150),(90),(0),(30)5425542PPPXPX所以随机变量 的分布列为：X150 90 30 -30520520所以，随机变量 的期望为：31()19(3)18E（12 分）
12、20、解：（1）因为椭圆2:(0)xyCab过点3,2A，所以 2194ab，又因为离心率为12，所以ca，所以234，解得2,3.所以椭圆的方程为：2143xy （4 分）（2 ） 当直线的倾斜角为 2时，3(,)(1,)2AB2127ABFS，不适合题意。 （6 分）当直线的倾斜角不为时，设直线方程 :(1)lykx，代入2143xy得：22(43)840kx （7 分）设 12(,),)AxyB，则2121,3kkx2 2221212111841()4()()31437ABF kSyFkxk 22801k，所以直线方程为： xy或 0xy （12 分）21、解：（）当 1a时， ()1,
13、kxfe1()1),(.kxfegk()fx在 ,)上为减函数，则,0f， g在 01上是增函数，则(01) 1xxkxk(6 分)（）设 ()(ln(0)kxhxfgae则1)kxe，设1),kxu则 21kxuae（1 ）当 0a时， (,(0uh，所以 ()h在 0,)上是减函数， ()0h在(,)不恒成立；（2 ）当 0a时， 21()0kxuae，所以 ()ux在 0,)上是增函数， ()ux的函数值由负到正，必有 00(,)(,xx即01kxae，两边取自然对数得，00lnlak，所以， ()hx在 0,)上是减函数， 0(,)x上是增函数，所以，0min 000(1ln1lnln
14、lkaekxkxka因此， la，即 的取值范围是 (,). (12 分)22、解：（）连接 DE，四边形 AC是圆的内接四边形， BCA，又 B， DBE A，BEDAC，又 2， 2B (5 分) （）由（） DE A，知EDC，又 2ABE， 2CD， 2AC， 1，而 C是 的平分线 1，设 Bx，根据割线定理得 BE即112x，解得 x，即 BD (10 分)23、解：（） 2,2xya(4 分)（）直线的参数方程为（t 为参数）,代入 axy2得到0)4(8)(2t,则有 )4(8,211tat，因为2MNP，所以 21tt，即 12125tt ，即 0a解得 a10 分24、解 :()原不等式等价于:当 1x时, 23,即1x；当 12x时, ,即 ； 当 时, 2,即5.综上所述,原不等式的解集为15|2x.（5 分）()当 0a时,()|1|fxfxa= 1|xax1|1|ax所以 23|1|a （10 分）
