1、河北省唐山市 2015 届高三年级摸底考试文科数学试卷（带解析）1已知集合 Mx|x1，Nx|2x 20，则 MN( )A. ，) B.1， 2C.1，) D.(， 1，)【答案】A【解析】试题分析：由已知，Mx|x1，Nx| x 2故 MNx|x ，选 A2考点:集合运算，简单一元二次不等式2复数 z ，则( )13iA.|z|2 B.z 的实部为 1C.z 的虚部为i D.z 的共轭复数为1i【答案】D【解析】试题分析：z (3)2ii故|z| ，A 错；z 的实部为1，B 错；z 的虚部为1，C 错，z 的共轭复数为21i，D 正确考点:复数的代数运算，复数的基本概念3函数 f(x) 是
2、( )2xA.偶函数，在(0，)是增函数B.奇函数，在(0，)是增函数C.偶函数，在(0，)是减函数D.奇函数，在(0，)是减函数【答案】B【解析】试题分析：因为 f(x)f(x)，所以 f(x)为奇函数又因为 y2 x是增函数，y2 x 为减函数，故 为增函数，选 B2()xf考点:函数的奇偶性和单调性.4抛物线 y2x 2的准线方程是( )A.x B.x C.y D.y111818【答案】C【解析】试题分析：将抛物线方程改写为标准形式： 2xy故 ，且开口向上，故准线方程为 ，选 C12p 18py考点:抛物线的标准方程，抛物线的准线5已知 ，则 sin2x 的值为( )1sin()4xA
3、. B. C. D.169678156【答案】C【解析】试题分析： .选 C2217sin2cos(2)sin()()448xxx考点:三角函数恒等变换，二倍角公式6甲、乙、丙三人站成一排，则甲、乙相邻的概率是( )A. B. C. D.23131256【答案】A【解析】试题分析：甲乙丙三人站成一排，有(甲乙丙)，(甲丙乙)，(丙甲乙)，(乙甲丙)，(乙丙甲)，(丙乙甲)，共 6 种站法，其中甲乙相邻的站法只有 4 种，概率为 .23考点:古典概型7执行如图所示的程序框图，则输出的 a( )A. B. C.5 D.541445【答案】C【解析】试题分析：该程序每循环一次，n 增加 1，当 n5
4、 时跳出循环，故需要循环 4 次，每一次循环将 1 的值赋予新的 a，因此，9 次运算的 a 值依次为：5， ， ，5，a 1因此最后输出的 a 值为 5.选 C考点:程序框图8设向量 a，b 满足|a|b|ab|1，则|atb|(tR)的最小值为( )A.2 B. C.1 D.1232【答案】D【解析】试题分析：由于|a|b|ab|1，于是|ab| 21，即 a22abb 21，即 ab 12|atb| 2a 22tabt 2b2(1t 2)2tabt 2t1 ，故|atb|的最小值为34.选 D3考点:平面向量基本运算9将函数 的图象关于 x 对称，则 的值可能是( )()sin)6fx6
5、A. B. C.5 D.21232【答案】D【解析】试题分析：根据正弦型函数的性质及已知条件，有 ()62kZ取 k0，得 2 满足条件，选 D考点:三角函数的图象及其性质10某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. B. 6 C. 5 D. 5435 3【答案】C【解析】试题分析：原几何体下部是一个棱长为 1 的正方体，上部是底面变成为 1，高为1 的正四棱锥，正方体有五个面是几何体的表面，面积为 5，正四棱锥四个侧面三角形的底边长为 1，高为 ，面积和为25()1542故几何体的表面积为 5 ，选 C考点:三视图，表面积11已知 a0，x，y 满足约束条件 ，且 z2xy
6、的最小值为 1，则 a( )13()xyaA. B. C.1 D.2142【答案】B【解析】试题分析：画出可行域，由于 z2xy 与 x 均正相关，因此直线 2xyz 在 x 轴上截距最小时，z 取得最小值为 1，此时，直线 2xy1 应经过 x1 与 ya(x3)的公共点 A该点坐标为 A(1，1)，故 a .选 B2x1ya (x3)2x yzxy3y0 x31A考点:线性规划12已知 a0，且 a1，则函数 f(x)a x(x1) 22a 的零点个数为( )A.1 B.2 C.3 D.与 a 有关【答案】B【解析】试题分析：设 g(x)2aa x，h(x)(x1) 2，注意到 g(x)的
7、图象恒过定点(1，a)，画出他们的图象无论 a1 还是 0a1，g(x)与 h(x)的图象都必定有两个公共点0 a1a110 xy考点:零点的个数13函数 f(x)log 2(2x1)的定义域为_.【答案】 ( ， )1【解析】试题分析：由 2x10，得 x .注意写成集合或者区间形式.12考点:函数的定义域，对数函数的性质14实数 x，y 满足 x2y2，则 3x9 y的最小值是_.【答案】6【解析】试题分析：3 x9 y3 x3 2y2 22236xyxy考点:基本不等式15已知双曲线 C： (a0，b0)的一条渐近线与直线 l： 垂直，21a 30xyC 的一个焦点到 l 的距离为 1，
8、则 C 的方程为_.【答案】x 2 13y【解析】试题分析：由已知，一条渐近线方程为 ，即30xy3ba又 ，故 c2，即 a2b 24，解得 a1，b313c双曲线方程为 x2 13y考点:双曲线的渐近线，点到直线距离公式16在ABC 中， ，点 D 在边 BC 上， ， ，2AB2BDC310cosA，则 ACBC_.25cosC【答案】3 5【解析】试题分析：ADC 中，由 cosDAC ，得 sinDAC ，31010同理，由 cosC ，得 sinC255于是，sinADCsin(DACC) 10231052由正弦定理： ，sinsiACDA由此得： ，5又 BC3DC于是，在ABC
9、 中，由余弦定理，得22cosABCABC22255953DD2由 ，得 DC1AB从而 BC3，AC 5即 ACBC3考点:三角形中的三角函数，正弦定理，余弦定理17已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，S nkn(n1)n(kR)，公差 d 为 2.(1)求 an与 k；(2)若数列b n满足 ， (n2)，求 bn. 12b12nan【答案】(1)a n2n1；(2)b n 43【解析】试题分析：(1)先直接写出 a1，a 2，由 d2 求出 k，再利用数列中 an与 Sn之间的关系求出 an；(2)用迭代法(或叠加法)求出 bn满足的关系式，再利用等比数列求和公式求出 bn.试题解
10、析：()由题设得 a1S 12k1，a2S 2S 14k1，由 a2a 12 得 k1，则 a11，a na 1(n1)d2n1. 4 分()b nb n1 n b n2 (n1) na12nanab 12 3 (n1) n23由()知 2 2n1 ，又因为 b12，所以abn2 12 32 5 2 2n3 2 2n1 4n3n明显，n1 时，也成立综上所述，b n 12 分43考点:等差数列与等比数列的通项公式与前 n 项和18某公司对夏季室外工作人员规定如下：当气温超过 35时，室外连续工作时间严禁超过 100 分钟；不少于 60 分钟的，公司给予适当补助.随机抽取部分工人调查其高温室外连
11、续工作时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中工作时间范围是0，100，样本数据分组为0，20)，20，40)，40.60)，60，80)，80，100.(1)求频率分布直方图中 x 的值；(2)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；(3)用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率；用分层抽样的方法从享受补助人员和不享受补助人员中抽取 25 人的样本，检测他们健康状况的变化，那么这两种人员应该各抽取多少人？【答案】(1)x0.0125；(2)30；(3)3 人，22 人【解析】试题分析：(1)利用直方图的基本性质可求 x；(2)根据直方图中中位数的定义求解中位
12、数；(3)找出各层次人数的比例，然后按比例将人数分到两个层次中，确定抽取人数.试题解析：()由直方图可得：20(x0.02500.00650.00300.0030)1，解得 x0.0125 4 分()设中位数为 t，则200.0125(t20)0.02500.5，得 t30.样本数据的中位数估计为 30 分钟 8 分()享受补助人员占总体的 12%，享受补助人员占总体的 88%因为共抽取 25 人，所以应抽取享受补助人员 2512%3 人，抽取不享受补助人员 2588%22 人 12 分考点:频率分布，直方图，统计19如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1中，点 D 是 BC 的中点.(1)求
13、证：A 1B平面 ADC1；(2)若 ABAC，BCAA 12，求点 A1到平面 ADC1的距离.【答案】(1)见解析；(2) 25【解析】试题分析：(1)通过“平面外的直线平行于平面内的直线”证明线面平行；(2)直接求距离不方便时，可以利用等面积或者等体积方法求点到平面的而距离.试题解析：()连接 A1C，交 AC1于点 E，则点 E 是 A1C 及 AC1的中点连接 DE，则DEA 1B因为 DE平面 ADC1，所以 A1B平面 ADC1 4 分()由()知 A1B平面 ADC1，则点 A1与 B 到与平面 ADC1的距离相等，又点 D 是 BC 的中点，点 C 与 B 到与平面 ADC1
14、的距离相等，则 C 到与平面 ADC1的距离即为所求 6 分因为 ABAC，点 D 是 BC 的中点，所以 ADBC，又 ADA 1A，所以 AD平面 BCC1B1，平面 ADC1平面 BCC1B1作于 CFDC 1于 F，则 CF平面 ADC1，CF 即为所求距离 10 分在 RtDCC 1中，CF 1C25所以 A1到与平面 ADC1的距离为 12 分5考点:空间几何体，空间线面平行，点到平面的距离20已知函数 f(x)2e xax2(aR)(1)讨论函数的单调性；(2)当 x0 时，f(x)0，求 a 的取值范围.【答案】(1)当 x (，ln )时，f (x)单调递减；当 x (ln
15、， )时，f (x)单调递22a增(2)(，2【解析】试题分析：(1)利用导数值的正负，通过对 a 范围的讨论，找出相应单调区间；(2)利用(1)先确定 a 的大范围为 a0，然后通过函数的单调性解此不等式.试题解析：()f (x)2e xa若 a0，则 f(x)0，f (x)在(，)上单调递增；若 a0，则当 x(，ln )时，f (x)0，f (x)单调递减；2当 x(ln ，)时，f (x)0，f (x)单调递增 5 分2a()注意到 f(0)0若 a0，则当 x0，)时，f (x)单调递增，f (x)f (0)0，符合题意若 ln 0，即 0a2，则当 x0，)时，f (x)单调递增，
16、f (x)f (0)0，符合题意若 ln 0，即 a2，则当 x(0，ln )时，f (x)单调递减，f (x)0，不合题意2a综上所述，a 的取值范围是(，2 12 分考点:利用导数讨论函数的单调性，分类与整合，含参数不等式21椭圆 C： (ab0)的离心率为 ，P(m，0)为 C 的长轴上的一个动点，过21xy35P 点斜率为 的直线 l 交 C 于 A、B 两点.当 m0 时，45 412PAB(1)求 C 的方程；(2)求证： 为定值.22|P【答案】(1) ；(2)41156xy【解析】试题分析：(1)用坐标表示向量，利用 可求的椭圆相关数据，从PAB412而得到方程；(2)将|PA
17、| 2|PB| 2通过坐标转化为 m 的表达式，证明该表达式与 m 的值无关.试题解析：()因为离心率为 ，所以 35ba45当 m0 时，l 的方程为 y x，4代入 并整理得 x2 2 分21xyab设 A(x0，y 0)，则 B(x 0，y 0)， PAB241522a又因为 ，所以 a225，b 216，椭圆 C 的方程为 5 分2156xy()l 的方程为 x ym，代入 并整理得 25y220my8(m 225)042156xy设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|PA| 2(x 1m) 2 ，同理|PB| 2 8 分146214162y则|PA| 2|PB| 2 (
18、) (y1y 2)22y 1y22 ( )2 4141655所以，|PA| 2|PB| 2是定值 12 分22如图，O 过平行四边形 ABCT 的三个顶点 B，C，T，且与 AT 相切，交 AB 的延长线于点 D.(1)求证：AT 2BTAD；(2)E、F 是 BC 的三等分点，且 DEDF，求A.【答案】(1)见解析；(2)45【解析】试题分析：(1)利用圆的切割线定理，寻求相关线段的关系；(2)充分利用弦切角等于同弧所对圆心角求解A.试题解析：()证明：因为ATCB，ATBTCB，所以AATB，所以 ABBT.又 AT 2ABAD，所以 AT 2BTAD 4 分()取 BC 中点 M，连接 DM，TMFEDABTC由()知 TCTB，所以 TMBC因为 DEDF，M 为 EF 的中点，所以 DMBC所以 O，D，T 三点共线，DT 为O 的直径所以ABTDBT90.所以AATB45. 10 分考点:平面几何证明23在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C：
