1、江苏省建陵高级中学 2015 届高三上学期第一次质量检测 数学 试题(总分 160 分, 考试时间 120 分钟)一 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 14 小 题 ,每 小 题 5 分 ,计 70 分 .不 需 写 出 解 答 过 程 ,请 把 答案 写 在 答 题 纸 的 指 定 位 置 上 .1. 函数 的最小正周期为 xxf2sin)(2. 命题“ ”的否定是 ,0R3. 5lg2lg4. 复数 对应的点位于复平面的第 象限081i5.一个算法的流程图如右图所示，则输出 S 的值为 6. 设函数 是奇函数且周期为 3， = )(xf )2014()(ff7已知 ，则 abcacbAB
2、C2,且三 边 长 分 别 为 C8已知双曲线 垂直，则 a= 0312 yxayx的 一 条 渐 近 线 与 直 线9.把一根均匀木棒随机地按任意点折成两段,则“其中一段的长度大于另一段长度的 2 倍”的概率为 10.已知实数 满足 则 的取值范围是 xy， 203,zxy11圆 上一点到直线 的距离的最小值为 26412342012函数 在 上的单调递增区间为 sinyx(,)13将正偶数排列如右表，其中第 行第 个数表示为 ，ij *(,)ijaN例如 ，若 ，则 . 4318a201ij14. 下列四种说法：命题“ xR ，使得 x213x”的否定是“ xR ，都有 x213x” ；“
3、m=2”是“ 直线(m2)xmy1=0 与直线（m2 ）x(m2)y3=0 相互垂直”的必要不充分条件；24 68 10 1214 16 18 2015 第 13 题在区间2，2上任意取两个实数 a，b，则关系 x 的二次方程 x22ax b 21=0 的两根都为实数的概率为 ；16过点（ ，1）且与函数 y= 图象相切的直线方程是 4xy3=0 x其中所有正确说法的序号是_。二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15 （本小题满分 14 分）已知 均为锐角，且 ， ,3sin51ta()3（1）求 的值；
4、（2 ）求 的值sin()cos16 （本小题满分 14 分）如图，已知斜三棱柱 ABCA 1B1C1 中，ABAC，D 为 BC 的中点（1 ）若平面 ABC平面 BCC1B1，求证：AD DC 1；（2 ）求证：A 1B/平面 ADC1ABCDA1B1C1(第 16 题 )17 (本小题满分 14 分)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以 30 天计） ，旅游人数 （万人）与()ft时间 （天）的函数关系近似满足 ，人均消费 （元）与时间 （天）的函t 1()4ftt()gt数关系近似满足 .()15|gt（）求该城市的旅游日收益 （万元）与时间 的函数关系式；()wt(30,)tt
5、N（）求该城市旅游日收益的最小值（万元）. 18、 （本小题满分 16 分）已知函数 (a 为实常数).xxfln)(2(1) 若 ，求证：函数 在(1 ，+ )上是增函数； a)f(2) 求函数 在1，e上的最小值及相应的 值；)(xf x19.（本小题满分 16 分）已知椭圆 的中心在原点，长轴在 x 轴上，右顶点 到右焦点的距离与它到右准O(2,0)A线的距离之比为 . 不过 A 点的动直线 交椭圆 于 P,Q 两点231ymO（1 ） 求椭圆的标准方程；（2 ）证明 P,Q 两点的横坐标的平方和为定值；20 （本小题满分 16 分）已知数列 an的首项 a1a ，S n 是数列a n的
6、前 n 项和，且满足：S 3n2anS ，a n0，n2 ，nN *2 n 2 n 1（1 ）若数列a n是等差数列，求 a 的值；（2 ）确定 a 的取值集合 M，使 a M 时，数列a n是递增数列 必做题部分一 、 填 空 题 ： （ 本 大 题 共 14 小 题 ,每 小 题 5 分 ,计 70 分 .） 1、 2、 3、1 4、 一 5.、45 6、1 7、 2,.xRx 08、4 9、 10、 11、2 12. 13、60 14、357(,)二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分15解：（1） ，从而 ,(0,)22又 ， 4 分1tan()30 6 分0si（2 ）由（1
7、）可得， 310cos() 为锐角， ， 10 分in545 12 分cos()cos()sin() 14 分43105910516 （本小题满分 14 分）证明：（1）因为 ABAC，D 为 BC 的中点，所以 ADBC 因为平面 ABC 平面 BCC1B1，平面 ABC平面 BCC1B1BC，AD平面 ABC，所以 AD平面 BCC1B1 5 分因为 DC1平面 BCC1B1，所以 ADDC 1 7 分（2 ） (证法一 )连结 A1C，交 AC1 于点 O，连结 OD， 则 O 为 A1C 的中点因为 D 为 BC 的中点，所以 OD/A1B 11 分因为 OD 平面 ADC1，A 1B
8、 平面 ADC1， /所以 A1B/平面 ADC1 14 分(证法二)取 B1C1 的中点 D1，连结 A1D1，D 1D，D 1B则 D1C1 BD所以四边形 BDC1D1 是平行四边形所以 D1B/ C1D因为 C1D 平面 ADC1，D 1B 平面 ADC1， /所以 D1B/平面 ADC1同理可证 A1D1/平面 ADC1因为 A1D1 平面 A1BD1，D 1B 平面 A1BD1，A 1D1D1BD 1， 所以平面 A1BD1/平面 ADC1 11 分因为 A1B 平面 A1BD1，所以 A1B/平面 ADC1 14 分17解：（）由题意得， 5 分1()()4(5|)wtfgttt
9、（）因为 7 分*140,)()(3,(530,Ntttt当 时，15t124)4)1wttt425014当且仅当 ，即 时取等号10 分2t当 时， ，可证 在3030()(130)59()tttt()wt上单调递减，所以当 时， 取最小值15,tw为 13 分4由于 ，所以该城市旅游日收益的最小值为 万元14 分03 140318、1）当 时， ，当 ， ，2axxfln2)(),1(0)(2xf故函数 在 上是增函数6 分)(xf,1（2） ，当 ， 若 ，)0(2xf ,1ex2,2eax2a在 上非负（仅当 ，x=1 时， ） ，故函数 在 上是增函数，)(xf,1e2a0)(f )
10、(xf,1ABCDA1B1C1（第 16 题图）OABCDA1B1C1（第 16 题图）D1此时 10 分min)(xf1)(f若 ，当 时， ；当 时， ，此22ae2ax0)(xf 21ax0)(xf时 是减函数； 当 时， ，此时 是增函数故)(xf ex0)(xf)(xfmin)(f)2(af2)ln(a若 ， 在 上非正（仅当 ，x=e 时， ） ，故函数e)(xf,1e2e0)(xf在 上是减函数，此时 12)(xf,1 )()(minfxfa分综上可知，当 时， 的最小值为 1，相应的 x 值为 1；当 时，2a)(f 22ae)(xf的最小值为 ，相应的 x 值为 ；当 时，
11、的最小值为 ，2)ln( 2a2e)(xf2e相应的 x 值为 16 分e19.解：（1）设椭圆的标准方程为 .由题意得 .3 分012bayx 2,ea, , 6 分 椭圆的标准方程为 .8 分3c1b142yx（2 ）证明：设点 )()(2yxQP将 带入椭圆，化简得：mxy 0)(2mx 1,12 分 2121,()x, 212()4xP,Q 两点的横坐标的平方和为定值 4.16 分20 （本小题满分 16 分）解：（1）在 S 3n 2anS 中分别令 n2，n3 ，及 a1a 得2 n 2 n 1(aa 2)212 a2a 2，(aa 2a 3)227a 3( aa 2)2，因为 a
12、n0，所以 a212 2a，a 332a 2 分因为数列 an是等差数列，所以 a1a 32 a2，即 2(122 a)a3 2a，解得 a34 分经检验 a3 时，a n3n，S n ，S n1 满足 S 3n 2anS 3n(n 1)2 3n(n 1)2 2n 2 n 1（2 ）由 S 3 n2anS ，得 S S 3 n2an，即( SnS n1 )(SnS n1 )3n 2an，2 n 2 n 1 2 n 2 n 1即(S nS n1 )an3n 2an，因为 an0，所以 SnS n1 3n 2，( n2)， 6 分所以 Sn1 S n 3(n1) 2，得 an1 a n6n3，(
13、n2) 8 分所以 an2 a n1 6n9，得 an2 a n6，( n2)即数列 a2，a 4，a 6，及数列 a3，a 5，a 7，都是公差为 6 的等差数列，10 分因为 a2122a ，a 332a所以 an 12 分a， n 1，3n 2a 6， n为 奇 数 且 n 3，3n 2a 6， n为 偶 数 ， )要使数列 an是递增数列，须有a1 a2，且当 n 为大于或等于 3 的奇数时，a na n1 ，且当 n 为偶数时，a na n1 ，即 a122 a，3n2 a63(n1) 2a6( n 为大于或等于 3 的奇数)，3n2 a63(n1) 2a6( n 为偶数)，解得 a 94 154所以 M( ， )，当 a M 时，数列 an是递增数列 16 分94 154
