1、江苏省亭湖高级中学 2015 届高三上学期学情检测数学(文)试题一、填空题：本大题共 14 题，每小题 5 分，共 70 分.请把答案填写在答题纸相应位置上.1.若集合 ，且 ，则实数 的值为 2,1mA2BAm2.若实数 满足 ，其中是虚数单位，则 aia3.某单位有职工 52 人，现将所有职工按 l、2、3、52 随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本，已知 6 号、32 号、45 号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是 4.根据右图的伪代码，输出的结果 为 T5.已知双曲线 的一条渐近线经过点 ，则该双曲线的离心率的值21(0,)xyab(1,2)为 6. 在大小
2、相同的 4 个小球中，2 个是红球，2 个是白球，若从中随机抽取 2 个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是 7. 已知一个正六棱锥的高为 10cm，底面边长为 6cm，则这个正六棱锥的体积为 cm3 8.已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 ab0451a210bb9.给出下列命题：（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；（3）若两条平行直线中的一条垂直于直线 m，那么另一条直线也与直线 m 垂直；1T3IWhile 20IEnd WhilePrint T（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与
3、它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，所有真命题的序号为 10.已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 的值是 nanS62,25638Sa1a11.在平面直角坐标系 中，设过原点的直线与圆 C： 交于 M、NxOy 22()()4xy两点，若 MN ，则直线的斜率 k 的取值范围是_ 2312.已知 ，若 ，且 ，则 的最大值为 01alog(1)log(32)aaxyyxxy 13.关于 的二次不等式 的解集为 ，且 ，则 的x20axb1|xab2a最小值为 14.函数 在1，2上最大值为 4，则实数 3()4)10fxmxm二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请
4、在答题纸指定的区域内作答，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. （本小题满分 14 分）在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 ，ABCCabcA， 成等差数列BC（1）若 ， ，求 的值；32Abac（2）求 的取值范围sin16. （本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD 为正方形， PA平面PAB CDE(第 16 题图 )ABCD， E 为 PD 的中点求证：（1） PB平面 AEC；（2）平面 PCD平面 PAD17. （本小题满分 14 分）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为 4米，这种薄板须沿其对角线折叠后
5、使用如图所示， 为长方形薄板，沿()ABCDAC 折叠后， 交 DC 于点 P当 ADP 的面积最大时最节能;而凹多边形 的面积AB ACBPD最大时制冷效果最好（1）设 AB=x 米，用 x 表示图中 DP 的长度，并写出 x 的取值范围；（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？（3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？18. （本小题满分 16 分） 如图，圆 O 与离心率为 的椭圆 T： （2312byax）相切于点 M 。0ba)1,0(求椭圆 T 与圆 O 的方程；过点 M 引两条互相垂直的两直线 、 与两曲线分别交于点 A、C 与点 B、D（均不重合） 。1l2若 P
6、为椭圆上任一点，记点 P 到两直线的距离分别为 、1dA BCD（第 17 题）P，求 的最大值；2d21若 ，求 与 的方程。MDBCA431l219. （本小题满分 16 分）已知数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，且满足nanSnT，(1)2nT（1）求 的值；1a（2）求证： 为等比数列；n（3）是否存在常数 ，使得 对任意的 都成立？如d21nnnSdSd*nN果存在，求出 的值；如果不存在，试说明理由。20. （本小题满分 16 分）已知函数 ， .如果函数21()fxx()logax没有极值点，且 存在零点。()()hxfgx()hx（1）求 的值；a（2）判断方程 根的个数，并
7、说明理由；()2()f（3）设点 是函数 图象上的两点，平行于 AB 的切线112,AxyBx()ygx以 为切点，求证： 。0(,)P0答案1. 4； 2. 2； 3. 19； 4. 100；5. ； 6. ； 7. ； 8. ；5561803329. 、 、 ； 10. 11. ； 12.2；134,413. ； 14.2215. 解：(1) 成等差数列, 2 分ABC3B3 分3acos22即 4 分1ac,5 分223,csbB，即 6 分c2()3a，所以 7 分2()1ac（2 ） 82sinsin()sin3ACC分1031(cosi)sicos2分1230,3cos(,)2C分
8、的取值范围是 142sinA3(,)2分16.（ 1）证明：连结 交 于点 ，连结 BDCOE因为 为 中点， 为 中点，OEP所以 ，4 分EPA因为 平面 ， 平面 ， A所以 平面 7 分BC（2 ）证明：因为 平面 ， 平面 ，所以 9 分 BDBCDPA因为在正方形 中 且 ，AP所以 平面 12 分DP又因为 平面 ，所以平面 平面 14 分C17. 解：（1）由题意， ， 因 ，故 ABx2Cx2x122 分设 ，则 DPyxy因 ，故 ACBPCxy由 ，得 22PAD， 5 分221()()2()xyxyx2（2 ）记 的面积为 ，则ADP1S1()Sx6 分，23()x当且
9、仅当 (1 ，2)时，S 1 取得最大2x值8 分故当薄板长为 米，宽为 米时，节能效果最好 29 分（3 ）记 的面积为 ，则ADP2S， 221114()()3()Sxxx210 分于是， 113322214()02xSx分关于 的函数 在 上递增，在 上递减x2S3(1,)3(,)所以当 时， 取得最大值 313 分故当薄板长为 米，宽为 米时，制冷效果最好 323214 分18. 解: (1)由题意知: 解得 可知:22,1abcac 3,1cb椭圆 的方程为 与圆 的方C42yxO程 4 分12yx(2)设 因为 ,则 因为),(0P1l222210(1)dPMxy1420yx所以
10、,2 210064()3()dyy7 分因为 所以当 时 取得最大值为 ，此时03102d316点 9 分)31,24(P(3)设 的方程为 ,由 解得 ；1l1kxy12ykx)1,2(2kA由 解42yxk得 11 分)41,8(22kC把 中的 置换成 可得 ，A, )1,(2kB12 分)4,8(22kD所以 ，)1,(22kMA )418,(22kMC，,2kB,822D由 得 解34C4132k得 15 分2k所以 的方程为 ， 的方程为1l1xy2l 12xy或 的方程为 ， 的方程1l2l为 16 分2xy19. 解：（1） (1)231nnTaa时4 分（2 ） 时，n(1)
11、211()4nnnTa又 也适合， ，可得 ，所以 为等比数1a1(),naN14nana列9 分(3) 为等比数列, na1()441()()33nnnnS假设存在满足条件的 ，使得 对任意d21nnndSd的 都成立*nN而 1 21 24441()(),()333nn nS 设 ，则 关于 恒成立()nb2)6dbdbd可得 ，所以存在常数 = ，使得 对任意的d21nnnSS都成立*nN16 分另：也可特殊化20. 解：（1）由题意 ，21()logahxx 1()2lnhxa2lnlxa无极值， 存在零点 的()h()hx2lnl10xa即 或24lnl0a1e所以()ogxa4 分（2 ）方程 可变形为 。在同一坐标系中作出函数()2(x)f21lnxx和函数 的图象，如右图，观察图象，有两个交点，所以1yxlny有两个不相等的实数根。8 分()g()f法（2）由 下证210lnx211()lnx（*） ，设 ，则 。从而（*） 。21lnx21xtt1ln0lnttt令 ，则 ，所以 在 为增函数，又 ，()l()htt()0ht()ht,)(1)h所以，当 时， ，即 ，从而 得到证明。对于101lnt01x同理可证。21lnx所以 102x16 分
