1、第一部分 高中数学活题巧解方法总论第一篇 数学具体解题方法代入法 直接法 定义法 参数法 交轨法 几何法 弦中点轨迹求法 比较法 基本不等式 法 综合法 分析法 放缩法 反证法 换元法 构造法 数学归纳法 配方法 判别式法 序轴标根法 向量平行法 向量垂直法 同一法 累加法 累乘法 倒序相加法 分组法 公式法 错位相减法 裂项法 迭代法 角的变换法 公式的变形及逆用法 降幂法 升幂法 “1”的代换法 引入辅助角法 三角函数线法 构造对偶式法 构造三角形法 估算法 待定系数法 特殊优先法 先选后排法 捆绑法 插空法 间接法 筛选法（排除法） 数形结合法 特殊值法 回代法（验证法） 特殊图形法 分
2、类法 运算转换法 结构转换法 割补转换法 导数法 象限分析法 补集法 距离法 变更主元法 差异分析法 反例法 阅读理解法 信息迁移法 类比联想法 抽象概括法 逻辑推理法 等价转化法 根的分布法 分离参数法 抽签法 随机数表法第二篇 数学思想方法函数与方程思想 数形结合思想 分类讨论思想 化归转化思想 整体思想第三篇 数学逻辑方法比较法 综合法 分析法 反证法 归纳法 抽象与概括 类比法第二部分 部分难点巧学一、看清“身份”始作答分清集合的代表元素是解决集合问题的关键二、集合对实数说：你能运算，我也能！集合的运算（交、并、补、子等）三、巧用集合知识确定充分、必要条件四、活用德摩根定律，巧解集合问
3、题五、 “补集”帮你突破巧用“补集思想”解题六、在等与不等中实现等价转化融函数、方程和不等式为一体七、逻辑趣题欣赏八、多角度、全方位理解概念谈对映射概念的掌握九、函数问题的灵魂定义域十、函数表达式的“不求”艺术十一、奇、偶函数定义的变式应用十二、巧记图象、轻松解题十三、特殊化思想十四、逆推思想十五、构造思想十六、分类思想十七、转化与化归思想十八、向量不同于数量、向量的数量积是数量十九、定比分点公式中应注意 的含义二十、平移公式中的新旧坐标要分清二十一、解斜三解形问题，须掌握三角关系式二十二、活用倒数法则 巧作不等变换不等式的性质和应用二十三、小小等号也有大作为绝对值不等式的应用二十四、 “抓两
4、头，看中间” ，巧解“双或不等式”不等式的解法二十五、巧用均值不等式的变形式解证不等式二十六、不等式中解题方法的类比应用二十七、吃透重点概念，解几学习巧入门二十八、把握性质变化，解几特点早领悟二十九、重点知识外延，概念的应用拓展三十、把握基本特点，稳步提高解题能力三十一、巧记圆锥曲线的标准方程确定圆锥曲线方程的焦点位置三十二、巧用圆锥曲线的焦半径公式三十三、直线与圆锥曲线位置关系问题三十四、求轨迹的常用方法三十五、与圆锥曲线有关的最值问题、定值问题、参数范围问题三十六、空间问题向平面转化的基础平面的基本性质三十七、既不平行，也不相交的两条直线异面三十八、从“低（维） ”到“高（维） ”，判定线
5、面、面面的平行，应用性质则相反三十九、相互转化研究空间线线、线面、面面垂直的“利器”四十、找（与所求角有关的线） 、作（所缺线） 、证（为所求） 、算（其值）解空间角问题的步骤四十一、作（或找垂线段） 、证（为所求） 、算（长度）解距离问题的基本原则四十二、直线平面性质集中展示的大舞台棱柱、棱锥四十三、突出球心、展示大圆、巧作截面解有关球问题的要点四十四、排列、组合问题的巧解策略四十五、二项式定理的要点透析四十六、正确理解频率与概率的联系与区别四十七、要正确理解事件、准确判定事件属性四十八、求随机事件的概率的方法步骤四十九、重要的概率模型五十、抓住关键巧判断试验、随机试验、随机变量的判断五十一
6、、随机变量与函数的关系五十二、离散型随机变量分布列的两条性质的巧用五十三、理解是学习数学的上方宝剑数学期望的巧妙理解五十四、 与 E 的本质区别x五十五、巧用公式快计算公式 D E 2（E ） 2 的理解与应用五十六、公式的比较与巧记五十七、化难为易、化繁为简巧归纳五十八、凑结论，一锤定音五十九、取特殊，直接代换六十、巧设问，判断函数的连续性六十一、注意理解曲线 yf (x) 在一点 p ( x0, y0 )的切线概念六十二、加强理解函数 yf (x)在（a ,b）上的导函数六十三、利用导数判断函数的单调性六十四、利用导数证明不等式六十五、函数 yf (x) 在点 xx 0 处的极值理解六十六
7、、求可导函数 yf (x)在区间（a ,b）上的极值方法六十七、分清实部与虚部，转化为方程或不等式是判定复数类型的基本方法六十八、利用复数相等条件转化为方程组，复数问题实数化是求复数的基本方法六十九、记住常用结论，简化复数运算七十、应用复数的几何意义，数形结合求与复数有关的问题第一部分 高中数学活题巧解方法总论一、代入法若动点 依赖于另一动点 而运动，而 点的轨迹方程已知（也可能),(yxP),(0yxQQ易于求得）且可建立关系式 ， ，于是将这个 点的坐标表达式代入)0fg已知（或求得）曲线的方程，化简后即得 点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转P移法或相关点法。【例 1】 （2009
8、年高考广东卷）已知曲线 ： 与直线 ： 交于两C2xyl02yx点 和 ，且 ，记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB),(Ayx),(ByxBAx所围成的平面区域（含边界）为 D.设点 ),(tsP是 L 上的任一点，且点 P 与点 A 和点 B 均不重合.若点 Q 是线段 AB 的中点，试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程；【巧解】联立 2xy与 得 2,1BAx，则 中点 )25,1(Q，设线段 P 的中点 M坐标为 ),(y，则 ,tys，即 25,12ytxs，又点 P在曲线 C上， )(5y化简可得 812xy，又点 P是 L上的任一点，且不与点 A和点 B
9、重合，则 1，即 45x，中点 M的轨迹方程为 2xy（ 4）.【例 2】 （2008 年，江西卷）设 在直线 上，过点),(0Pmx)10,(y作双曲线 的两条切线 、 ，切点为 、 ，定点 M 。 过点 AP12yxABA(m作直线 的垂线，垂足为 N，试求 的重心 G 所在的曲线方程。0M【巧解】设 ，由已知得到 ，且 ，12(,)(,)AxyB120y21xy， （1）垂线 的方程为： ，2由 得垂足 ，设重心0yx11(,)2xyN(,)Gxy所以 解得 11()302xmxyy 113941mxy由 可得 21x1(3)(3)2x即 为重心 所在曲线方程21()39xymG巧练一：
10、（2005 年，江西卷）如图，设抛物线 的焦点为 F，动点 P 在直线2:xyC上运动，过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB，且与抛物线 C 分别相切于02:yxlA、B 两点 .，求 APB 的重心 G 的轨迹方程.巧练二：（2006 年，全国 I 卷）在平面直角坐标系 中，有一个以 和xOy)3,0(1F为焦点、离心率为 的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线 C，动点 P 在)3,0(2F23C 上，C 在点 P 处的切线与 x、y 轴的交点分别为 A、B ，且向量 ，求点OBAMM 的轨迹方程二、直接法直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、
11、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法。从近几年全国各地的高考数学试题来看，绝大大部分选择题的解答用的是此法。但解题时也要“盯住选项特点”灵活做题，一边计算，一边对选项进行分析、验证，或在选项中取值带入题设计算，验证、筛选而迅速确定答案。【例 1】 （2009 年高考全国 II 卷）已知双曲线 的右焦点为)0,(1:2bayxCF，过 F 且斜率为 的直线交 C 于 A、B 两点。若 ，则 C 的离心率为（ ）3FB4（A） （B） （C） （D）56575859【巧解】设 ， ， ，由 ，得),(1yx),(2y)0,(cF4,(21cc ，设过 点斜率为 的直线
12、方程为 ，214yF3cyx3由 消去 得： ，0322bayxbcx02)(42 bab ， 将 代入得 化简得24213)(6aby 214y24223)(63abyc， ，)3(422abyc )3(4)3(2224ababc化简得： ， ， ，即 。991622cc265c53e6e故本题选（A）【例 2】 （2008 年，四川卷）设定义在 上的函数 满足 ，若R)(xf 1)()xf，则 （ ）)1(f)9(f（A）13 （B）2 （C ） （D）21332【巧解】 ，)(13(xff )()()4( xffxff 函数 为周期函数，且 ，)(xfT 213)()324()9ffff
13、故选（C）巧练一：（2008 年，湖北卷）若 上是减函数，),1()2ln(21)( 在xbxf则 b 的取值范围是（ ）A B C D),1),1(,(),(巧练二：（2008 年，湖南卷）长方体 ABCDA1B1C1D1 的 8 个顶点在同一个球面上，且AB=2， AD= AA1=1，则顶点 A、 B 间的球面距离是（ ），3A B C D2242三、定义法所谓定义法，就是直接用数学定义解题。选择题的命题侧重于对圆锥曲线定义的考查，凡题目中涉及焦半径、通径、准线、离心率及离心率的取值范围等问题，用圆锥曲线的第一和第二定义解题，是一种重要的解题策略。【例 1】 （2009 年高考福建卷，理
14、13）过抛物线 的焦点 F 作倾斜角为)0(2pxy450 的直线交抛物线于 A、B 两点，线段 AB 的长为 8，则 【巧解】依题意直线 的方程为 ，由 消去 得：2pxypxy2y，设 ， ， ，根据抛物线的定义。04322px),(1A),(2B321， ， ， ，|2BF2|1pxF84|21px2故本题应填 2。【例 2】 （2008 年，山东卷，理 10）设椭圆 C1 的离心率为 ，焦点在 x 轴上且长轴长为3526. 若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 C2 的标准方程为（ ）（A） （B）342yx 1532yx（C） （D ）12
15、2【巧解】由题意椭圆的半焦距为 ，双曲线 上的点 满足5cCP点 的轨迹是双曲线，其中 ， ， ，|,|8| 2121FPFP5c4a3b故双曲线方程为 ，选（A ）342yx巧练一：（2008 年，陕西卷）双曲线 的左、右焦点分别是)0,(12bayxF1，F 2，过 F1 作倾斜角为 30的直线交双曲线右支于 M 点，若 MF2 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A B C D6323巧练二：（2008 年，辽宁卷）已知点 P 是抛物线 上的一个动点，则点 P 到点xy2（0，2）的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）（A） （B）3 （C） （D）17529四、向量
16、坐标法向量坐标法是一种重要的数学思想方法，通过坐标化，把长度之间的关系转化成坐标之间的关系，使问题易于解决，并从一定程度上揭示了问题的数学本质。在解题实践中若能做到多用、巧用和活用，则可源源不断地开发出自己的解题智慧，必能收到事半功倍的效果。【例 1】 （2008 年，广东卷）在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F. 若 =a， =b，则 =（ ）ACBDAFA a + b B a + b C a + b D a + b42321214312【巧解】如图所示，选取边长为 2 的正方形则 ， ， ， ， ，)0,(B),
17、(C),0(D,(O)3,E直线 的方程为 ，联立 得AExy32yx,(F ，设 ，则)2,3(FBAF )2,2(),)2, yxy 解之得 ， ， ，故本题选 Byx32x1y baBDACF3131【例 2】已知点 为 内一点，且 0，则 、 、OABCO2AOC的面积之比等于 （ B）A9：4：1 B1： 4：9 C3：2：1 D1：2：3【巧解】不妨设 为等腰三角形， 0，建立如图所示的直角坐标系，则点3BC),(B， ，设 ，),0(A),(),(yxO 0，即32 )0,(,3(),(2)3, yxyx 解之得 ， ，即 ，又直线 的方程为 ，则69yxx1y,AC3A xyO
18、BD CEAB C xyO点 到直线 的距离 ， ，因此OAC21|32|h23|AC， ， ，故选 C49|21xBS 4|yBSOC 23|1hASO巧练一：（2008 年，湖南卷）设 D、E、F 分别是ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点，且 （ ）,AEDCBCFA与则 ,2A反向平行 B同向平行 C互相垂直 D既不平行也不垂直巧练二：设 是 内部一点，且 ，则 与 面积之比OO2AO是 .五、查字典法查字典是大家比较熟悉的，我们用类似“查字典”的方法来解决数字排列问题中数字比较大小的问题，避免了用分类讨论法时容易犯的重复和遗漏的错误，给人以“神来之法”的味道。利用“查字典法”解决
19、数字比较大小的排列问题的思路是“按位逐步讨论法” （从最高位到个位） ，查首位时只考虑首位应满足题目条件的情况；查前“2”位时只考虑前“”位中第“2”个数应满足条件的情况；依次逐步讨论，但解题中既要注意数字不能重复，又要有充分的理论准备，如奇、偶问题，3 的倍数和 5 的倍数的特征，0 的特性等等。以免考虑不全而出错。【例 1】 （2007 年，四川卷）用数字 0，1，2，3，4，5 可以组成没有重复数字，并且比20000 大的五位偶数共有（ ）（A）288 个 （B）240 个 （C）144 个 （D）126 个【巧解】本题只需查首位，可分 3 种情况， 个位为 0，即 型，首位是02，3，
20、4，5 中的任一个，此时个数为 ； 个位为 2，即 ， 此种情341A况考虑到万位上不为 0，则万位上只能排 3，4，5，所以个数为 ；个位为 4， 341A型，此种特点考虑到万位上不为 0，则万位上只能排 2，3，5，所以个数为；故共有 个。故选（B）341A2341341【例 2】 （2004 年全国 II 卷）在由数字 1，2，3，4，5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中，大于 23145 且小于 43521 的数共有（ ）A56 个 B 57 个 C58 个 D60 个【巧解】 （1）查首位：只考虑首位大于 2 小于 4 的数，仅有 1 种情况：即 型，此3特点只需其它数进行全排列
21、即可。有 种，A（2）查前位：只考虑前“”位中比既大又小的数，有 4 种情况：， ， ， 型，而每种情况均有 种满足条件，故共有454123种。3A（3）查前位：只考虑前“3”位中既比大又小于 5 的数，有 4 种情况：， ， ， 型，而每种情况均有 种满足条件，故共有24543122A种。A（3）查前 4 位：只考虑前“4”位中既比 4 大又小于 2 的数，此种情况只有 23154 和 43512 两种情况满足条件。故共有 个，故选 C 5843巧练一：用数字 可以组成没有重复数字，并且不大于 4310 的四位偶数共有（ 5,321,0）A110 种 B109 种 C108 种 D107 种
22、巧练二：（2007 年，四川卷）用数字 1,2,3,4,5 可以组成没有重复数字,并且比 20000 大的五位偶数共有（ ）（A）48 个 （B）36 个 （C）24 个 （D）18 个六、挡板模型法挡板模型法是在解决排列组合应用问题中，对一些不易理解且复杂的排列组合问题，当元素相同时，可以通过设计一个挡板模型巧妙解决，否则，如果分类讨论，往往费时费力，同时也难以解决问题。【例 1】体育老师把 9 个相同的足球放入编号为 1，2，3 的三个箱中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有 （ ）A8 种 B 10 种 C12 种 D16 种【巧解】先在 2 号盒子里放 1 个小球，
23、在 3 号盒子里放 2 个小球，余下的 6 个小球排成一排为： ，只需在 6 个小球的 5 个空位之间插入 2 块挡板，如：O，每一种插法对应着一种放法，故共有不同的放法为 种. 故选 B| 1025C【例 2】两个实数集 ， ，若从 A 到 B 的映射 使得1250,Aa 125,Bb fB 中每个元素都有原象，且 ，则这样的映射共有（ 10ffaf）个A B C D24502492502549A【巧解】不妨设 两个集合中的数都是从小到大排列，将集合 的 50 个数视为 50 个和相同的小球排成一排为： ，然后在 50 个小球的 49 个空位中插入O24 块木板，每一种插法对应着一种满足条件
24、 对应方法，故1250faffa共有不同映射共有 种. 故选 B249C巧练一：两个实数集合 A=a1, a2, a3, a15与 B=b1, b2, b3, b10，若从 A 到 B 的是映射f 使 B 中的每一个元素都有原象，且 f(a1)f(a 2) f (a10)1）log2y 1log2yC. （x1） 巧练二：（2004 年，重庆卷）不等式 的解集是（ ）21xA B(1,0),)(,)(0,1C D )九、极限化法极限化法是在解选择题时,有一些任意选取或者变化的元素,我们对这些元素的变化趋势进行研究,分析它们的极限情况或者极端位置,并进行估算,以此来判断选择的结果.这种通过动态变
25、化,或对极端取值来解选择题的方法是一种极限化法.【例 1】正三棱锥 中， 在棱 上， 在棱 上，使BCDAEABFCDFEBA，)0(设 为异面直线 与 所成的角， 为异面直线 与 所成的角，则F的值是 （ ） A B C D6432【巧解】当 时， ，且 ，从而 。因为 ，排0AEFAEBC除选择支 故选 D（或 时的情况，同样可排除 ） ，所以选 DC,【例 2】若 ，当 1 时， 的大小关系是 （ 3223(),logxabcx,abc）A B C Dccabcacb【巧解】当 时， ， ， ，故 ，所以选 B0x3210ab巧练一：若 的大小关系 （ ）xsin,与则A B C D与
26、x 的取值有关xsin322xsin32巧练二：对于任意的锐角 ，下列不等关系式中正确的是（ ）,（A） （B）si)si(cos)si(（C） （D） ncoco十、整体化法整体化法是在解选择题时,有时并不需要把题目精解出来,而是从题目的整体去观察,分析和把握,通过整体反映的性质或者对整体情况的估算,确定具体问题的结果,例如,对函数问题,有时只需要研究它的定义域,值域,而不一定关心它的解析示式,对函数图象,有时可以从它的整体变化趋势去观察,而不一定思考具体的对应关系,或者对 4 个选项进行比较以得出结论,或者从整体,从全局进行估算,而忽略具体的细节等等,都可以缩短解题过程,这是一种从整体出发
27、进行解题的方法.【例 1】已知 是锐角，那么下列各值中， 可能取到的值是（ ）cosinA B C D43343521【巧解】 ，又 是锐角，)si(2cosin0， ，即 ，故选 B43414in)4sin(2【例 2】(2002 年,全国卷)据 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议 政府工作报告指出“2001 年国内生产总值达到 95933 亿元,比上一年增长 7.3%.”如果“十五”期间(2001-2005 年)每年的国内生产总值按此年增长率增长,那么,到“十五”末 ,我国国内生产总值约为（ ）（A）115000 亿元 (B)120000 亿元 (C) 127000 亿元 (D)
28、135000 亿元【巧解】 注意到已知条件给出的数据非常精确, 2001 年国内生产总值达到 953亿元,精确到亿元,而四个选项提供的数据都是近似值, 精确到千亿元,即后三位都是 0,因此,可以从整体上看问题,忽略一些局部的细节.把 953亿元近似地视为 960亿元,又把 20.73近似地视为 0.,这样一来,就有417.%146.(.2.5)1.巧练一： 如图所示为三角函数 ， （ 的图象的一部sin(xAy),2|A分，则此函数的周期 可能是（ ）TA B42C D 81巧练二：（全国卷）如图，在多面体 ABCDEF 中，已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形，EFAB ，EF ，EF
29、与面 AC 的距离为 2，则该多面体的体积为（ 23）（A） （B）5 29（C） 6 （D） 21十一、参数法在解题过程中，适当引入一个或几个新变量代替原式中的某些量，使得原式中仅含有这些新变量，以此作为媒介，在进行分析和综合，然后对新变量求出结果，从而解决问题的方法叫参数法。【例 1】 （2008 年，安徽卷）设椭圆 过点 ，且左焦点2:1(0)xyCab(2,1)M2008052320080523DE FCBAO xy2 43为 1(2,0)F（）求椭圆 的方程；C（）当过点 的动直线 与椭圆 相交于两不同点 时，在线段 上取点 ，(4,1)PlC,ABQ满足 ，证明：点 总在某定直线上
30、。AQBQ【巧解】(1)由题意： ，解得 ，所求椭圆方程为 2221cab24,ab214xy(2) 由 得： 设点 Q、A、B 的坐标分别为APQB|PBA。由题设知 均不为零，记 ,12(,),(,)xyxy,P则 且 ，又 A，P ， B，Q 四点共线，从而 ，0 ,AB于是 ， ， ， 124x12y12x12y从而 ， ， 214 12y 又点 A、B 在椭圆 C 上，即 21,xy 24,xy 并结合，得 ,即点 总在定直线 上。(,)Qxy20xy【例 2】 （2004 年，辽宁卷）设椭圆方程为 ，过点 M（0，1）的直线 l 交椭圆42x于点 A、B，O 是坐标原点，点 P 满
31、足 ，点 N 的坐标为 ，当 l)(1OBA)2,(绕点 M 旋转时，求动点 P 的轨迹方程；【巧解】直线 l 过点 M（0， 1）设其斜率为 k，则 l 的方程为 .1kxy记 、 由题设可得点 A、B 的坐标 、 是方程),(1yxA),(2yB),(),(2y组的解.142yxk将代入并化简得， ，所以032)4(kx于是.48,2221kyx ).4,()2,()( 2211 kyxOBAP 设点 P 的坐标为 则,y消去参数 k 得 .4,2kyx 042yx当 k 不存在时，A、B 中点为坐标原点（0，0） ，也满足方程，所以点 P 的轨迹方程为 .2x巧练一：（2008 年，全国
32、 I 卷）直线 通过点 ，则有 （ ）1byax)sin,(coMA B C D 12ba21212ba巧练二： 如图，已知直线 l 与抛物线 相切于点 P(2，1)，且与 x 轴交于点 A，Oyx4为坐标原点，定点 B 的坐标为（2，0）.（I）若动点 M 满足 ，求点 M 的轨迹 C；0|A（II）若过点 B 的直线 l（斜率不等于零）与（I ）中的轨迹 C 交于不同的两点E、F（E 在 B、 F 之间） ，试求OBE 与OBF 面积之比的取值范围.十二、交轨法如果所求轨迹是两条动曲线（包括直线）的交点所得，其一般方法是恰当地引进一个参数，写出两条动曲线的方程，消去参数，即得所求的轨迹方程
33、，所以交轨法是参数法的一种特殊情况。【例 1】已知椭圆 C： ,短轴一个端点到右焦点 的距12byax36)0(的 离 心 率 为F离为 .3（）求椭圆 C 的方程；（）设直线 经过椭圆的焦点 F 交椭圆 C 交于 A、B 两点,分别过 A、B 作椭圆的两条l切线，A、B 为切点，求两条切线的交点 的轨迹方程。P【巧解】 （）设椭圆的半焦距为 ，依题意 解之得c63ca， 2c， 所求椭圆方程为 1b213xy（）由（I）知 ，设 ， ， ，对椭圆)0,(F),(1A),(2xB),(0yxP213xy求导： ，即 ，则过 A 点的切线方程 为23yxy3 A整理得 同理过 B 点的切线方程
34、为)(11y1x PB，又 在两切线 、 上，32x),(0yPPA30101yx，因此， ， 两点在均在直线 上，00y1x),(2yxB又 在直线 上， ，即 为交点),2(F30yx 30020x的轨迹方程P【例 2】过抛物线 C： 上两点 M，N 的直线 交 y 轴于点 P（0，b）.2l（）若MON 是钝角（O 为坐标原点） ，求实数 b 的取值范围；（）若 b=2，曲线 C 在点 M，N 处的切线的交点为 Q.证明：点 Q 必在一条定直线上运动.【巧解】 （）设点 M，N 坐标分别为由题意可设直线 方程为 y=kx+b,).,(),(),(,),( 2212121 xxxx 则 l
35、bkbkybk2104,0得消 去由分的 取 值 范 围 是 不 成 立三 点 不 共 势此 时 得由且是 钝 角 6).1,0(.1cos, 0, .1cos,|,22bMONNObxON （）当 b=2 时，由（）知 ,221bxk函数 y=x2 的导数 y=2x ，抛物线在 两点处切线的斜率分别为 在点),(),(21Nx ,2,1xkNMM，N 处的切线方程分别为 .2, ),(),(,2.:,212112上 运 动点 在 定 直 线即 满 足的 坐 标解 得 交 点由 yQkxyx yxQyl巧练一：已知定点 A（1，0）和定直线 上的两个动点 E、F，满足 ，动点1x AFP 满足
36、 （其中 O 为坐标原点）.PFOE/,/（）求动点 P 的轨迹 C 的方程；（）设直线 经过点 与轨迹 C 交于 A、B 两点 ,分别过 A、B 作轨迹 C 的两条l)0,1(M切线，A、B 为切点，求两条切线的交点 的轨迹方程。P巧练二：如图，在以点 O 为圆心， |AB|=4 为直径的半圆 ADB 中，OD AB，P 是半圆弧上一点，POB=30. 曲线 C 是满足|MA| |MB|为定值的动点 M 的轨迹，且曲线 C 过点 P.（）建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C 的方程；（）设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E、F.分别过 E、F.作轨迹 C 的两条切线，E、
37、F.为切点，求两条切线的交点 的轨迹方程。Q十三、几何法利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律，然后得出题目结论的方法叫做几何法。【例 1】(2008 年，浙江卷)已知 、 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足ab c的最大值是（ ）|,0(cbca则（A）1 （B）2 （C） （D）22【巧解】不妨设以 、 所在直线为 轴， 轴，且 ， ，abxy)0,1(a),(b由已知 得 ，),(yxc0)(c|(2cb整理得 2yx即 ，所以向量 的坐标是以 为圆心，1)()1(xc)21,(为半径的一个圆且过原点，故 的最大值即为圆的直径为 ，故本题选（C）2|【例 2
38、】 （2008 年，江苏卷）若 AB=2，AC= 的最大值 .ABS则,【巧解】建立如图平面直角坐标系，设 ， ， ，由),(yxC)0(),2(B2即 ， ，|BCA22yx化简得 0822yx配方得 ，所以 点轨迹是以 为圆心，)4( )0,4(D为半径的一个圆（除去与 轴的两个交点） ，所以当 点纵坐标绝对值为 ，即2xC2时， 有最大值为 ，所以答案为|yABCS 222巧练一：已知 ， ，其中 ，则 的最小值为 .)1,(m)0,(0m|AB巧练二：已知实数 、 满足 ，则 的最大xy 6)2(2yxyx yx2值等于 .十四、弦中点轨迹法有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被
39、定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦重点轨迹。 “点差法”解决有关弦中点问题较方便，要点是巧代斜率。【例 1】 （2009 年高考海南、宁夏卷）已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为 ，)0,1(FO xyC |cB(2,0),(yxCA04Dxy直线 与抛物线 C 相交于 A，B 两点，若 AB 的中点为（2，2） ，则直线 的方程l l为 .【巧解】由 知抛物线 C 的方程为 ，设 ， ，代入抛物)0,1(Fxy42),(1yA),(2yxB线方程则有： ， ，两式相减有 ，24xy221即 ，又 ， ，即 。4)()(212121 ykx 421yk1故 ： ，即 ，本题应填AB
40、lxyxx【例 2】椭圆 与直线 交于 、 两点，若过原点与线段 中12byayABAB点的直线的倾斜角为 ，则 的值为 （ ）03a（A） （B） （C） （D）4 233【巧解】设 的中点为 ， ， ，则),(0yxM),(1yxA),(2yxB021x，又 ，两式相减，得021y21ba，0)()( 21212121 yyxxa即 ，210210b 1021byaxx ，又 ， ，故选（ B）0byax3tan003ba巧练一：若椭圆 与直线 交于 、 两点，过原点与线段12ymx01yxA中点的直线的斜率为 ，则 的值为 .ABn巧练二：若椭圆 的弦被点 平分，则此弦所在直线的斜率是为
41、 .19362yx)2,4(P十五、比较法现实世界的同类量之间，有相等关系，也有不等关系。两个可以比较大小的量 和 ，ab若 ， ， ，则它们分别表示 ， ， ，我们把根0ba0baba据两个量的差的正、负或零判断两个量不等或相等的方法叫做差式比较法；当两个量均为正值时，有时我们又可以根据 ， 或 来判断 ， ， ，这个11方法叫做商式比较法。这两种方法在数列与函数、不等式交汇问题中应用广泛。比较法之一（作差法 0 步骤：作差变形定号结论（1）作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。（2）变形：常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积” 。（3）定号：就是确定是大于 ，还是等于 ，
42、还是小于 ，最后下结论。0概括为“三步，一结论” ，这里的“定号”是目的， “变形”是关键。注意：若两个正数作差比较有困难，可以把式子灵活变形，通过作商或将它们的平方差来比较大小。【例 1】已知数列 中， ，且点 在直线 上na1)(,(*1NnaP 01yx（1）求 的通项公式；（2）若函数 ，求函数 的最小)2,(.)(21 nananf )(nf值.【巧解】 （1） 点 在直线 上，即 且),(1nP01yx11na数列 是以 为首项， 为公差的等差数列na)(n（2） ，nf 211)(232n 011)( nfnf是单调递增的，故 的最小值是)(f 7)(f【例 2】 （）已知函数
43、是数列 的前 n 项和，点nSxx.2632a（n，S n） （n N*） ，在曲线 上，求 an.)(fy（）在（）的条件下，若 ，且 Tn 是数列c n的前 n 项和.试问6,)21(nnnbacbTn 是否存在最大值？若存在，请求出 Tn 的最大值，若不存在，请说明理由.【巧解】 （）点（n，S n）在曲线 上，所以()yfx236.ns当 n=1 时，a 1= S1=3，当 n 2 时，a n= Sn- Sn-1=9-6n，96.（） 1 196(), ()32)(,n nnnbcb 21().nnTc 利用错位相减法， 1.nT1(2)0,(23)0,n nn 11(,3)2nnT1
44、1,.nnTT存在最大值 1.2巧练一：（2005 年，全国卷）若 ，则 （ ln2l3ln5,abc）Aabc B cba Ccab Dbac巧练二：已知函数 的图象过点xfx2)( ).2,(,1BA（）求函数 的反函数 的解析式；y)(xfy（）记 ，是否存在正数 k，*)()1Nnafn使得 均成立.若存在，求出 k 的最*12(21 Nnan对大值；若不存在，请说明理由.十六、基本不等式法借助基本不等式证明不等式或求某些函数最值的方法叫基本不等式。常用的基本不等式有下面几种形式：若 、 ，则 ， （当且仅当aRbab22时取等号） ，反之 也成立，若 、 ，则ba20， （当且仅当
45、时取等号） ，反之 也成立。若 、2ba2)(baa、 都是正数，则 ， （当且仅当 时取等号） ，反之bcc33c也成立。 若 、 、 都是正数，则 ，233caab3abca（当且仅当 时取等号） ，反之 也成立。对于公式b3)2(cc及公式 的理解，应注意以下几点：a2ab2两个公式成立的条件是不同的，前者只要求 、 是实数，而后者强调 、aba必须是正数。要对两个公式的等号及“当且仅当 时取等号”的含义要有b 透彻的理解并会在函数、三角函数、解析几何等知识中灵活应用。解题功能及技巧是：二、三元不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能。在创设应用不等式的使用条件时，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧。“和定积最大，积定和最小” ，即 个n正数的和为定值，则可求积的最大值，积为定值，则可求和的最小值。应)3,2(n用此结论求某些函数最值要注意三个条件：就是“一正各项都是正数；二定积或和是定值；三等等号能否取到” ，求最值时，若忽略了上述三个条件，就会出现错误，导致解题失败。必要时要做适当的变形或换元，以满足上述条件。【例 1】 （2008 年，重庆卷）函数 f（x ）= （0x2 ）的值域是（ ）sin54co（A） （B ） ,41,3（C） （D） 2【巧解】 ，xxfcos45in)(
