1、NY输入 x50输出 y结束开始广东省揭阳一中、潮州金山中学 2015 届高三上学期暑假联考数学（理）试题一、选择题：(本大题共 8 个小题；每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1. 若集合 0Py， PQ，则集合 不可能是（ ）A B 2,Rx C 2,Rxy D 2log,0yx2.若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 的虚部为（ ）ziizA. B. C. D.2i2i3.已知 且 ，则“ 1a”是 “ 1”的（ ）a0A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为
2、：不超过 按 元/ 收费，超过 的50 kg.350 kg部分按 元/ 收费.相应收费系统的流程图如右图所.8示，则处应填（ ）.A0.5yx.B50.3(50).8yxC3D5.在ABC 中， sin， AC，则ABC 的面积为（ ） DA.3 B.4 C.6 D. 1256. 一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为 1 的等腰直 角三角形，则这个几何体的体积是（ ）A 21 B C 23 D7.如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P，则点 P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A. B. C. D. 14567O DCBA8. 设函数 的定义域为 ，若存在常数 ，使
3、 对一切实数 均成立，则称()fxR0M|()|fxx为“倍约束函数” 现给出下列函数：()fx ； ； ； ； 是定义在22()1fx()sincofxx2()3fx()fx实数集 上的奇函数，且对一切 ， 均有 其中是“倍约束函数”的R2121|)|ff有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个二、填空题：(本大题共 7 小题，每小题 5 分，满分 30 分）（一）必做题（913 题）9.不等式 的解集是 316x10若 则 a3= . 523450(2) ,axaxx11.若等比数列 的各项均为正数,且 ,则 .n 512910e1220lnlnaa 12.设 、 分别是椭圆 的左、
4、右焦点，点 在椭圆 上，线段 的中点在1F2 2:xyCabPC1PF轴上，若 ，则椭圆的离心率为 .y1230P13.设 、 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值为 4，则x2084,xy0,zaxby的最小值为 .2ab（二）选做题：(考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分) 14.（坐标系与参数方程选做题） 已知圆的极坐标方程为 2cos，则该圆的圆心到直线sin2cos1的距离是 . 15.（几何证明选讲选做题）如图，已知点 D在圆 O直径 B的延长线上，过 D作圆 O的切线,切点为 .C若 3,1,则圆 的面积为 . 三、解答题：（本大题 6 小题，满分 80 分解答须写出
5、文字说明、证明过程和演算步骤 ）16 （本题满分 12 分） 设 , ,(3,sin2)ax(cos23)bx(fab（）求 的最小正周期；f（）求 的最大值及取最大值时 的集合；()xx（）求满足 且 的角 的值3f017. （本题满分 12 分）某市 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：,ABCD中学 B C D人数 30 4 20 1为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取 50 名参加问卷调查（）问 四所中学各抽取多少名学生？,ABCD（）在参加问卷调查的 名学生中，从来自 两所中学的学生当中随机抽取两名学
6、生，用 表示抽50,AC得 中学的学生人数，求 的分布列，数学期望和方差18(本题满分 14 分)如图，在四棱锥 中， / ， ， ，PABCD-ABD4,2,ACD平面 ， . A4（）求证： 平面 ；（）设点 为线段 上一点，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值QQCP3PQB19（本题满分 1分）若数列 的前 项和为 ，对任意正整数 都有 记 nanSn612nnSa12lognba（）求 , 的值；12（）求数列 的通项公式；nb（）令 ，数列 的前 n项和为 nT，证明:对于任意的 *nN,都有 564nT22()1nncc20 （本题满分 14 分）如图，已知椭圆 ： 的离
7、心率为 ，以椭圆 的左顶点 为圆心作圆 ：C21(0)xyab32CT，设圆 与椭圆 交于点 与点 22()(0)xyrTCMN（）求椭圆 的方程；（）求 的最小值，并求此时圆 的方程；TMN（）设点 是椭圆 上异于 , 的任意一点，且直线 分别与 轴交于点 ， 为坐标原PCN,Px,RSO点，求证： 为定值ORS21. （本题满分 14 分）设函数 ()=ln1)axfx， ()R； (1)xgk， (1,)k.（）求函数 f的单调区间； （）当 0,1x时，求函数 ()gx的最大值； （）求证： *11ln)nnkkN理科数学参考答案（）当 ，即 时， 有最大值 ，2,6Zxk,12Zxk
8、()fx23此时，所求 x 的集合为 9 分 | （）由 得 得 10 分()3fcos()361cos()62又由 得 ， 故 ，解得 02 43或 7412或12 分17. 解：（）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为 100 名，抽取的样本容量与总体个数的比值为 应从 四所中学抽取的学生人数分别为 4 分 （）由（）知， 名学生中，来自 两所中学的学生人数分别为 50,AC15,0依题意得， 的可能取值为 ， 5 分,12， ， 8 分21053()CP1502()P2157()0CP 的分布列为： 31760205E 10 分2 2673()()()505D 12
9、 分18 （）证明：因为 平面 ， ，所以以 为坐标原点，APBCDAA所在的直线分别为 轴、 轴、,Bxy 轴建立空间直角z坐标系，则 ， ， ，(40)(,4)(,) . (2,0)C2 分所以 4,BD， ， ，(,)AC(0,)AP所以 ()20A，.(4)240BD所以 ， . 4 分因为 ， 平面 ，APCAPC平面 ，PC所以 平面 . 6 分 （）解：设 （其中 ） ， ，线 与平面 所成角为 .所以 . QB01(,)QxyzPACQB所以 .(,4)(,)xyz4,yz即 . 9 分,0-+(24)C由（）知平面 的一个法向量为 . PA(,20BD因为 ， 12 分sin
10、co,Q得 .2234()826(4)解得 .所以 . 14 分70,171PB法 2：() 依题意： ,RtADtC所以 ，又因为 ，B09AD所以 ，所以 .2 分09又因为 平面 ， ，PB平所以 .4 分因为 ， 平面 ， 平面 ，PPAC所以 平面 . 6 分DCODCBAzyxPDCBA（）解：设 （ ） ， ，直线 与平面 所成角为 .PQB01(,)QxyzCPA记 交 于 ，连结 .过 作 平行于 ，交 于 . 连结 、 .ACDOEBDOECQ由（）知， 平面 ， 平面 ，AC即为 与平面 所成角. . 8 分E3sin设 （ ） ，则 .kPBQ10kBQ在 中， ， ，
11、 .ACDRt22ADC易证 ， ，即 ，OC234BO， . 463kQE364在 中， ， ， ，PABRtAB4P.k2在 中， ， ， .Ct42C72根据余弦定理有： ， CQP212 分即 ，kk247)()24(724)3()()(22 解得 .83kCQ将，代入，解得 . 14 分119 解：（）由 ，得 ，解得 1 分62Sa1162a18，得 ，解得 3 分2261Sa12223（）由 ， nn当 时，有 ， 4 分116Sa得： ， 分14na数列 是首项 ，公比 的等比数列 分n84q， 分12114nnnaq 分21112loglnnnb（）证明:由（2）有 . 10
12、 分2221()6()ncnn222222111163435()()()nTnn 12 分)n()( 22213 分6451(2. 14 分20.解：（）依题意，得 ， ， ；2a3ce1,2cabc故椭圆 的方程为 3 分C214xy（）点 与点 关于 轴对称，设 ， ， 不妨设 MN),(1yxM),(1yxN01y由于点 在椭圆 上，所以 （*） 4 分 4221y由已知 ，则 ， ，(2,0)T),(x),(11yxT2111 )2),yyxN 345)41()2( 1221 xxx6 分58(421由于 ，故当 时， 取得最小值为 2xxTMN5由（*）式， ，故 ，又点 在圆 上，
13、代入圆的方程得到 31y3(,) 2135r故圆 的方程为： 8 分T21)5xy（） 设 ，则直线 的方程为： ，,(0PP)(010xxyy令 ，得 ， 同理： ， 10 分y10yxxR10xS故 （*） 11 分21021SR又点 与点 在椭圆上，故 ， ，12 分MP)1(4200yx)1(42yx代入（*）式，得： 4)(2102100 ySR所以 为定值 14 分4 SSxxO21.解：（） ()fx的定义域为 (1,)， 221()1(=axaf ， 1 分 令 ()=0fa，）当 1时：在区间 (,)上， ()0fx恒成立，故 ()fx的增区间为 (1,)； 2 分）当 a时
14、：在区间 (1,)上， ()0x恒成立，故 x的增区间为 1. 4 分（） k时， ()g，所以 ma()0g； 5 分） 0时，易知 1lnxkk，于是： ()ln()gk， (0)ln1gk，由（）可知 ()， 下证 ()，即证明不等式 l1x在 ,)上恒成立.（法一）由上可知：不等式 ln1x在 (,0),)上恒成立，若 (1,0,x，则1(,0),)x，故 ln()l(1)xx1x，即当 (1,)0,)时， l()x，从而 ln(1)x，故当(,0),)x时， lnx恒成立，即 0g. 7 分（法二）令 (Gx， (,)，则 1()Gxx，列表 2如下：表 2： 1,00,)()x递减 极小值 递增由表 2 可知：当 (1,0),)时， ()0Gx，故 ln(1)x恒成立，即 (g. 7 分由于 g，且 ()，故函数 )(1ln()xkk区间 (0,1)内必存在零点. 8 分又当 (0,k时， ln10k，指数函数 xy为增函数 gx为增函数，同理当 )时， ()，指数函数 ()k为减函数 ()也为增函数，
