1、广东省广州市海珠区 2015 届高三上学期摸底考试数学理试卷（解析版）【试卷综评】本次试卷从题型设置、考察知识的范围等方面保持稳定，试题难度适中，试题在考查高中数学基本概念、基本技能和基本方法等数学基础知识，突出三基，强化三基的同时，突出了对学生能力的考查，注重了对学科的内在联系和知识的综合、重点知识的考查，以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。试题中无偏题，怪题，起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用。突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。全面考查了考试说明中要求的内容
2、。一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1已知集合 ， ,则21Mx230NxMNA B C D,2,1,1【知识点】集合的并集的求法.A1【答案解析】B 解析：因为集合 ，即 ，又因为2xx或，所以 ，故选 B.1,2NN1,2【思路点拨】先化简集合 ，再求结果即可.M【题文】2设复数 ， 在复平面内的对应点关于实轴对称， ，则1z2 1zi12zA. B. C. D. 1i【知识点】复数的运算.L4 【答案解析】A 解析：因为复数 ， 在复平面内的对应点关于实轴对称， ，1z2 1zi则 ，所以 ，故选
3、A.21zi12z+=i【思路点拨】先利用已知条件求出 再计算结果即可.2z【题文】3已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是 A若 则 B若 ， ，则/,/ mnmnC若 ， ，则 D若 ， ，则 /【知识点】空间中的平行关系、垂直关系.G4、G5【答案解析】B 解析：对于选项 A：m、n 平行、相交、异面都有可能；选项 B 显然成立【思路点拨】利用空间中线面平行、垂直的判定与性质确定结论。【题文】4设等比数列 的前 n 项和为 ，若 则anS243,15,S6A31 B32 C63 D64【知识点】等 比 数 列 的 性 质 ； 等 比 数 列 的 前 n 项 和 D3
4、【答案解析】C 解析：由 等 比 数 列 的 性 质 可 得 成 等 比 数 列 ，2464-SS， ，即 成 等 比 数 列 ， ， 解 得 63， 故 选 A.6315S， ， 615315【思路点拨】由 等 比 数 列 的 性 质 可 得 成 等 比 数 列 ， 代 入 数 据 计 算244-， ，可 得 【题文】5. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是A B C D3()fx()sinfx1fx()|fx【知识点】函数的奇偶性与单调性.B3 、B4【答案解析】D 解析：根据四个函数的图像获得正确选项。 【思路点拨】通过函数图像分析结论。【题文】6.由不等式 确定的平面区域记为
5、 ，不等式 确定的平02xy121yx面区域记为 ，在 中随机取一点，则该点恰好在 内的概率为21 2A B C D844387【知识点】几 何 概 型 ； 简 单 线 性 规 划 E5 K3 【答案解析】D 解析：平 面 区 域 ， 为 三 角 形 AOB， 面 积 为 22 2，11平 面 区 域 ， 为 四 边 形 BDCO，2其 中 C（ 0， 1） ， 由 ， 解 得 ， 即 则 三 角 形 ACD2=01yx123xy3D2， ，的 面 积 S= 1 = ， 则 四 边 形 BDCO 的 面 积 S=SOABSACD 2 = ，24 147则 在 中 随 机 取 一 点 ， 则 该
6、 点 恰 好 在 内 的 概 率 为 ， 故 选 ： D 12748【思路点拨】作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 ， 求 出 对 应 的 面 积 ， 利 用 几 何 槪 型 的 概 率公 式 即 可 得 到 结 论 【题文】7已知抛物线 与双曲线 有相同的焦点 ，点24yx210,yabF是两曲线的一个交点，且 轴，则双曲线的离心率为AAFA B C D25132+1【知识点】抛物线及其几何性质、双曲线及其几何性质.H6 、H7【答案解析】D 解析：根据题意得： 从而 所以 解得,01,2A241ab，因为需使 ，所以 ，从而 ，所以23a2ac23aa.故 选 ： D1ce
7、【思路点拨】先求出点 F、A 的坐标，从而求出 a、b、c 的值，进而求得离心率。【题文】8已知菱形 的边长为 ， ，点 分别在边 上，BC2012BA,EF,BCD.若 ， ，则,BEEF3CA B C D12356712【知识点】平 面 向 量 数 量 积 的 运 算 F3 【答案解析】C 解析：由 题 意 可 得 :若 EFEADFBAFBEADF=+=+（ ） （ ）2cos10BDmllm42cos10l-，ll=+-= 3ll()()() 11()CEFCEFBCDABlmlm-=-，()()(212cos103lmlml=-=-+-=即 3ll+-由 求 得 ，56l故 选 C【
8、思路点拨】利 用 两 个 向 量 的 加 减 法 的 法 则 ， 以 及 其 几 何 意 义 ， 两 个 向 量 的 数 量 积 的定 义 由 ， 求 得 ； 再 由 ， 求 得1AEF423lml+-=23CEF 结 合 求 得 的 值 23lml-+=-l二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分.（一）必做题（913 题）【题文】9 的展开式中， 的系数为 ，则 ( 用数字填写答8xa5x7a案) 【知识点】二项式定理.J3【答案解析】 解析：由通项 ， 的系数 ，解得1281rrTCxa5387Ca12a【思路点拨】利用二项展开式的通项公式求解。
9、 【题文】10已知某程序框图如图，若分别输入的 的值为 ，执行该程序后，输 x0,1出的 的值分别为 ，则 y,abcabc【知识点】程序框图 L1【答案解析】6 解析： 分 析 程 序 中 各 变 量 、 各 语 句 的 作 用 ， 再 根 据 流 程 图 所 示 的顺 序 ， 可 知 ： 该 程 序 的 作 用 是 计 算 分 段 函 数 的 函 数 值 241xy=， ， ， 当 x=0 时 ， 则 y=4=1； 当 x=1 时 ， 则 y=1； 当 x=2 时 ， 则 y=22=4；则 a+b+c=1+1+4=6,故 答 案 为 ： 6第 10 题图【思路点拨】分 析 程 序 中 各
10、变 量 、 各 语 句 的 作 用 ， 再 根 据 流 程 图 所 示 的 顺 序 ， 可 知 ：该 程 序 的 作 用 是 计 算 分 段 函 数 的 函 数 值 ， 将 x 的 值 分 别 代 入 即 得 241xy=， ， ， 【题文】11在 中，角 所对边分别为 ，且 ，面ABC, ,abc452B，积 ，则 = 2Sb【知识点】三角形的面积公式；余弦定理. C8【答案解析】5 解析： ，面积 ，452Bc， 2S ，1sin412SacBaa=由余弦定理得 ， ()2222 2cos445bB+-+-=b故答案为：5【思路点拨】先利用三角形的面积公式求出边 ；利用三角形的余弦定理求出
11、边 a【题文】12图中阴影部分的面积等于 【知识点】定积分.B13【答案解析】1 解析：面积 123100|Sxd【思路点拨】利用定积分的几何意义求解。【题文】13如图,对大于或等于 的正整数 的 次 幂进行如下方式的“分裂” (其中2mn)例如 的“分裂 ”中最小的数是 ,最大的数是 ；若 的“分裂”中最小的数mnN27133m是 ,则最大的数是 241第 12 题图12353512 79423174297521313第 13 题图【知识点】合情推理;数列.M1、D2【答案解析】271 解析： ：分裂中的第一个数 ，最后一个数 325321； ：分裂中的第一个数 ，最后一个数 ；532137
12、91772：分裂中的第一个数 ，最后一个数 ；34 134193发现分裂数的个数与前面的底数相同，每一组分裂中的第一个数是：底数 （底数 1）+1.又 分裂中的第一个数是 241，则 ，解得3m20m62m所以 的分裂中最大数是： .16241671【思路点拨】根据 分裂的结果，归纳总结 分裂的特点：分裂数的个数与前面的3, 3底数相同，每一组分裂中的第一个数是：底数 （底数 1）+1.从而求得分裂中的第一个数是 241 的底数 m 的值.（二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题）【题文】14 （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标平面内，以坐标原点 为极点，O轴的非负半轴为极轴建立极
13、坐标系，已知点 的极坐标为 ，曲线 的参x M42,C数方程为 （ 为参数） 则点 到曲线 上的点的距离的最小值12cos,iny C为 【知识点】圆的参数方程；点的极坐标和直角坐标的互化N3 【答案解析】4 解析：由点 的极坐标为 ，得点 的直角坐标M42,M即 M（4 ，4），由曲线 的参数方程2cos=42sin=xypp， ， C1,iny（ 为参数） ，消去参数 得普通方程为： ，圆心为 A（1，0），半径()21xy-+=r=1，由于点 M 在曲线 C 外，故点 M 到曲线 C 上的点的距离的最小值为23415=4A-+-【思路点拨】利用公式即可把点 的坐标化为直角坐标；把曲线 的
14、参数方程化为化为C普通方程，再利用|MA|-r 即可求出最小值【题文】15 （几何证明选讲选做题）如图，过 外一点 分别作圆的切线和割线交圆OP于 ，且 ， 是圆上一点使得 ，则 ,AB9PC4BCAB， A 【知识点】几何证明选讲.N1【答案解析】6 解析：因为 (弦切角等于它所A夹弧所对圆周角) , ,所以 与 相似,BPPBA所以 即 ,所以 .AC29436C【思路点拨】利用三角形相似求线段 AB 的长即可.三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 【题文】16(本小题满分 分)12已知函数 ， .cos4xfR（1）求 的单调递减区间；
15、x（2）若 ， ，求 3sin5,2f【知识点】三角函数的单调区间；同角三角函数的基本关系式；三角恒等变换. C2 C3 C5【答案解析】 （1） ；（2）()54,2kkZp+315解析：（1）由 2 分x-解得： ， 3 分 54422kkp()k的单调递减区间为 4 分()fx ()5,4,2kZp+（2） ， ，5 分3sin,52q=cos1sinq=-6 分241-7 分()()14cos2cos244f pqpqpq+=+-=+8 分2in-9 分()2cosin2q=-10 分sicoq11 分243455-12 分312=【思路点拨】 （1）直接利用余弦函数的单调区间即可；（
16、2）先利用同角三角函数的基本关系式求出余弦值，再利用公式把 化简代入数值即可.()4fqp+【题文】17( 本小题满分 12 分) 为增强市民的环保意思，某市面向全市增招环保知识义务宣传志愿者.从符合条件的 名志愿者中随机抽取 名志愿者,其年龄频率分布直方图5010如图所示,其中年龄（岁）分成五组:第 组 ,第 组 ,第 组 ,第 组125230354,第 组 .得到的频率分布直方图(局部) 如图所示 .3540,4（1）求第 组的频率,并在图中补画直方图；（2）在抽出的 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 名参加中心广场的宣 1传活动,再从这 名志愿者中采用简单随机抽样方法选取 名志愿者
17、担任主要负责人.记这2 3名志愿者中“年龄低于 岁”的人数为 ,求 的分布列和数学期望335X【知识点】抽样方法；频率分布；超几何分布；组合运算；数学期望.I1、J2 、K6、K8【答案解析】(1)0.3 , 图见解析；（2） 1795解析：（1）第 4 组的频率为 .1 分 0.4.07250.3, .2 分, 0.365则补画第 4 组的直方图如图所示： 频 率组 距0.1.43506.7234O年龄岁第 17 题图.4 分 （2 ）用分层抽样的方法，从中选取 20 名志愿者，则其中年龄“低于 35 岁”的人有 12 人，“年龄不低于 35 岁”的人有 8 人，故 X 的可能取值为 0,1
18、,2,3。 -7 分因为 , , ,3820145CPx1283095CPx21830495CPx-9 分31207所以 x 的分布列为 :x 0 1 2 3p 428594517所以 -12 分895Ex【思路点拨】 （1）根 据 小 矩 形 的 面 积 等 于 频 率 ， 而 频 率 之 和 等 于 1 即 可 得 出 （2）分 层 抽 样 的 方 法 ， 从 100 名 志 愿 者 中 选 取 20 名 ； 则 其 中 年 龄 “低 于 35 岁 ”的 人 有20（ 0.01+0.04+0.07） 5=12 名 ， “年 龄 不 低 于 35 岁 ”的 人 有 8 名 X 的 可 能 取
19、 值为 0， 1， 2， 3， 再 利 用 超 几 何 分 布 即 可 得 出 ， 再 利 用 数 学 期 望 的 计 算 公 式 即 可 得 出 【题文】18 （本小题满分 14 分）如图，四棱锥 ABCDP中，底面 AB为正方形， PDA， 平面 PC，E为棱 的中点（1）求证： / 平面 E；（2）求证：平面 平面 ； （3）求二面角 BAC的余弦值【知识点】空间线面关系；空间向量知识；数形结合；化归与转化空间想象；推理论证.第 18 题图G4、G5、G10【答案解析】 （1）见解析（2）见解析（3） 31解析：（1）证明：连接 BD 与 AC 相交于 O，连接 EO.四边形 ABCD 为正方形， O 为 BD 中点，E 为棱 PD 中点， -3 分PBEA平面 EAC EO 平面 EACPB直线 PB 平面 EAC -4 分A（2 ）证明： -5 分PDC平 面 A四边形 ABCD 为正方形, -6 分,PD又-7 分.CDAB平 面 又 平 面-8 分 PCD平 面 平 面（3 ） .zA在 平 面 内 过 作 直 线。.ABBCD平 面 平 面 平 面，,DzC由 两 两 垂 直建立如图所示的空间直角坐标系 -9 分xyz设 AB=4， (0),(4),(0),(4)20,(1)DABCPE则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
