1、广东省湛江农垦实验中学 2015 届高三上学期第一次月考数学理试题一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、已知集合 则1,0,12MNMNA B. ,0C. D. 2,2、已知复数 满足 则z(34)25,izA B. C. D. 34ii3、若变量 满足约束条件 的最大值和最小值分别为 和 ，则,xy12yxzy且 mnmnA6 B.-6 C.0 D.14、若实数 k 满足 则曲线 与曲线 的09,2159xyk2159xykA离心率相等 B.虚半轴长相等C. 实半轴长相等 D.焦距相等5、已知向量 则下列向量中与
2、 成 夹角的是1,0aa0A （-1,1,0 ）B. （1,-1,1）C. （0,-1,1）D. （-1,0,1）6、 已知某地区中小学学生人数和近视情况分别如图 1 和如图 2 所示，为了解该地区中下学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A. 100， 10 B. 200,10 C. 100，20 D. 200，20小学生3500 名初中生4500 名高中生2000 名小学 初中30高中10年级50O近视率/%7、若空间中四条两两不同的直线 满足 则下面结论一定正1234,l1234,ll确的是A B C 既不垂直也不平行 D 的
3、位置关系不确定14l14/l14,l 14,l8、已知函数 是定义在 上的奇函数且当 时，不等式yfxR0x成立，若 ， ，0fxf0.3.aflog3lbf则 的大小关系是331logl9cf,bcA. B. C. D. baaabcacb二、填空题：本大题共 7 小题考生作答 6 小题每小题 5 分，满分 30 分 （一）必做题（913 题）9、 不等式 的解集为 325x10、 曲线 在点 处的切线方程为 5ye(0,1)11、 从 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数的平均数是 6 的概率为 0,14,678912、 在 中，角 所对应的边分别为 ，已知 ，ABC, cba,osc3
4、CBb则 ab13、 若等比数列 的各项均为正数，且 ，na 51091283aae则 1220lnl （二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题）14、 （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线 和 的方程分别为 和1C22cos，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则1 x曲线 和 交点所在的直线方程为_ C215、 （几何证明选讲选做题）如图 3,在平行四边形 中，ABCD点 在 上且 ， 与 交于点 ，EAB3EF则 的 面 积的 面 积FDCEA BFD三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16
5、、 （本小题满分 12 分）已知函数 ，且 ，RxAxf),4sin()(5312f（1）求 的值；（2）求 的单调区间；f（3 ）求 在区间 内的最值.x0,17、 （本小题满分 12 分）随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数（单位：件） ，获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组 频数 频率25,30 3 0.12(30,35 5 0.20(35,40 8 0.32(40,45 1n1f(45,50 2 2（
6、1 ）确定样本频率分布表中 和 的值；1,f（2 ）求在这 25 名工人中任意抽取 2 人，且恰有 1 人的日加工零件数落在区间(30,35的概率；（3 ）求在该厂大量的工人中任取 4 人，至多有 1 人的日加工零件数落在区间（30,35 的概率 .18、 （本小题满分 14 分）如图 4，在正方体 中， 是 与 的交点1ABCDO1BC（1 ）求直线 与直线 所成角的余弦值；O（2 ）求直线 与平面 所成角的正弦值；1（2 ）求二面角 的正切值.DACB OD1 C1B1A1AD CB19、 （本小题满分 14 分）设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且 满足nanS2230,SnN（1
7、）求 的值；1a（2 ）对进行因式分解并求数列 的通项公式；na（3 ）证明：对一切正整数 ，有 12113naa20、 （本小题满分 14 分）已知椭圆 的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右210xyab2焦点 F1、F 2为顶点的三角形的周长为 4( 1)一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设2P 为该双曲线上异于顶点的任一点(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线 PF1、PF 2的斜率分别为 k1、k 2，证明：k 1k21.21、 （本小题满分 14 分）已知函数 ，讨论函数 的单调性.2lnfxaxRfx参考答案DBCDBDDB9. 10. 11. 12.3 13. 14.
8、 15.16R51yx7205012x16、解：（1）依题意有 ，所以3sinsin142fAA（3 分）A（2 ）增区间： ，322,444kxkxk即 的单调增区间为 （6 分）fx 3Z，减区间： ，522,2444kxkxk即 的单调减区间为 （9 分）fx 5+kZ，（3 ） 当 ，即 时，0, ,4x42x4=x取得最大值为 ，没有最小值.（12 分）fx3注意：单调区间没有写成区间形式每个扣 1 分；没有写 扣一分；求出最小值，扣 1kZ分17、解：（1） （3 分）(全对给 3 分，部分对给 1 分)12127,0.8,.nff（2 ） 25 名工人中，日加工零件数落在区间（3
9、0,35的人数为 5 人，设在这 25 名工人中任意抽取 2 人，且恰有 1 人的日加工零件数落在区间(30,35的事件为 ，则A（6 分）15023CPA（3 ）由（1 ）知，任取一人，日加工零件数落在区间（30,35的概率为 ， 15设该厂任取 4 人，没有人日加工零件数落在区间（ 30,35的事件为 ，恰有 1 人人日加工B零件数落在区间（30,35的事件为 ，C则 （8 分） ， ， （10 分）412565=PB314265=CP故至多有 1 人的日加工零件数落在区间（ 30,35的概率为262C答：在该厂任取 4 人，至多有 1 人的日加工零件数落在区间（ 30,35的概率为 （1
10、25126分）18、解：（1） （4 分） （2） （8 分） （3 ） （14 分）6362注意：本题用传统方法和向量方法皆可，老师们酌情设置给分点.19、解：（1） （3 分） （2） （9 分）1ana（3 ）由于 1122n n故 ，即成立（14 分）162352163+n左 边20、解：(1)设椭圆的半焦距为 c，由题意知： ，ca 222a2c4( 1)，所以 a2 ，c 2，又 a2b 2c 2，因此 b2.2 2故椭圆的标准方程为 1.（4 分）x28 y24由题意设等轴双曲线的标准方程为 1(m0)，x2m2 y2m2因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以 m2，因此双曲线的
11、标准方程为 1.（8 分）x24 y24(2)证明：P( x0， y0)，则 k1 ，k 2 .因为点 P 在双曲线 x2y 24 上，所以 x y 4.y0x0 2 y0x0 2 20 20因此 k1k2 1，即 k1k21.（14 分）y0x0 2 y0x0 2 y20x20 421、解： 的定义域为 ， （4 分）f, 2xaf（1 ）当 时， ， 在区间 上是增函数；（8 分）0a2 0xaff0,（2 ）当 时，设 ，则二次方程 的判别式2gxxgx28ai）当 时， ， 在区间 上是增函数；020gxafx0,ii）当 时，二次方程 有两个不相同的实数根，记为2，结合函数 的图像可知21288,aaxxgx， 在区间 和 上是增函数，在区间 上是减函数.（14 分）f10,2,12,（也可以用韦达定理说明 ，故 均为正数）120,0xaxx
