1、广东省惠州市 2015 届高三第一次调研考试理科数学试卷（解析版）一、选择题1复数 （其中 为虚数单位）的虚部是 （ ）iziA. B. C. D. 221i【答案】C【解析】试题分析： ，则虚部为 ，故选 .(1)12iiiz i21C考点：复数的运算、复数的实部与虚部.2已知集合 ， ，则下列结论正确的是（ ）,RxyAxBA. B. C. D.3BAAB【答案】C【解析】试题分析：已知集合 ,故选),1(),2C考点：集合的运算.3某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 人，现用分层抽样的方9012、 、法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数
2、为 ( )A. B. C. D.1520253【答案】B【解析】试题分析：三个年级的学生人数比例为 ，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人4:数为 人，故选 .204350B考点：分层抽样.4已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ( )nanS5418a8SA. B. C. D. 1865472【答案】D【解析】试题分析：由题意 ，等差数列中 ，1854a8154aa所以 ，故选188()()722S 72)(8SD考点：等差数列的性质.5在二项式 的展开式中，含 的项的系数是（ ）52)1(x4xA. B. C. D. 1020【答案】A【解析】试题分析：由二项式定理可知，展开式的通项为
3、，25103151()()rrrrrTCxCx则令 得 ，所以含 项的系数为 ，故选4310r24x025A考点：二项式定理.6若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ）A. B. C. D. 301224【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，如图，故选345(34)222VC考点：三视图.7已知 都是区间 内任取的一个实数，则使得 的取值的概率是（ yx,2,0xysin）A. B. C. D.2412【答案】A【解析】试题分析：此题为几何概型，事件 A为函数 的图像在 内与 轴围成的图形sinyx0,2x的面积，即 ，则事件
4、 A的概率为 ，故选20sin1Sxd 14PsA考点：几何概型.8已知向量 与 的夹角为 ，定义 为 与 的“向量积” ，且 是一个向量，abbaba它的长度 ，若 ， ，则 （ ）sin(2,0)ur(1,3)vr )(vuA. B. 34.C6.D【答案】D【解析】试题分析：由题意 ，则 ， ，()1,3)vu(3,)uv 3cos,2uv得 ，由定义知1sin,2u，故选()sin,232vuv: D考点：向量的运算.9函数 的定义域是 .3log(2)yx【答案】 ,【解析】试题分析：由 得 ，则函数的定义域为： .023x3),32(考点：函数的定义域.二、填空题10以抛物线 的焦
5、点为顶点，顶点为中心，离心率为 2的双曲线方程是 .xy42【答案】 213【解析】试题分析：抛物线焦点 ，则双曲线中： ，且 ，得 ，又(,0)1a2cea得 ，22cab3则双曲线的标准方程为： .213yx考点：抛物线和双曲线的方程及其性质.11用数字 1,2,3,4可以排成没有重复数字的四位偶数，共有_个.【答案】12【解析】试题分析：由题意，没有重复数字的偶数，则末位是 2或 4，当末位是 时，前三位将 ，21， 三个数字任意排列，则有 种排法，末位为 时一样有 种，两类共有：3436A36A种，故共有没有重复数字的偶数 个.21A1考点：排列组合.12设变量 满足 ，则 的最大值是
6、 .yx,10yx【答案】3【解析】试题分析：由约束条件画出可行域如图所示，则目标函数 在点 取得最大值，zxy(2,1)B代入得 ，故 的最大值为 .3xyxy3考点：线性规划.13函数 的定义域为 ， ，对任意 ， ，则)(xfR2)1(fRx2)(f的解42f集为 .【答案】 (1,)【解析】试题分析：设函数 ，则 ，得函数 在 上()24gxfx()20gxf()gxR为增函数，且 ，所以当 时，有 ，得 ，(1)2(1)40gf()24fx()0gx1故不等式 的解集为x(,考点：函数的单调性、导数的运算.14极坐标系中， 分别是直线 和BA， 05sinco圆 上的动点，则 两点之
7、间距离的最小值是 .sin2，【答案】 1【解析】试题分析：由题意，直线 ，圆的标准方程 ，则圆心:50lxy22(1)xy到直线 的距离为 ，且圆半径 ，故 .(0,1)l21rminABdr考点：极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离公式.15如图所示， 是等腰三角形， 是底边 延长线上一点，OABP且 ， ，则腰长 = .3P4【答案】 5【解析】试题分析：以 为圆心，以 为半径作圆，则圆 经过点 ，即 ，设OAOBAOr与圆 交于点 且延长 交圆 与点 ，由切割线定理知 ，即PCPDPDC，得 ，所以 .(3)4r5r5r考点：切割线定理.三、解答题16已知 . 02cossi
8、nx(1)求 的值； xta(2)求 的值xsi)4c(2【答案】 （1） ；（2） .31【解析】试题分析：本题主要考查商数关系、倍角公式、两角和的余弦公式、齐次式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，先化简表达式，利用商数关系得到 ，再利用倍角公式展开 ，将 代入到化简的式子中计算即可；第二问，tan2xtanxt2利用第一问的结论，将所求表达式化简，利用倍角公式、两角和的余弦公式，化简表达式，再利用齐次式化成关于 的式子，将第一问的结论代入得到所求式子的值.t试题解析：（1） ，则 1分si2cos0cos0x 2分tan2x 4分2tt1ax5分243（2）
9、原式 7分22cosinsixx 9分(cosin)(cosin)xx10分isx 11分1tan12分4考点：商数关系、倍角公式、两角和的余弦公式、齐次式.17去年 2月 29日，我国发布了新修订的环境空气质量标准指出空气质量指数在为优秀，各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市 2014年进行为期一年的空气质05量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取 50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为 ， ， ， ，由此得到样本的空气质量指数频率分,15,2,35,4布直方图，如图.(1) 求 的值；a(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（注：设样本数据第 组i的频
10、率为 ，第 组区间的中点值为 ，则样本数据的平均值为ipix1,23,n.）123nXxxp(3) 如果空气质量指数不超过 ，就认定空气质量为“特优等级” ，则从这一年的监测数5据中随机抽取 天的数值，其中达到“特优等级”的天数为 ，求 的分布列和数学期望.【答案】 （1）0.03；（2）24.6；（3）分布列详见解析， .35【解析】试题分析：本题主要考查频率分布直方图、由样本估计总体求平均值、二项分布、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力、转化能力.第一问，利用频率分布直方图中长方形的高=频率/组距，而所有频率之和为1，计算 a的值；第二问
11、，根据样本数据，估计总体的平均值的计算公式为：频率分布直方图中，每一个长方形的中点高组距，得到的数据之和即为平均值；第三问，利用频率分布直方图先得到 内的频率，即“特优等级”的概率值，通过分析题意可知随机变5,1量 服从二项分布，利用 计算出每一种情况的概率，再利1knknPCp用 计算出数学期望 .12nExpx E试题解析：(1) 由题意，得 ， 10.2308a分解得 . 2分03a（2） 个样本中空气质量指数的平均值为53分.1.20.3.18402.6X由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为 . 4分26（3）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在 内为“特优等级”
12、，5,1且指数达到“特优等级”的概率为 ，则 . 5分0.23,B:的取值为 ， 6 分0,123， ，3465PC21348515PC， . 10分231532 的分布列为：012P64585111分 . 12分42301215E（或者 ）35考点：频率分布直方图、由样本估计总体求平均值、二项分布、离散型随机变量的分布列和数学期望.18如图，在直三棱柱 中，平面 侧面 ，且1ABC1ABC112AB(1) 求证： ；(2) 若直线 与平面 所成的角为 ，求锐二面角 的大小。161【答案】 （1）过程详见解析；（2） .3【解析】试题分析：本题以直三棱柱为背景，考查线线垂直、线面垂直、面面垂直
13、、二面角、向量法等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑思维能力、转化能力、计算能力.第一问，作出辅助线 AD，即可得到 ，利用面面垂直的性质，得到 ，再1ADB1ADBC、利用线面垂直的性质，得到 ，同理，得到 ，利用线面垂直的判定，C1BC得到 侧面 ，从而利用线面垂直的性质，得到 ；第二问，可以利用BC1传统几何法，证明二面角 的平面角为 ，在三角形中，利用边角关系1ABAED解出角 的值，还可以利用向量法，建立空间直角坐标系，计算出平面 和平面ED 1ABC的法向量，利用夹角公式计算.1AC试题解析：（1）证明：如图，取 的中点 ，连接 ， 1 分1ABDA因 ，则 2分1AB1DA由
14、平面 侧面 ，且平面 侧面 ， 3 分C1BC1AB1得 ，又 平面 ， 1、所以 . 4分AB因为三棱柱 是直三棱柱，1则 ，1C、所以 .AB又 ，从而 侧面 ，1=D1AB又 侧面 ，故 . 7分1C（2）解法一：连接 ，由（1）可知 ，则 是 在 内1DC、DA1BC、的射影 即为直线 与 所成的角，则 8分ACD1ABC、 =6ACD在等腰直角 中， ，且点 是 中点1B121 ，且 ，2=6 9分AC过点 A作 于点 ，连1EDE由（1）知 ，则 ，且DABC、1ADA 即为二面角 的一个平面角 10 分1且直角 中：11263EA:又 ，=2AD ，且二面角 为锐二面角23sin6E1ACB ，即二面角 的大小为 14分=3AD1ACB3解法二（向量法）：由（1）知 且 ，所以以点 为原点，以1AB、所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系 ，如图所示，且设1BC、 ,xyzxyz，则a， ， ， (0,2)A(0,)B(,0)Ca1(0,2)A， ， ， 9分,B1,2A,2A1,设平面 的一个法向量1C(,)nxyz由 ， 得：n1令 ，得 ，则 10分02xayzy0,1xz(0,1)n设直线 与 所成的角为 ，则AC1B、6
