1、广东省惠州市 2015 届高三第一次调研考试数学理试题 （本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟）注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题：本大题共 8 小题，每小
2、题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合 1,2314MNxZ，则 （ ）A. B. C. 3,2M D. )4,1(NM2.复数 1iz在复平面上对应的点位于 （ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知平面向量 a,2， b4,m，且 ab，则向量 53ab=( )A. (7,16) B. (73) C. (7,4) D. 7,144.已知直线 l与直线 2:l60xy平行且与圆： 20xy相切,则直线 1l的方程是( )A. 30xy B. 10xy或 39C. 9 D. 34或 4xy5.对于平面 、 、 和直线
3、a、 b、 m、 n,下列命题中真命题是 ( )A.若 ,amn,则 B.若 /,ab,则 /aC.若 /则 / D.若 b,则 /6.不等式组201xy表示的平面区域的面积是( )A. 12 B. 0 C. D. 327.已知函数 xf3)(，若过点 0,16A且与曲线 ()yfx相切的切线方程为 16yax，则实数a的值是( )A. 3 B. 3 C.6 D.98.对于任意两个正整数 ,mn,定义某种运算“”如下: 当 ,mn都为正偶数或正奇数时, m n= ;当,mn中一个为正偶数,另一个为正奇数时 , = .则在此定义下,集合 (,)Mab12,babN中的元素个数是( )A.10 个
4、 B.15 个 C.16 个 D.18 个二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，满分 30 分其中 1415 题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分（一）必做题：第 9 至 13 题为必做题，每道试题考生都必须作答9.右 图是某高三学生进入高中三年来第次到 14次的数学考试成绩茎叶图, 根据茎叶图计算数据的中位数为 .10.已知等差数列 na,满足 38,6a,则此数列的前 0项的和 10S .11.已知直线与直线 01yx垂直，则直线的倾斜角 . 12.设 ()f是 ,)上的奇函数, (3)(fxf. 当 01x时有 ()2fx,则 8.5 .13.一物体在力
5、, 02,()34xFx(单位： N)的作用下沿与力 F相同的方向,从 0x处运动到 (单位： m)处,则力 Fx做的功为 焦.14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆 4sin的圆心到 直线 ()6R 的距离是 .15.（几何证明选讲选做题）如图, AD为圆 O直径, BC切圆 于点 E,ABC, 4,1B,则 等于 .三、解答题：本大题共6小题，满分 80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16.（本小题满分 12 分）已知函数 ()2sincos2,fxxxR.(1)求 ()fx的最大值和最小正周期；(2) 若 328f， 是第二象限的角，求 i.17.（本小题满分 12 分
6、）某社团组织 50名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动, 活动内容是：1、到7 98 6 3 89 3 9 8 8 4 1 510 3 111 4各社区宣传慰问,倡导文明新风；2、到指定的医院、福利院做义工 ,帮助那些需要帮助的人.各位志愿者根据各自的实际情况,选择了不同的活动项目, 相关的数据如下表所示：宣传慰问 义工 总计20 至 40 岁 11 16 27大于 40 岁 15 8 23总计 26 24 50(1) 分层抽样方法在做义工的志愿者中随机抽取 6 名,年龄大于 40 岁的应该抽取几名?(2) 上述抽取的 6 名志愿者中任取 2 名, 求选到的志愿者年龄大于 40岁的人数的数
7、学期望.18.（本小题满分 14 分）如图,已知三棱锥 OABC的侧棱,OABC两两垂直,且 1A, 2, E是 的中点.(1)求 点到面 的距离；(2)求二面角 的正弦值.19.（本小题满分 14 分）已知等差数列 na的公差 0d，它的前 n项和为 ns，若 570，且27,a成等比数列.（1） 求数列 n的通项公式；（2）设数列 1n的前 项和为 nT，求证：368nT.20.（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 xoy中， 点(,)0)Pab为动点， 12,F分别为椭圆 21xyab的左右焦点已知 12P为等腰三角形 （1）求椭 圆的离心率e；（2）设直线 2F与椭圆相交于 ,AB
8、两点， M是直线 P上的点，满足 2，求点 M的轨迹方程21.（本小题满分 14 分）已知二次函数 2(),(0)fxabc,且不等式 ()2fx的解集为 (12)， .(1) 方程 ()30fxa有两个相等的实根,求 的解析式 .(2) 的最小值不大于 3a,求实数 的取值范围.(3) 如何取值时, 函数 2()yfxm(|1)存在零点, 并求出零点.BOxyF1 F2PAMABACAEAOA惠州市 2014 届高三第一次调研考试数学 (理科）参考答案与评分标准一选择题：共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C B A D C A D B1.【
9、解析】 ,4xZN，故 ,2NM，故选 C.2.【解析】 1i()12ii，所以点（ 1)位于第二象限.故选 B.3.【解析】 ab, 4-0m,53(7,16)ab.故选 A.4.【解析】圆 2xy的圆心为 (1),半径为 r,因为直线 2/l,所以,设直线 1l 的方程为340c,由题意得 2|3|14c或 9c.所以,直线 1l的方程 410xy或 90xy.故选 D.(2）【解析】对于平面 、 、 和直线 a、 b,真命题 是“若/,ab, 则 /”.故选 C6.【解析】不等式组表示的可行域如图所示，故面积为 21.故选 A.7.【解析】设切点为 0(,)Mxy，则 030x ， 3)
10、(20fk，又切线 l 过 A、M 两点， 016xy则 02016xy 联立、可解得 2,0，从而实数 a的值为 2169k故选 D.8.【解析】从定义出发,抓住 ab的奇偶性对 12 实行分拆是解决本题的关键,当 ,ab同奇偶时,根据 m n=mn将 12 分拆两个同奇偶数的和, 当 一奇一偶时,根据 m n= 将 12 分拆一个奇数与一个偶数的积, 再算其组数即可.若 ab同奇偶 ,有 12103948576,前面的每种可以交换位置,最后一种只有 1 个点 (6,),这时有 251;若 ,ab一奇一偶,有 34,每种可以交换位置,这时有 24;共有 4个.故选 B二填空题：共 7 小题，
11、每小题 5 分，满分 30 分其中 1415 题是选做题，考生只能选做一题9 94.5 1035 11 34 （或 1） 12 1 1336 14 3 15 59.【解析】从茎叶图中可知 14 个数据排序为：79 83 86 88 91 93 94 95 98 98 99 101 103 114 中位数为 94 与95 的平均数 94.5 .10.【解析】 10380()()1073522aaS.11.【解析】 直线与直线 xy垂直得 tanlk， 4.12.【 解析】 (8.5)(.3)(5.)(.)(2.)(03)ffffff0201.13.【 解析】 424002()5(3)WFxdxd
12、205x4236x14.【 解析】由 sin得圆 O为 2y,圆 O的圆心 (,)C直线 ()R的直角坐标方程为 3xy，所以点 (,)C到直线 ()6R的距离是 3.15.【 解析】连接 E,B切圆 于点 E, B.又 ,ADB， O是 A中点，1()2OAD. 25O三、解答题：16.解 (1) ()sincoscsin2sico2244fxxxxx2i44 分 ()fx的最大值为 2,5 分，最小正周期为 2T 6 分(2)由(1)知, 2sin4fx所以 3i8f,即 3sin4 8 分又 是第二象限的角,所以2231cos1sin1410 分所以 39sin2i248 12 分17
13、解：(1)若在做义工的志愿者中随机抽取 6 名,则抽取比例为 61242 分 年龄大于 40 岁的应该抽取 1824人. 4 分 (2)在上述抽取的 6 名志愿者中任取 2 名, 假设选到年龄大于 40 岁的人数为 , 6 名志愿者中有 2 人的年龄大于 40 岁,其余 4 人的年龄在 20 到 40 岁之间, 可能的取值为 0,1. 5 分则246()5Cp,12468()5Cp,261()5Cp8 分的分布列为 02P258151510 分 的数学期望为 281053E 12 分18（本小题满分 14 分）解: (1)取 BC的中点 D,连 A、 O,OBCD则、 ,A. ,HAD面 过
14、点 作 于则 H面 , 的长就是所要求的距离. 22.3 分 A、 , ,.OBCOA平 面 则23D,在直角三角形 D中,有 26.3H6 分（另解:由 1126,.)63ABCVSHBC知(2)连结 并延长交 于 F,连结 O、 E.,.,OABABFEAB面 又 面则 EFC就是所求二面角的平面角. 9 分 作 G于 ,则 16.2EOH在直角三角形 AB中, ,5BF在直角三角形 OE中, 2431,5EO12 分 630076sin,arcsin.(arcos)1818185GFFG或 表 示 为,故所求的正弦值是 3 14 分 方法二: (1)以 O为原点, B、 C、 OA分别为
15、 x、 y、 z轴建立空间直角坐标系.则有 (0,1)A、 (20,)、 (,20)、 (,1).E2 分 设平面 BC的法向量为 1nxyz则由 1:;n知由 120.Ayz知 取 1(,2)n,4 分 则点 O到面 BC的距离为 16.34OAd6 分 (2) (2,0)(,)(2,0)(2,0)(,1)(2,0)EB8 分 设平面 A的法向量为 nxyz则由 nA知: ;Bxz由 nB知: .取 (1,).10 分 由(1)知平面 C的法向量为 12 11 分 则 cos 147618963. 13 分 结合图形可知,二面角 EABC的正弦值是 0 14 分 19.（本题满分 14 分）
16、解：（1） 数列 na是等差数列且 570s，1507ad. 2 分 27,a成等比数列， 27a即 211(6)()2).adad4 分 由，解得 16,4d或 1,0舍 去 ） 5 分4n6 分（2）证明;由（1）可得 2ns， 7 分所以 21()4ns. 8 分所以 1231nTss 1()()()445442n812n. 10 分 3()04nT， 38nT. 11 分1， 数列 是递增数列， 16nT.13 分68n. 14 分20 解：（1）设 12(,0)(,0)Fcc，由题意,可得 2P,即 2abc， 2 分 整理得 ()ca，得 c(舍) 或 1，所以 e. 4 分 （2
17、）由（1）知 ,3b,可得椭圆方程为 22341xyc.直线 2PF方程为 ()yxc 5 分 ,AB两点的坐标满足方程组 22413y,消去 y 并整理得 2580,x6 分 解得 1280,5xc得方程组的解 10,xc283,5y 8 分 不妨设 3(,)(,AB,设 M的坐标为 (,)x则8,5cMxy,3xyc， 10 分 由 3(),得 .于是 83(,),15AMyx(,3)BMx11 分 由 2B得 8( 25y，化简得 8630xy， 13 分 将 215y代入 cx得 216xc，由 0c得 .因此,点 M的轨迹方程是 281350()xy. 14 分 21 解： ()2f
18、x的解集为 (1)， , 0abc（ ） 的解集为 (2)， , 1 分 0,且方程 2xc（ ） 的两根为 12和 即 a4， 2()(),(0)fax 2 分 （1）方程()3fxa有两个相等的实根 ,即 有两个相等的实根 22()40340a, 或 3 分 0a, 3, 2()fx 4 分 （2 ） 222 8()()( 4aafx（ ） 0a, f的最小值为28(), 5 分 则 28()34a, 240,解得 23a, 7 分 0a, 8 分 （3 ）由 2(),(1)yfxma,得 2()()0xam ()当 1时,方程 () 有一解 2x,函数 2)yfx有一零点 ； 9 分 当
19、 a时, 4(1)am方程() 有一解 2 0a, 令 2140m得 2m或 , |1即 或 ， i)当 1m， 24ma时， （ 24ma（负根舍去） ） ，函数2()yfx有一零点 1x. 10 分 ii) 当 时， 的两根都为正数， 当 24或 24ma时，函数2()yfxam有一零点 1xa.11 分 ) 当 1时， 240m， 方程() 有二解 2()(), i) 若 , 140， 24a时,（ 2ma（负根舍去） ） ，函数 ()yfxam有两个零点 2 21,24()1(1amx； 12 分 ii) 当 时， 2140， a的两根都为正数，当 24a或 0a时，函数 ()yfxm有两个零点 21,2()1max。13 分 ) 当 21时， 40， 恒成立，a取大于 0( )的任意数，函数 2()yfx有两个零点 21,2()1amx 14 分
