1、1.贷款问题小王夫妇计划贷款 20 万元购买一套房子，他们打算用 20 年的时间还清贷款。目前，银行的利率是 0.6%/月。他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿还贷款。(1)在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少？共计付了多少利息？(2)在贷款满 5 年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第 6 年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？(3)如果在第 6 年初，银行的贷款利率由 0.6%/月调到 0.8%/月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的 15 年内将贷款还清，那么在第 6 年后，每月的还款额应是多少？(4)某借贷公司的广告称，对
2、于贷款期在 20 年以上的客户，他们帮你提前三年还清贷款。但条件是：(i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的 1/2；(ii)因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总额 10%的佣金。试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。解答：(1)贷款总月数为 N=20*12=240，第 240 个月的欠款额为 0，即 。=0利用式子 (元)，=0(1+)(1+)1=2000000.006(1+0.006)240(1+0.006)2401 =1574.699=1574.70即每个月还款 1574.70 元，共还款 (元)，共计付利1574.702
3、40=377928.00息 177928.00 元。(2)贷款 5 年(即 5*12=60 个月)后的欠款额为 ，60利用公式： ，=0(1+)(1+)1(1+)1所以， (元)60=200000(1+0.006)601574.70(1+0.006)6010.006=173034.90(3) 元，即第六年初，贷款利率 ，所以余下的 15 年， 60=173034.90 0.8%每个月还款额为： (元)=60(1+)(1+)1=173034.90.008(1+0.008)180(1+0.008)1801 =1817.33(4)按照借贷公司的条件(i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额
4、是原付给银行还款额的 ，付款的时间缩短，但是前 17 年的付款总额不12变。帮忙提前三年还清需要资金数：。204=200000(1+0.006)2041574.70(1+0.006)20410.006=50847.64(元 )对于条件(ii)佣金数： 010%=20000(元 )分析：因为预付佣金 20000 元，按照银行存款利率 /月，17 年的存款本0.6%息为 20000(1+0.006204)=44480(元 )50847.64(元 )即在第 17 年需要给付借贷公司的钱少于给付银行的钱。所以建议请这家借贷公司帮助还款。2.冷却定律与破案按照 Newton 冷却定律，温度为 T 的物体
5、在温度为 的环境中冷却0(0)的速度与温差 成正比。用此定律建立相应的微分方程模型。0凌晨某地发生一起凶杀案，警方于晨 6 时到达案发现场，测得尸温 26，室温 10，晨 8 时又测得尸温 18。若近似认为室温不变，估计凶杀案的发生时间。解答：根据 Newton 冷却定律，可知温度 T 的微分方程为：=(0)此方程为一阶线性微分方程，其通解为： =+0根据题目已知： ， 时， ； ， ；0=10=6 =26=8 =18带入通解中得： 26=6+1018=8+10解得： ， 。可知=0.3466=128.027=128.0270.3466+10人体正常体温为 ，令 ，得 ，可估计凶杀发生时间为
6、。37=37 t=4.49 3:293.锻炼想象力、洞察力和判断力的问题(只简单回答出理由即可)(1)某人早 8 时从山下旅店出发沿一条山路上山，下午 5 时到达山顶并留宿，次日 8 时沿同一路径下山，下午 5 时回到旅店。该人必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？(2)甲乙两站之间有汽车相通，每隔 10 分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。甲乙两站之间有一中间站丙，某人每天在随机时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车。结果发现 100 天中约有 90 天到达甲站，大约10 天到达乙站。问开往甲乙两站的汽车经过两站的时刻表是如何安排的？(3)张先生家住在 A 市，在
7、B 市工作，每天下班后他乘城际火车于 18:00 抵达 A 市火车站，他妻子驾车至火车站接他回家。一日他提前下班，乘早一班火车于 17:30 抵达 A 市火车站，随即步行回家，他妻子像往常一样驾车前来，在半路相遇将他接回家。到家时张先生发现比往常提前了 10 分钟，问张先生步行了多长时间？(4)一男孩和一女孩分别在距家 2 公里和 1 公里，方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以每小时 4 公里和每小时 2 公里的速度步行回家.一小狗以每小时 6 公里的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中.问小狗奔波了多少路程.如果男孩和女孩上学时，小狗也往返奔波在他们中间，问
8、当他们到达学校时小狗在何处?解答(1)因为此人在两天的上下山的过程中所走过路程相同，所用时间相同，所以两天的过程如果发生在同一天，此人一定会在某一时间碰到另一个自己。也就是说如果是两个人，两人一定会在某一时间相遇，也即题目所说同一时刻经过路径中的同一地点。(2)设从甲站出发的车为甲车，乙站出发的车为乙车。因为每隔十分钟甲乙两站就互发一趟车，此人在丙站点等车，有 0.9 的概率等到的是甲车，0.1 的概率等到的是乙车。即可知甲车与乙车到达中间站丙的时间间隔为一分钟或者九分钟，即过九分钟甲车通过，过一分钟乙车通过，再过九分钟甲车通过，依次类推。假设甲乙车从车站到达中间站丙的时间相同，那么甲车发车一
9、分钟后乙车发车，即可达到题目要求。(3)张先生步行了 25 分钟。假设从家开车到车站所用时间为 t，即可知其妻子从家出发时间为 ，经过时间 t 到车站，接张先生再经过时间 t 到家，18:00即到家时间为 。18:00+张先生提前下班，17:30 到达车站，设张先生步行时间为 ，妻子从家出发时间为 ，半路相遇后接回家比往常提前 10 分钟，可知妻子所用时间为18:00，单程时间为 。可列等式：210 517:30+5=18:00+10解得 。=25分钟(4)两人回家所用时间相同，为 0.5 小时，小狗速度为每小时 6 公里，往返总路程为 。60.5=3公里如果男孩和女孩上学时，他们到达学校时小
10、狗与男孩同时到达男孩的学校。分析：如果男孩和女孩上学时，小狗往返的路程仍为 3 公里。此过程与放学过程为相反的两个过程，放学时，小狗从男孩处奔向女孩，最后男孩、女孩和小狗同时到家，逆过程为同时出发，最终小狗和男孩一起到达学校。4 考试作弊情况调查一位教授要估算他班上的大三和大四高年级学生在大学期间的考试中从未作弊的概率，为了从学生那里得出真实的答案，他要求每个学生自己投掷一枚硬币，如果正面朝上，回答问题 1：“你是即将毕业的大四学生吗？” ；如果是正面朝下，回答问题 2：“你曾经在考试中做过弊吗？” 。每个学生在一张纸上回答“是”或“否” ，然后回收这张纸，由教授来统计。答案是保密的，因为只有
11、学生自己知道他回答的是哪一个问题。在参与这项试验的 35 名学生中，有 20名大四学生，试验统计结果表明，有 18 名学生回答“是” ，17 名学生回答“否”利用这些信息估计该班的任何一名学生在过去的考试中从未作弊的概率。解答：此问题为不相关问题，根据不相关问题模型可知： =+(1)其中， 回答“是”的概率，即 ；= =1835=0.5143正面朝上的概率，即 ；= =0.5大四学生的概率，即 ；= =2035=0.5714曾经做过弊的学生概率，为所求，可得=1(1)=10.5(0.5143(10.5)0.5714)=0.4572所以，可知从未做过弊的概率为 。1=10.4572=0.5428=54.28%
