1、第一节 向量的内积,第五章 特征值与二次型,第二节 方阵的特征值和特征向量,第三节 相似矩阵,第四节 化二次型为标准型,第五节 正定二次型,5.1 向量的内积,内积：,在直角坐标系中,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,例,解,返回,上一页,下一页,基本性质：,返回,上一页,下一页,夹角。,当x，y时，称x与y正交.,显然，n维零向量与任意n维向量正交.,称一组两两正交的非零向量组为正交向量组.,返回,上一页,下一页,定理1,证,返回,上一页,下一页,定理2,证,返回,上一页,下一页,推论,例,解,返回,上一页,下一页,容易验证 两两正交,非零;然后将它们单位化,
2、返回,上一页,下一页,具体步骤如下：,即令,则 就是V的一个正交规范基.,上述从线性无关向量组 导出的经过称为施密特正交化过程。,返回,上一页,下一页,它不仅满足 与 等价，还满足：对于任何 k(1k r）向量组,与 等价.,返回,上一页,下一页,例,解,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,例 验证矩阵,是正交矩阵.,解 A的每个列向量都是单位向量且两两正交， 故A是正交矩阵.,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,例如, 5. 2 方阵的特征值和特征向量,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,左端为的n次多项式，因此A的特征值就是该多项式的根. 记
3、，称为A的特征多项式，则矩阵A的特征值即为其特征多项式的根.方程称为A的特征方程，特征方程在复数范围内恒有解.其个数为方程的次数(重根按重数计算)，因此n阶方阵A有n个特征值.,返回,上一页,下一页,例,解,返回,上一页,下一页,例 求矩阵,的特征值和特征向量.,所以A的特征值为12，23.,解 A的特征多项式为,返回,上一页,下一页,当12时，则方程（A2E）x0，由,得基础解系,所以kp1（k）是对应于12的全部特征向量.,返回,上一页,下一页,当231时，解方程（E）x0，由,得基础解系,所以kp2（k）是对应于231的全部特征向量.,返回,上一页,下一页,计算特征值、特征向量的步骤：,
4、则对于不全为零的任意常数,即为对应于i的全部特征向量.,第一步：计算特征多项式AE；,第二步：求出AE0的全部根，它们就是A的全部特征值；,第三步：对于A的每一个特征值i，求相应的齐次线性方程组(iE)x0的一个基础解系,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,例,解,所以A的特征值为121，32.,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,例,证,(其中 ）,若是A的特征值，则k是k的特征值；,推广：,例 设向量1 =(1,2,0), 2= =(1,0,1)都是方阵A,的属于特征值=2的特征向量，又向量=(-1,2,-2)，,解 由题设条件有,又,故,求A,返回,
5、上一页,下一页,返回,上一页,下一页,定理3,证,返回,上一页,下一页, 5.3 相似矩阵,返回,上一页,下一页,定理4,证,推论,返回,上一页,下一页,定理5,如果n阶矩阵A能相似于对角矩阵，则称A可对角化.,(1) 求参数a,b的值及A的与特征向量p对应的特征值； (2) A与对角阵是否相似？,解 （1）设A的与特征向量p相对应的特征值为，可得方程组（AE）p=0，即,返回,上一页,下一页,即,解得,(2) 由,知A有三重特征值,返回,上一页,下一页,由于,可知 R(A+E)=2, nR（A+E）=32=1,所以A不与对角阵相似.,故三阶方阵 A与=1对应的线性无关的特征向量仅有,一个.,
6、实对称矩阵一定可以对角化，并且对于实对称矩阵A不仅能找到可逆矩阵P，使得P -1AP为对角阵，而且还能够找到一个正交矩阵T，使T -1AT为对角矩阵.,返回,上一页,下一页,定理6 实对称矩阵的特征值都是实数。,返回,上一页,下一页,证,返回,上一页,下一页,定理7,证,定理8 设A为实对称矩阵，则必存在正交矩阵T，使,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,解 显然A=A。 故一定存在正交矩阵T，使T-1AT为对角矩阵。,先求A的特征值,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,求得一基础解系为,正交化，令,再单位化，令,返回,上一页,下一页,求得一基础解系为,只有一个向量，只要单位化
7、，得,返回,上一页,下一页,以正交单位向量组 为列向量的矩阵T 就是所求的正交矩阵。,有,返回,上一页,下一页,若令,则,可见, 所求的正交矩阵与对角矩阵并不唯一.,返回,上一页,下一页,解,返回,上一页,下一页,求得A的不同特征值14（二重），28，312.,求得一组基础解系为,显然1与2正交，只要单位化，即,对于14,求解齐次线性方程组（A4E）x0，由,返回,上一页,下一页,对于28，相似地可求得齐次线性方程组（A8E）x0的一组单位化的基础解系,对于312，相似地可求得对应的单位特征向量,返回,上一页,下一页,于是,即为所求的正交矩阵，且,返回,上一页,下一页, 5.4 化二次型为标准
8、型,二次型写成对称形式,称为二次型。当 为复数时， 称为复二次型; 当,定义8 n元变量 的二次齐次多项式,（1）,返回,上一页,下一页,为实数时， 称为实二次型。,返回,上一页,下一页,（2）,记,则二次型可记为,返回,上一页,下一页,其中A为实对称矩阵。,例 二次型,用矩阵表示就是：,任给一个二次型，就惟一地确定一个对称矩阵，反之任给一个对称矩阵，也可以惟一地确定一个二次型。这样二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系。,找到一个非退化的线性变换（即C是n阶可逆矩阵）xy， 使得,返回,上一页,下一页,我们把对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵，A的秩叫做f 的秩, 也称 f 为对称矩阵A的二次
9、型。,对于一般的二次型,即利用非退化线性变换，将二次型化为只含平方项的形式. 这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准型(或法式).,说明经可逆变换x=Cy后,二次型f 的矩阵A变为对称矩阵CAC,且二次型的秩不变,矩阵的合同关系与相似关系一样,都满足自反性、对称性和传递性.,证 因A= A,故B=(CA C)= CAC = CAC = B即B为对称矩阵.,定理9 任给可逆矩阵C,令B= CAC,如果A为对称矩阵,则B亦为对称矩阵,且R(B)=R(A),此时,也称A与B合同.,返回,上一页,下一页,又因为B = CAC,而C与C均为可逆矩阵,故A与B等价,于是R(B)=R(A).,要使二次型f
10、 经可逆变换x=Cy变成标准形,这就是要使,也就是要使CAC成为对角矩阵。因此，问题归结为： 对于对称矩阵A，寻求可逆矩阵C，使CAC为对角矩阵。,由上节的定理8可知，任给实对称矩阵A，总有正交 矩阵T,使得T-1AT= , 即T-1AT= 为对角矩阵。,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,定理10,例,解 f 的矩阵是,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,是A的特征值，而且变换前后两个二次型的,所以上式两边取行列式即可求得参数a.,矩阵有下面的关系：,返回,上一页,下一页,解 变换前后二次型的矩阵分别为,设所求正交矩阵为T，则有TA
11、T=.,此时两边取行列式，并注意到|T|=1，得 |T|A|T|=|T|2|A|=|A|=|,即 2(9-a2)=10. 由 a0 , 得 a=2 .,返回,上一页,下一页,因为A的特征值为1=1, 2=2 , 3=5.,当1=1时，解齐次方程组（A-E）x=0，得特征向量为,同理，可求得与2=2,3=5对应的特征向量分别为,返回,上一页,下一页,又因为对应于不同特征值的特征向量是相互正交的，,以p1,p2,p3为列, 即得所求的正交矩阵,返回,上一页,下一页,用正交变换化二次型为标准型，具有保持几何形状不变的优点。如果不限于用正交变换，那么还可有多种方法把二次型化成标准型，如配方法，初等变换
12、法等 。,上式右端除第一项外已不再含x1，继续配方，得,解 由于 f 中含变量x1的平方项，故把含x1的项归并起来配方可得.,返回,上一页,下一页,令,即,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,例,解,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,定理11,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,例,解,返回,上一页,下一页,解 所给二次型 f 的矩阵,返回,上一页,下一页,故令,则,返回,上一页,下一页,5.5 正定二次型,返回,上一页,下一页,定理12(惯性定理),定义10 设有二次型 如果对任何x0，都有f（x）(显然f（0）0），则称 f 为正定二次型，称A为正定矩阵；如果对任
13、何x0，都有f（x）0，则称 f 为负定二次型，其矩阵A为负定矩阵.,返回,上一页,下一页,定义9 二次型 的标准型中， 系数为正的平方项的个数 p 称为此二次型的正惯性指数， 系数为负的平方项的个数 rp 称为负惯性指数， spr 称为符号差。这里 r 为二次型f的秩.,设ki(i，n), 任给x0, 有yCx0，,推论 对称矩阵A正定当且仅当A的特征值全为正.,定理13,从而 f（x）f（Cy）,证 设可逆变换xCy，使f（x）f（Cy）,反之,假设有某个s (1sn)，使ks0.则当yes时f（Ces）= ks0. 这与 f 为正定相矛盾.故必有ki(i，n).,即 f 是正定二次型.,
14、返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,定理14,返回,上一页,下一页,例,解,例 判别二次型f(x，y，z)5x26y24z24xy4xz 的正定性.,因,则根据定理14知f为负定二次型.,解 f 的矩阵为,判别一个二次型是否正（负）定，可以从其标准形中正（负）平方项的个数来判别，也可以判别其对应的矩阵是否正（负）定，从而判别所讨论的二次型是否正（负）定。,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,例,解,类似地若A负定，则 aii0.,故A不是正定的.,例 证明若A（aij）为正定矩阵.则 aij0（i1，2，n）.,证 因为A正定，故对任何x0，有xAx0，取xei , 则有xAxaii0（i1，2，n）.,此例表明主对角线上元素均大于零是A正定的必要条件，但它并非充分条件，例如,有a11a2210，但因A30，,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,利用二次型的正定性研究多变量函数的极值问题,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,于是当R（A）2时，有(1) A正定时，f(P0)为极小值；(2) A负定时，f(P0)为极大值；(3) A不定时，f(P0)不是极值.,返回,上一页,下一页,例,解,
